高校受験の理科 湿度と露点—飽和水蒸気量の表から湿度と結露する量を求める｜武蔵野個別指導塾

冷却前後の水蒸気量を表と照合し、水滴の質量を求める題材は湿度と露点です。

よくあるのは、中学生が空気を冷やし始めると同時に、水蒸気の量も減ると考える場面です。冷却中には、まだ水滴ができていない段階と、水滴が生じている段階があります。この境目を見落とすと、湿度の分子や結露した水の質量を取り違えます。空気中の水蒸気と、表面についた液体の水を分けて追ってみましょう。

表から問われる3つの道筋

1つ目は、気温と実際の水蒸気量から湿度を求める型です。表で読む飽和水蒸気量は、実際に含まれる量とは限りません。気温に対応する値を分母にし、実際の量を分子にして割合を計算します。

2つ目は、冷えた物の表面に水滴がつき始める温度から、空気中の水蒸気量を求める型です。水滴がつき始める温度を露点と呼びます。その温度の飽和水蒸気量を表で読み、元の空気中の量と結び付けます。

3つ目は、露点より低い温度まで冷やしたときに凝結する水の質量を求める型です。冷やす前の水蒸気量から、冷やした後も気体として残る量を引きます。体積が1 m³でないときは、1 m³あたりの差を先に求めてから、指定された体積に合わせます。ここでは湿度、露点、冷却と凝結を扱い、前線の種類や天気図の読み方には立ち入りません。

水蒸気の量と入る余地

空気中には目に見えない水蒸気が含まれています。水蒸気は気体の水であり、白く見える水滴そのものではありません。一定の温度で1 m³の空気中に水蒸気として存在できる最大の質量を、その温度の飽和水蒸気量といいます。単位は通常 g/m³ です。温度が高いほど飽和水蒸気量は大きくなり、低いほど小さくなります。

湿度は、その温度の飽和水蒸気量に対する実際の水蒸気量の割合を百分率で表したものです。したがって、湿度 = 実際の水蒸気量 ÷ その温度の飽和水蒸気量 × 100 です。両方を1 m³あたりにそろえてから割ります。湿度が高いということは、その温度で飽和に近いという意味であり、水蒸気の質量が必ず大きいという意味ではありません。

図1のように、同じ空気を水蒸気の出入りがなく体積も一定のまま冷やすと、露点に達するまでは水蒸気の質量は変わりません。一方、飽和水蒸気量は小さくなるので、湿度は上がります。露点では両者が等しくなり、湿度は100%です。さらに冷やして水滴が生じると、気体として残る水蒸気量は減ります。

図1の左から右へ冷やすとき、枠はそれぞれの温度での飽和水蒸気量を、色の部分は実際の水蒸気量を模式的に表します。水滴ができる前は色の量が同じで、余地が狭まります。飽和後にできた水滴は気体の水蒸気には数えません。水蒸気と水滴を合わせた水の質量は、外への出入りがなければ保存されます。

露点は、空気を冷やしていき、凝結が始まる温度です。容器の表面で観察する場合は、その表面に接する空気が冷やされて水滴がつき始めた温度を読みます。表面の温度と周囲全体の気温を同じものとして扱わないことも大切です。表に露点と一致する温度がない場合、与えられた表だけでは正確な値を決められないことがあります。勝手に表の値を補わず、設問が範囲を求めるのか、補間を認めるのかを確かめます。

表に載っている温度が飛び飛びの場合も、大小関係は使えます。実際の水蒸気量が、ある温度の飽和水蒸気量より小さく、その次の低い温度の値より大きければ、露点はその2つの温度の間にあります。表の値と等しい行が見つからないときに、近い行をそのまま露点と決めると、求められていない精度まで答えたことになります。

基本例題：冷やす前と後をつなぐ

次の値はこの問題のために与えた教材値で、実測記録ではありません。水蒸気の出入りがない1 m³の空気が20 ℃にあります。ゆっくり冷やすと、12 ℃で水滴がつき始めました。さらに8 ℃まで冷やし、できた水滴は空気中の水蒸気に戻らないものとします。空気の体積は一定で、水滴以外への水の出入りもありません。20 ℃での湿度を整数の%で、8 ℃までにできた水滴の質量をgで答えてください。

まず、水滴がつき始めた12 ℃が露点です。その温度で飽和しているので、実際の水蒸気量は12 g/m³です。冷やし始めてから露点に達するまでは水蒸気の出入りも凝結もないため、20 ℃でも12 g/m³でした。

20 ℃の飽和水蒸気量は表から20 g/m³です。したがって、20 ℃での湿度は次のように求めます。

12 ÷ 20 × 100 = 60

答えは60%です。分母に12を置くと、20 ℃の余地ではなく露点での余地との割合になってしまいます。求めるのは20 ℃での湿度ですから、その温度の20を分母にします。

図2のように、8 ℃では飽和水蒸気量が8 g/m³です。十分に冷えて飽和した空気に残る水蒸気は1 m³あたり8 gです。初めの12 gとの差が水滴になります。

12 − 8 = 4

空気は1 m³なので、答えは4 gです。露点に達した瞬間までに4 gができたのではありません。12 ℃から8 ℃まで冷える間に凝結した分です。

図2の値を場面に戻して検算します。20 g/m³の60%は20 × 0.60 = 12 g/m³で、露点の表の値に戻ります。また、8 ℃に残る8 gと水滴4 gを足すと12 gで、冷却前の水蒸気の質量に一致します。割合と水の保存の両方を確かめると、分母や差の向きを点検できます。

体積が変わるときの分かれ目

別の問題です。ある容器には25 ℃の空気が2 m³あり、水蒸気の出入りはありません。1 m³あたりの水蒸気量は15 gです。容器内の空気を体積一定でゆっくり冷やし、15 ℃で水滴がつき始め、さらに10 ℃まで冷やすとします。できた水滴は戻らず、冷却後も空気は飽和しているものとします。教材値として、飽和水蒸気量は25 ℃で25 g/m³、15 ℃で15 g/m³、10 ℃で9 g/m³とします。初めの湿度を整数の%、水滴の質量をgで答えてください。

初めの湿度は、同じ1 m³あたりの量を使い、15 ÷ 25 × 100 = 60 で60%です。15 ℃の飽和水蒸気量は実際の量と等しいので、この条件で水滴がつき始めることとも一致します。冷却後の1 m³あたりの水蒸気量は9 gですから、1 m³あたりに凝結する量は15 − 9 = 6 gです。容器全体は2 m³なので、6 × 2 = 12 gが答えです。

逆に確かめると、初めの水蒸気は15 × 2 = 30 g、冷却後に残る水蒸気は9 × 2 = 18 gです。18 + 12 = 30 gとなり、元の量に戻ります。湿度の計算では同じ体積あたりの比を使うため2倍は不要ですが、水滴の総質量を答えるときは2 m³分に直す必要があります。

もし同じ空気を露点より高い温度までしか冷やさなければ、水滴はまだできません。表の飽和水蒸気量が減った分をそのまま水滴にするのは誤りです。また、露点ちょうどは凝結が始まる境目であり、理想化した計算では、それ以前にまとまった質量の水滴ができたとは扱いません。冷却後の温度と露点の前後関係を、引き算の前に判定します。

間違えた式を修理する

基本例題で「20 ℃から12 ℃に冷える間に、20 − 12 = 8 gの水滴ができる」とした答案を考えます。20と12はそれぞれの温度の飽和水蒸気量であり、20 ℃で実際に存在した水蒸気量が20 gだったという条件はありません。表の2つの値の差は、そのまま凝結量にはなりません。

図3のように、まず露点の12 ℃から初めの水蒸気量12 g/m³を読み取ります。12 ℃に達するまで水蒸気量は12 g/m³のままです。その先の8 ℃で残る8 g/m³との差を求めれば、1 m³について4 gの水滴と直せます。

図3の誤りは、飽和水蒸気量を実際の量とみなした点にあります。もう1つの誤りは「冷えたら必ず水蒸気が減る」という思い込みです。露点前は水蒸気量が一定でも、飽和水蒸気量が減るので湿度は上がります。量と割合を別々に書き、温度ごとにどちらが変わるかを矢印で確認してください。

反対に、すでに飽和して水滴が生じているのに、水蒸気量を初めのままとする答案もあります。冷却後の飽和水蒸気量より多い質量を、同じ体積の空気に気体のまま残していないか調べます。ただし、水滴が取り除かれたり、外から水蒸気が加わったりする別の条件では、水の収支をその条件に従って立て直します。

自分で試す4問

以下の表の値は各問のための教材値で、実際の観測値ではありません。空気は指定した体積のまま、水蒸気の出入りなく冷やし、水滴が生じる場合は戻らないものとします。必要な温度では十分に冷えて飽和するとします。答えの単位と形は各問の指定に従ってください。

問1　30 ℃の空気1 m³に水蒸気が18 g含まれています。湿度を整数の%で、露点を整数の℃で求めてください。

問2　24 ℃の空気1 m³を冷やすと14 ℃で水滴がつき始めました。初めの湿度を小数第1位を四捨五入して整数の%で求めてください。

問3　18 ℃の空気3 m³は飽和しています。これを10 ℃まで冷やすと、水滴は何gできますか。整数で答えてください。

問4　10 ℃で飽和した空気1 m³を6 ℃まで冷やしました。冷却後に残る水蒸気とできた水滴をそれぞれ何gか整数で求め、2つの質量の和が初めの量に戻ることを式で示してください。

答えと考え方

問1の答えは湿度60%、露点18 ℃です。30 ℃の飽和水蒸気量30 g/m³を分母にし、18 ÷ 30 × 100 = 60 と計算します。実際の量18 g/m³と等しい飽和水蒸気量を表で探すと18 ℃です。30 × 0.60 = 18 g/m³と戻し、露点の行の18 g/m³とも一致することを確かめます。

問2の答えは58%です。露点14 ℃の行から、初めの水蒸気量は14 g/m³です。初めの温度24 ℃の飽和水蒸気量は24 g/m³なので、14 ÷ 24 × 100 = 58.333…%となり、指定どおり整数に丸めます。丸める前の割合を使えば24 × 14 ÷ 24 = 14 g/m³となり、露点の条件に戻ります。58%から戻すと13.92 g/m³となる差は丸めによるものです。

問3の答えは24 gです。初めは飽和しているので1 m³あたり18 g、10 ℃では1 m³あたり10 gが残ります。差は18 − 10 = 8 gで、3 m³では8 × 3 = 24 gです。初めの18 × 3 = 54 gに対し、残りの10 × 3 = 30 gと水滴24 gを足すと54 gになり、容器全体の水の量が合います。

問4の答えは水蒸気6 g、水滴4 gです。10 ℃での初めの量は10 g、6 ℃で残る量は6 gなので、10 − 6 = 4 gが凝結します。6 + 4 = 10 gと戻して初めの飽和量と照合できます。水滴を足さずに残った水蒸気だけで比較すると、減った水の行き先を見落とします。

手元に残す要点

湿度は実際の水蒸気量を、その温度の飽和水蒸気量で割った割合です。
露点までは、出入りがなければ水蒸気量は一定です。
露点では実際の量と飽和水蒸気量が等しくなります。
露点より冷やした後の凝結量は、初めの量と残る量の差です。
総質量を求めるときは空気の体積もそろえます。

どこで止まったかを見つける

お子さまが式を覚えていても、分母に露点の行を選ぶことがあります。その場合は「何℃の湿度を聞かれているか」と尋ね、表の対応する行を指してもらいます。答えだけでなく、実際の量と飽和水蒸気量をそれぞれどこから得たか説明できるかを見ると、読み違えた場所が見えます。

個別指導で確かめる際は、図1の冷却前と露点の位置を指し、水蒸気量と湿度のどちらが変わるかを言葉にしてもらいます。次に図2の水滴を、初めの水蒸気と残った水蒸気の差として説明できるかを確認します。体積が1 m³以外の問題では、1 m³あたりの差と全体の質量を分けて書けるかも点検します。温度ごとの上限と実際の量を区別すると、冷却の途中を筋道立てて追えます。