数検3級 二次方程式の数量問題—連続する整数の条件から式を作り解を選ぶ練習｜武蔵野個別指導塾

連続する整数を文字で並べ、積の条件を方程式に移します。負の組を残す判断と、大きい方を答える際の取り違えを確かめます。

よくあるのは、連続する整数の問題で方程式を解いた後、文字が表す数をそのまま隣の整数の答えとしてしまう場面です。計算が合っていても、何を文字で置いたかと、問題が何を求めているかが違えば答えはずれます。式を作る前に数の並びを言葉で置き、解いた後には元の条件に戻しましょう。ここでは連続整数とその積を扱い、図形の面積には広げません。

数の並びから何を問われるか

数量問題では、文章の中の関係を等式に移してから方程式を解きます。式を解く練習と違い、最初に文字の意味を自分で決める必要があります。また、最後には求められたものを答える必要があります。文字を置いた瞬間と、答えを書く直前が大事な分かれ目です。

出方の型は大きく3つあります。1つ目は、連続する2整数の積が与えられ、2つの整数を求める型です。小さい方を x とすれば、大きい方は x + 1 です。積が決まると x(x + 1) の形が現れます。正の組だけでなく負の組もあり得ることに注意します。

2つ目は、連続する偶数または奇数の積を使う型です。偶数どうし、奇数どうしは隣り合うものの差が2です。小さい方を x としたとき、次は x + 2 です。差が1なのか2なのかを、問題の言葉に戻って決めます。

3つ目は、積に加えて正の整数、自然数、個数などの条件がある型です。方程式の解として出た数をいったん候補にして、整数であるか、正負や個数の条件に合うかを調べます。問題にない条件を勝手に足さず、書かれた条件で選ぶことが必要です。これらは練習のための分類であり、特定の型が必ず出るという意味ではありません。

文字と隣の数を対応させる

整数は、負の整数、0、正の整数を含みます。連続する2整数を小さい順に並べると、その差は1です。小さい方を x と定めれば、大きい方は x + 1 となります。x が負でも同じです。たとえば x が -4 なら、次は -3 であり、数直線上でも -4 より1大きい数です。

図1のように、文字を置いた数と隣の数を別の場所に書きます。積は2つを掛けた x(x + 1) です。和と積を混同しないよう、文章の「合わせて」なのか「掛けて」なのかにも印を付けます。連続する3整数なら、小さい方から x、x + 1、x + 2 と並べられます。

図1では、矢印が小さい数から大きい数への差を表します。式を作る前に、文字が整数であることも書いておくと、方程式の解が分数になった場合に候補から外せます。ただし、偶数の問題で x を置くなら、x が偶数という条件も必要です。整数という条件だけでは偶数とは限りません。

文字は大きい方に置いてもかまいません。その場合、小さい方は x − 1 です。どちらを選んでも、定義した意味を途中で変えずに使います。計算しやすい置き方を選ぶことと、求められた数に戻すことは別の作業です。

基本例題: 大きい方を答える

連続する2つの正の整数の積が 56 です。大きい方の整数を整数で求めてください。

小さい方を x とします。x は正の整数で、大きい方は x + 1 です。積が 56 という条件を使い、式を順に変形します。

x(x + 1) = 56

x² + x = 56

x² + x − 56 = 0

(x + 8)(x − 7) = 0

x + 8 = 0 または x − 7 = 0

x = -8 または x = 7

積が0になるには、少なくとも一方の因数が0です。ここまでで出た -8 と 7 は、どちらも方程式の解です。しかし x は正の整数と決めたので、-8 はこの問題の候補から外します。x = 7 は小さい方の値です。求める大きい方は 7 + 1 = 8 です。

図2のように、7 と 8 の対応を書いてから答えます。実際に 7 と 8 は正の連続整数で、7 × 8 = 56 です。求める大きい方は 8 です。式の解と答えが別の数である点を、最後の確認で見落とさないようにします。

図2の右側は求められた数を示します。方程式を解いただけで終えると 7 と答える間違いが起こります。反対に、大きい方を x と定めれば、小さい方は x − 1 となり、x(x − 1) = 56 から正の解 8 を得ます。文字の置き方は違っても、元の条件で確かめれば同じ答えに着きます。

なお、負の候補 x = -8 からは -8 と -7 が得られ、その積も 56 です。積の条件は満たしますが、正の整数という条件を満たしません。積の検算と条件による選択は、それぞれ別に行います。

少し難しい例題: 負の組も残す

連続する2つの整数の積が 90 です。条件を満たす整数の組を、小さい方から順に、整数で全部求めてください。

小さい方を整数 x とすると、大きい方は x + 1 です。正の整数という指定はないため、最初から負の数を除いてはいけません。積の条件から次の式ができます。

x(x + 1) = 90

x² + x − 90 = 0

(x + 10)(x − 9) = 0

x = -10 または x = 9

x = -10 のとき、隣の数は -9 です。x = 9 のとき、隣の数は 10 です。したがって候補は (-10, -9) と (9, 10) です。前者は (-10) × (-9) = 90、後者は 9 × 10 = 90 となり、どちらも小さい方から並んだ連続整数です。

答えは (-10, -9)、(9, 10) です。積が正でも、掛ける2数がともに負であれば正になります。問題文が「正の整数」と言っている場合だけ負の組を外し、「整数」と言っている場合は両方を調べます。因数分解して得た2つの x は同じ組の2数ではなく、2通りの小さい方を表すことにも注意してください。

この判断は、答えの個数を確かめるときに役立ちます。候補を1組見つけて積が合ったとしても、もう1つの解が条件に合う可能性があります。一方、解が2つ出たからといって必ず2組を答えるわけでもありません。問題が付けた条件を各候補に適用して決めます。

誤答を条件まで戻して直す

基本例題で x = 7 を求めた後、「大きい方は 7」と答えたとします。方程式を解く計算は合っていますが、x は小さい方と定義しました。求める大きい方は x + 1 なので、7 に1を加えた 8 です。図3のように、文字の定義から答える対象へ矢印を引くと、取り違えを見つけやすくなります。

図3の左は解の意味、右は問題が求めた数です。答えを書いたら「その数は小さい方か、大きい方か」と読み返します。さらに隣の整数も添え、積が元の数に戻るか調べます。7 と書いた場合は、7 が小さい方であることが確認でき、問われた方とのずれが見えます。

別の誤りとして、負の小さい整数を -8 としたとき、隣を -9 としてしまうことがあります。-9 は -8 より小さいため、これは小さい順の並びではありません。数直線で右へ1進むと -7 です。負の数でも「大きい方は小さい方に1を加える」と考えます。

偶数や奇数で x と x + 1 を使う誤りもあります。連続する偶数の間には奇数が1つ入り、差は2です。例えば 4 の次の偶数は 6 です。まず具体的な並びを1組書き、差を確認してから文字に直すと、条件と式を結び付けられます。

解が条件に合わない場合

方程式が解けても、整数の問題に答えがあるとは限りません。例えば、連続する2整数の積が 10 となる組を探すとします。小さい方を整数 x と置けば x(x + 1) = 10 です。0 以上では、2 × 3 = 6、3 × 4 = 12 なので、その間に積が 10 となる連続整数はありません。負の整数でも、連続する2数の積は対応する正の2数の積と同じです。例えば -3 と -2 の積は 2 と 3 の積に等しくなります。0 をまたぐ -1 と 0 の積、0 と 1 の積はともに0です。この場合は条件を満たす組がありません。

答えがないことを示すには、候補を1つ試して違っただけでは足りません。正の範囲、負の範囲、0 を含む場合を分けて、他の候補が残っていないか確かめます。計算結果を整数に丸めて条件に合わせることもできません。丸めた数を代入して積が変われば、元の条件を満たさないからです。

解の選択に迷ったら、候補ごとに「整数か」「指定された正負か」「隣との差は正しいか」「積は元の値か」を順に調べます。どれか1つでも満たさなければその候補は外れます。逆に、すべてを満たす候補を勝手に外してはいけません。答えが複数ある場合と、答えがない場合の両方で、この点検が役立ちます。数の並びを手元に残しておけば、どの条件で候補を外したかも後からたどれます。

練習問題

次の問題では、問題文の条件に合う答えを求めてください。最初に文字が表す数を書き、式を解いた後に元の文章へ戻しましょう。

1. 連続する2つの正の整数の積が 132 です。小さい方を整数で求めてください。
2. 連続する2つの整数の積が 20 です。条件を満たす組を、小さい方から順に整数で全部求めてください。
3. 連続する2つの正の偶数の積が 80 です。大きい方を整数で求めてください。
4. 連続する3つの整数について、最も小さい数と最も大きい数の積が 48 です。条件を満たす3整数の組を、小さい方から順に整数で全部求めてください。

練習の答えと解き方

1. 小さい方をそのまま答える

小さい方を正の整数 x とすると、大きい方は x + 1 です。x(x + 1) = 132 を整理すると x² + x − 132 = 0 です。因数分解して (x + 12)(x − 11) = 0 なので、x = -12 または x = 11 です。

正の整数という条件から -12 を除きます。x は小さい方なので答えは 11 です。隣の整数は 12 で、11 × 12 = 132 です。2数が正で差が1であることも条件に合います。ここでは文字の値と求める値が一致しますが、それは最初に小さい方を x と置いたためです。

2. 2通りを組にする

小さい方を整数 x とすると、x(x + 1) = 20 です。整理して x² + x − 20 = 0、因数分解すると (x + 5)(x − 4) = 0 です。よって x = -5 または x = 4 となります。

それぞれの隣の数を求めると、答えは (-5, -4)、(4, 5) です。(-5) × (-4) = 20、4 × 5 = 20 で、どちらも差が1です。-5 と 4 はそれぞれ別の組の小さい方であり、同じ組の2数ではありません。正の整数という制限がないので負の組も残します。

3. 偶数の間隔を使う

小さい方を正の偶数 x とすると、大きい方は x + 2 です。x(x + 2) = 80 を整理し、x² + 2x − 80 = 0 を得ます。(x + 10)(x − 8) = 0 より、x = -10 または x = 8 です。

正の偶数という条件から x = 8 を選びます。求める大きい方は 8 + 2 = 10 です。8 と 10 は正の連続する偶数で、8 × 10 = 80 です。方程式を解いた値 8 をそのまま大きい方にしないよう、定義を見直します。

4. 真ん中の数を使う

真ん中の整数を x とすると、小さい方は x − 1、大きい方は x + 1 です。指定された2数の積は (x − 1)(x + 1) = 48 となります。展開すると x² − 1 = 48、したがって x² = 49 です。x = 7 または x = -7 です。

x = 7 の組は (6, 7, 8)、x = -7 の組は (-8, -7, -6) です。6 × 8 = 48、(-8) × (-6) = 48 であり、どちらも隣り合う数の差が1です。答えは (-8, -7, -6)、(6, 7, 8) です。両端の積という条件を、3数すべての積と読み違えないようにします。

覚えておくこと

連続する2整数は、小さい方を x とすると x と x + 1 です。
連続する偶数や奇数は、小さい方から x と x + 2 です。
方程式の解を、整数や正負の条件で選びます。
文字が表す数と、求められた数を照らし合わせます。
元の数の並びと積へ戻して答えを確かめます。

どこで止まったかを見分ける

式が作れないときは、まず具体的な整数を並べて差を言葉にしてみます。式は作れても答えがずれるときは、x の定義と問題が求める数にそれぞれ線を引き、両者が同じか確かめます。負の組を落としたときは、問題文に正負の条件があるかを探します。

個別指導では、途中式だけでなく、文字を置いた理由と候補を残す理由を口に出してもらうと、立式と選択のどちらで迷ったかを確かめられます。保護者がお子さまの答えを見るときも、正解の数だけでなく、元の条件へ戻した計算に注目できます。数の意味を最後まで持ち続けると、隣の整数を答える問題でも自分の答えを点検できます。