数検3級 三平方の定理の基本—斜辺を見つけて未知の一辺を根号で求める練習｜武蔵野個別指導塾

直角の向かい側を斜辺と決め、足す場合と引く場合を例題と誤答で整理します。迷ったときに戻れる斜辺の見分け方です。

よくあるのは、受検者が図の中で最も見やすい横の辺を斜辺にしてしまう場面です。図を回すと横に見える辺は変わりますが、直角の向かい側は変わりません。長さを計算する前に直角の印を探し、その角に接していない辺を指でたどってみましょう。

三平方の定理は、直角三角形の3辺の長さを結びつけます。2辺から残りの1辺を出すときだけでなく、3辺の長さから直角三角形かどうかを調べるときにも役立ちます。ここでは平面の直角三角形そのものに絞り、式の選択と答えの確認を練習します。

どの辺が空いているかで変わる式

出方の型は大きく3つです。1つ目は、直角をはさむ2辺がわかり、斜辺を求める型です。2つの長さの二乗を足してから、正の平方根を取ります。たとえば2辺がそれぞれ1 cm、2 cmなら、斜辺の二乗は5 cm²です。斜辺は長さなので正の値を使います。

2つ目は、斜辺と直角をはさむ1辺がわかり、もう1辺を求める型です。斜辺の二乗から、わかっている辺の二乗を引きます。同じ定理を使いますが、求める辺の位置によって計算の順序が変わります。「2辺があるから足す」と決めず、まずそれぞれの役割を調べます。

3つ目は、3辺が与えられ、その三角形が直角三角形かを判断する型です。このときは三平方の定理の逆を使います。最長の辺の二乗が、残る2辺の二乗の和に等しいかを調べ、等しければ最長の辺に向かい合う角が直角です。最初から直角と決めて式を作るのではなく、等式が成り立つかを確認してから結論を出します。

これらは練習のために整理した型です。実際の図では辺の文字の並びや図の向きが変わります。見慣れた向きの図で覚えるより、直角と向かい側の関係を言葉で説明できるようにすると、図を回しても同じ手順で取り組めます。

直角の向かい側に名前を付ける

直角三角形で、直角に向かい合う辺を斜辺と呼びます。直角を作る2辺は、その頂点で交わっています。斜辺は直角の頂点に接していません。斜辺は3辺のうち最も長い辺です。ただし、図の見た目で長さを測って決めるのではなく、直角の位置から判断します。

図1のように、直角をはさむ辺をa、b、斜辺をcとすると、三平方の定理は次の式です。

a² + b² = c²

図1では、直角の印がある頂点から出る2辺がaとbです。向かい側のcが斜辺なので、cの二乗を単独で式の片側に置きます。aとbの順番は入れ替えても和は変わりません。一方、cをaやbと同じ側へ何も考えずに置くと、辺の役割が変わってしまいます。

a²はaを2倍した長さではなく、aにaを掛けた数です。辺の長さがcmで与えられたとき、その二乗は数値として面積の単位cm²に対応します。最後に平方根を取ると長さに戻るので、答えにはcmを付けます。例えばc²が8 cm²なら、cは2√2 cmです。二乗の結果で止めて8 cmとしないようにしましょう。

定理を使う条件は、その三角形が直角三角形であることです。直角の印や問題文の条件から直角とわかるかを最初に確認します。印が見えず、角度の条件も与えられない場合は、見た目が直角らしくても定理を前提にできません。3辺が与えられている場合には、後で扱う逆によって直角かを調べられます。

基本例題：斜辺を求める

問題：三角形ABCで、角Aは90°、ABは6 cm、ACは8 cmです。BCの長さをcmを付けて、整数で答えなさい。

図2のように、直角の頂点Aに接していない辺はBCです。したがってBCが斜辺です。最初に辺の名前を確かめると、どの二乗を単独に置くかが決まります。

図2のBCの長さをx cmとすると、手順は次のようになります。

6² + 8² = x²

36 + 64 = x²

x² = 100

x = 10

よってBCは10 cmです。x² = 100を満たす数には10と-10がありますが、ここでのxは辺の長さです。負の長さは問題の場面に合わないため、10を採用します。

答えを図に戻して確かめると、斜辺10 cmは他の6 cmと8 cmのどちらよりも長く、10² = 6² + 8²も成り立ちます。面積でも、直角をはさむ2辺から6 × 8 ÷ 2 = 24 cm²と求まります。直角をはさむ2辺の積を使ったことも、図の読み取りと一致しています。

計算を始める前に、求める辺を指でたどってから「直角の向かい側」と言えるか試してください。向かい側なら二乗の和から斜辺を求めます。図を頭の中で回しても、頂点Aに接しないBCが斜辺であることは変わりません。横や縦という呼び方ではなく、頂点と辺の関係に注目します。

少し難しい例題：斜辺から引く

問題：三角形PQRで、角Pは90°、QRは13 cm、PQは5 cmです。PRの長さをcmを付けて、整数で答えなさい。

直角はPにあるので、Pに接しないQRが斜辺です。求めるPRは直角をはさむ辺の一方です。ここで5と13を足すか引くか迷ったら、いきなり操作を決めず、斜辺の二乗を単独にした定理から書きます。

PRをy cmとして、次のように進めます。

5² + y² = 13²

25 + y² = 169

y² = 169 − 25

y² = 144

y = 12

答えは12 cmです。負の平方根は長さの条件に合いません。13²から5²を引くのは、最初の式でy²に加わっている25を反対側に移すためです。足すか引くかを数字の印象で決める必要はありません。

12 cmを元の三角形に戻すと、5² + 12² = 169 = 13²です。求めた辺は斜辺の13 cmより短く、直角をはさむ2辺は5 cmと12 cmです。面積は5 × 12 ÷ 2 = 30 cm²と計算できます。辺を取り違えて斜辺より長い値が出たときは、平方根を計算し直す前に式の位置を点検します。

逆に、指定された斜辺の長さが他の辺より短い場合はどうでしょうか。たとえば斜辺4 cmと、別の辺7 cmという条件は両立しません。差を計算すると負になり、辺の長さの二乗にはできません。実数の答えを無理に作らず、斜辺は最長であるという条件に戻って問題文や写し間違いを確認します。

3辺があるときは逆を使う

問題：3辺の長さが7 cm、24 cm、25 cmの三角形があります。この三角形が直角三角形かを答え、直角ならその角に向かい合う辺の長さを整数で答えなさい。

最長の辺は25 cmです。まず25² = 625、残る2辺では7² + 24² = 49 + 576 = 625となります。両者が等しいので、三平方の定理の逆から直角三角形です。直角に向かい合う辺は25 cmです。

この判断では、最初に直角の場所を仮定していません。3辺が三角形を作ることは問題文で与えられていますが、念のため7 + 24 > 25も確かめられます。さらに得られた直角三角形の辺として、25が他の2辺より長いことと二乗の等式が一致します。

等式が成立しなければ、最長の辺に対する直角三角形ではありません。直角三角形なら斜辺が最長なので、別の辺を斜辺に選び直して救済することもできません。3辺が三角形を作るか自体が不明な問題では、最長の辺が残る2辺の和より短いかも別に確かめます。

誤答を辺の位置から直す

図3のように、直角をはさむ辺が3 cmと4 cm、斜辺が5 cmの三角形を考えます。横に描かれた4 cmの辺を斜辺と誤認すると、「3² + 5² = 4²」と書いてしまうことがあります。左辺は34、右辺は16なので、式は成り立ちません。

図3の直角の印から確認すると、3 cmと4 cmが直角をはさみ、5 cmが向かい側です。正しい式は3² + 4² = 5²です。左辺は9 + 16、右辺は25で一致します。誤答の原因は計算の順序より前、斜辺の選び方にあります。

ほかにも、直角をはさむ辺を求めるときに斜辺の二乗と既知の辺の二乗を足す誤りがあります。その場合は、まず「直角をはさむ2辺の二乗の和 = 斜辺の二乗」と書き、未知の項だけを残すように移項します。求めた長さが斜辺より大きければ、その結果自体が見直しの合図です。

平方根の段階で、x² = 20からx = 20としてしまうこともあります。20を二乗すると400なので元の式には戻りません。長さとしての正の平方根は√20 = 2√5です。最終値を二乗し、元の二乗の値へ戻るかを確認すると、平方と平方根の取り違えを見つけられます。

条件が足りないときの立ち止まり方

図に数字が2つ書かれていても、直角かどうかが問題文にも図の印にも示されていなければ、その数字だけから残りの辺は決まりません。見た目が直角に近いからといって、三平方の定理を適用することはできません。与えられた角や垂直という言葉を探し、根拠を確認してから式へ進みます。

また、計算結果が根号の形になっても、それだけで失敗ではありません。整数の二乗にならない値にも正の平方根があります。指定が根号を使う形なら、近似した小数に直さず、平方数の因数を取り出せるかを調べます。最後にその値を二乗し、元の条件に戻るかを確かめれば、答えの形と計算の両方を点検できます。

練習問題

次の4問を先に解いてから、下の答えを見てください。長さはすべて正とします。図は問題の条件を読んで自分で描き、直角の頂点と斜辺を記入します。

1. 三角形DEFは角Dが90°、DEが4 cm、DFが7 cmです。EFの長さを、根号を簡単にした形でcmを付けて答えなさい。
2. 三角形GHIは角Gが90°、HIが10 cm、GHが6 cmです。GIの長さを整数で、cmを付けて答えなさい。
3. 三辺が8 cm、15 cm、17 cmの三角形は直角三角形ですか。直角なら直角に向かい合う辺の長さを整数で、cmを付けて答えなさい。
4. 三辺が5 cm、6 cm、8 cmの三角形は直角三角形ですか。最長の辺の二乗と他の2辺の二乗の和を整数で示して答えなさい。

答えと確かめ方

1. EFは√65 cmです。角Dの向かい側がEFなので、EFをt cmとするとt² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65です。65は平方数の因数を持たないため、√65のまま表します。答えを二乗すると65に戻り、与えられた2辺の二乗の和と一致します。また65は49より大きく、正の√65は7より長いので、斜辺としての条件にも合います。

2. GIは8 cmです。角Gの向かい側のHIが斜辺なので、GIをu cmとして6² + u² = 10²と置きます。u² = 100 − 36 = 64、長さは正なのでu = 8です。元に戻すと6² + 8² = 100で、斜辺10 cmの二乗と一致します。8 cmは10 cmより短く、辺の役割も合っています。

3. 直角三角形で、直角に向かい合う辺は17 cmです。最長の辺について17² = 289、残りは8² + 15² = 64 + 225 = 289です。等式が成り立つので定理の逆を使えます。8 + 15 > 17でもあり、与えられた3辺は三角形を作れます。直角と判断した後も、斜辺が最長であることを確かめられます。

4. 直角三角形ではありません。最長の辺の二乗は8² = 64、他の2辺の二乗の和は5² + 6² = 61です。等しくないので、三平方の定理の逆の条件を満たしません。5 + 6 > 8で三角形は作れますが、三角形が作れることと直角があることは別の条件です。最長の辺以外は斜辺になれないため、別の組を試す必要はありません。

覚えておくこと

直角の向かい側が斜辺です。

直角をはさむ2辺の二乗の和は、斜辺の二乗です。

斜辺以外の辺は、斜辺の二乗から既知の辺の二乗を引いて求めます。

長さは正の平方根を取り、単位を付けます。

3辺の判定では最長の辺の二乗と他の2辺の二乗の和を比べます。

どこで迷ったかを見分ける

答えが違ったときは、計算結果だけを見るより、直角の印から斜辺を指せるかを先に確かめます。辺の名前を正しく言えるのに式を逆にしたなら、二乗の和を作ってから未知数を残す練習が適しています。式が正しくても最後に二乗の値を長さとして書いたなら、平方根を取った後に二乗して戻す手順を確認します。

個別指導では、図の向きを変えても同じ辺を斜辺と呼べるか、引き算が必要な理由を元の式から説明できるかを確かめます。保護者がお子さまの途中式を見るときも、正答の数字だけでなく「直角はどこ、向かい側はどこ」と尋ねると、迷いの場所が見えます。直角からたどった辺の関係は、図の向きが変わっても変わりません。