数検3級 因数分解の共通因数—最初にくくる文字と数を見つけて積へ直す練習｜武蔵野個別指導塾

係数の最大公約数と共通する文字を分けて探します。くくった積を各項へ展開し、文字の残しすぎや負号の取り違えを点検します。

よくあるのは、受検者が係数の共通部分を見つけて数だけを括弧の外へ出し、どの項にもある文字を括弧の中に残す場面です。式を展開すると元に戻るので、途中の変形としては正しく見えます。しかし、まだ共通にくくれるものがあれば、積の形への整理は終わっていません。数と文字を別々に調べ、括弧の中まで点検する順番を身につけましょう。

どこまで外へ出せるかを問う型

因数分解は、和や差で表された式を、いくつかの式の積に直すことです。ここでは整数係数の式について、各項に共通する数や文字をくくり出します。展開は積から和や差へ戻す操作なので、最後の確認にも使えます。

出方の1つは、2つの項に同じ文字がある式です。係数の共通部分と文字の共通部分をそれぞれ探して組み合わせます。もう1つは、文字が2種類あり、それぞれの個数を比べる式です。片方の項にしかない文字は外に出せず、両方にある文字も少ない個数までしか共通にできません。3つ目は、先頭の項が負の式です。負の数を外に出すと括弧内の符号がどう変わるかが判断の分かれ目です。

どの型でも、まず項を符号ごとに区切ります。引き算の記号は後ろの項の負の符号として考えます。そのうえで、各項を同じ因数と残りの積に分けます。計算を急いで括弧内の数字だけを決めると、文字や符号を落としやすくなります。各項から同じものを取り出せる理由を確認してから、積へまとめます。

共通する数と文字を分けて見る

項は、足し算や引き算で区切られたひとまとまりです。たとえば 12x²y と 18xy² の共通因数を探すときは、係数 12 と 18 の両方を割り切る数を調べます。最大公約数は 6 です。次に文字を見ると、x は前の項に2個、後ろの項に1個あります。共通する x は1個です。y も両方に1個ずつあるので、共通因数は 6xy です。

図1のように、各項を共通部分と残りに分けると、残りがどこから来たかを追えます。12x²y は 6xy と 2x の積、18xy² は 6xy と 3y の積です。この対応は、文字を約分のように消して終わるためではなく、元の各項を積で作り直せることを示しています。

図1の共通部分を外に置けば、2項の和は 6xy(2x + 3y) です。括弧内に残る 2x と 3y は整数の係数に共通の約数がなく、文字も共通していません。もし文字が一方の項にないときは、その文字を共通因数に入れません。指数が違う場合は、小さい指数の個数だけ共通です。

また、ある項全体をくくり出したときの残りは 1 です。たとえば 5a + 10a² は 5a(1 + 2a) であり、最初の項の残りを空欄や 0 にすることはできません。外の 5a に 1 を掛けると元の 5a に戻るからです。項の符号も残りに含めて考えると、差の式でも同じ手順を使えます。

共通因数を探す際、係数の最大公約数と文字の個数は別の問いです。たとえば係数が両方とも偶数だからといって、文字の個数まで偶数個になるわけではありません。数については割り切れるか、文字については各項の積の中に何個あるかを確かめます。数の候補を決めたあとで文字を足しても、文字から先に調べても、同じ共通部分にたどり着きます。

指数を比べるときは、書かれていない指数を1と読みます。文字がない項では、その文字は共通部分に入りません。見た目が似た項でも、文字の種類が異なれば同じ因数ではありません。たとえば x と y を同じ文字として扱わず、種類ごとに各項を見渡します。係数が負の場合は符号をいったん分け、絶対値で最大公約数を探してから、外へ出す符号を決めると整理しやすくなります。

基本例題: 数と文字を同時にくくる

次の式を、整数係数の式の積に因数分解し、共通因数を残さない形で答えましょう。

8x² + 12x

まず2つの係数 8 と 12 の最大公約数を求めます。続いて x がそれぞれ何個あるかを見ます。前の項には2個、後ろの項には1個あるので、共通するのは x が1個です。

8x² = 4x × 2x

12x = 4x × 3

8x² + 12x = 4x × 2x + 4x × 3

= 4x(2x + 3)

答えは 4x(2x + 3) です。図2のように各項を 4x と残りに分けると、括弧内の 2x と 3 がそれぞれ元のどの項に対応するかを確認できます。

図2で後ろの項に x が残らないのは、もとの 12x に含まれる x を外へ出したからです。残りを 3x と書くと、展開した後ろの項が 12x² になってしまいます。前の項は 4x × 2x = 8x²、後ろの項は 4x × 3 = 12x です。両方を足すと問題の式に戻ります。

さらに、括弧内の 2x と 3 には共通にくくれる整数や文字が残っていません。この点まで見て完了です。たとえば途中で 4(2x² + 3x) と書くことも展開すれば正しい変形ですが、括弧内の両項には x が残っています。もう一度 x をくくれば同じ答えに到達します。途中式と最終形の役割を区別して点検しましょう。

負の因数を選ぶときの分かれ目

次の式を、先頭が正の項になる括弧を使い、共通因数を残さない整数係数の積に因数分解しましょう。

-15a²b + 20ab² − 5ab

3項の係数の絶対値 15、20、5 の最大公約数は 5 です。a は各項に少なくとも1個、b も各項に少なくとも1個あります。共通する部分は 5ab です。先頭が正の項になる括弧という条件があるので、外に出す因数を -5ab と選びます。

-15a²b = -5ab × 3a

20ab² = -5ab × (-4b)

-5ab = -5ab × 1

したがって、-5ab(3a − 4b + 1) です。正の 5ab を外に出すと 5ab(-3a + 4b − 1) となり、これも元の式と等しい積です。ただし、括弧の先頭を正にするという今回の条件には合いません。負をくくることは、元の符号を無視することではありません。外の負と内側の符号を掛け合わせ、各項の符号を元に戻します。

検算では、-5ab × 3a = -15a²b、-5ab × (-4b) = 20ab²、-5ab × 1 = -5ab と、3項をそれぞれ復元します。最後の項の残りは -1 ではなく 1 です。負どうしを掛けると正になるので、-1 を入れると元の負の項には戻りません。括弧内には数にも文字にも共通因数が残っていないことも確認します。

誤答を元の項へ戻して直す

8x² + 12x を 4x(2x + 3x) とする誤答を考えます。係数の 8 と 12 を 4 で割るところまでは合っていますが、後ろの項の x を外へ出した後も、括弧内にもう1個書いています。図3のように展開すると、後ろの項が 12x² になり、元の 12x と一致しません。

図3では、後ろの項が 4x × 3 = 12x になるよう括弧内を 3 に直します。正しい形は 4x(2x + 3) です。間違いを見つけたら、答え全体を書き直す前に、どの項が元の式と違うかを探します。違う項について、外の因数に何を掛ければ元に戻るかを考えると、修正箇所がはっきりします。

別の失敗として、8x² + 12x を 4(2x² + 3x) で止める場合があります。こちらは展開しても元に戻るので、等式の誤りではありません。ただし括弧内の両項に x が残っているため、共通因数を残さないという条件には届いていません。等式が正しいかという点検と、くくり残しがないかという点検は、両方必要です。

符号の間違いも同じ方法で見つけられます。負の因数を外に出したとき、括弧内の符号を変え忘れると、展開した項の符号が逆になります。係数、文字の個数、符号の順に各項を照合し、1項でも一致しなければその項の残りを決め直します。

練習: 項を分けてから積にする

次の4問は、いずれも整数係数の式の積に因数分解し、括弧内に共通因数を残さない形で答えましょう。問4は括弧の先頭の項を正にします。まず4問を解き、後の解答で各項への戻し方も照合しましょう。

1. 15p² + 25p
2. 14m²n − 21mn²
3. 18u³v + 12u²v² − 6u²v
4. -28r²s + 35rs

答えと解き方

1. 係数の最大公約数は 5、共通する文字は p です。15p² = 5p × 3p、25p = 5p × 5 なので、答えは 5p(3p + 5) です。展開すると 15p² + 25p に戻り、括弧内に共通の文字も数も残りません。後ろの項は p を外に出したため、括弧内には 5 が残ります。

2. 係数の最大公約数は 7 です。m と n は両項にそれぞれ1個ずつ共通します。14m²n = 7mn × 2m、-21mn² = 7mn × (-3n) ですから、答えは 7mn(2m − 3n) です。展開した2項は 14m²n と -21mn² で、差の符号も元に戻ります。m と n の指数を一方ずつ見比べると、両方の文字を過不足なく外に出せます。

3. 係数の最大公約数は 6、各項に共通する文字は u が2個と v が1個です。18u³v = 6u²v × 3u、12u²v² = 6u²v × 2v、-6u²v = 6u²v × (-1) です。答えは 6u²v(3u + 2v − 1) です。展開すると3項とも問題の式に戻ります。最後の項は外の因数と絶対値が同じなので、残りの -1 を落とさないことが必要です。

4. 係数の最大公約数は 7、共通する文字は rs です。括弧の先頭を正にするため、-7rs を外に出します。-28r²s = -7rs × 4r、35rs = -7rs × (-5) なので、答えは -7rs(4r − 5) です。展開すると -28r²s + 35rs に戻ります。正の 7rs を外に出す形も式としては等しいものの、括弧の先頭が負になるため、問4の指定には合いません。

解答が一致しない場合は、まず自分の積を展開してください。元の式に戻らなければ、各項の符号、係数、文字の個数のどこかが違います。元の式に戻る場合でも、括弧内の各項を見て共通因数が残っていないか、また問4の符号の指定を満たすかを調べます。この順なら、途中の等式の間違いと、答えの形の条件を満たさない場合を分けて直せます。

たとえば外へ出す因数を決めたあと、括弧の1項を決められなくなったら、元の項をその因数と何の積にできるかに戻ります。係数だけでなく文字も掛けて確認します。割り算の手順に自信がないときでも、掛け算で元の項を作れるかどうかは確かめられます。

また、項の数が増えても、共通という条件は変わりません。最初の2項で見つけた候補が、残る項にも含まれるかを順に確認します。1項でも割り切れない数や、1項にでも存在しない文字は共通因数に入れません。最後の項を見落とさないよう、項ごとの対応を紙に残しておくと点検しやすくなります。途中の積も丁寧に確かめましょう。

覚えておくこと

係数は最大公約数、文字は各項に共通する個数を探します。
各項を外の因数と残りの積に分け、残りを括弧に並べます。
項全体を外に出したときは、残りの 1 や -1 を書きます。
展開して各項に戻し、括弧内のくくり残しも調べます。

問題を解き直すときは、答えの見た目が模範の式と違うだけで誤りと決めないことも大切です。負の因数を外に出すかどうかによって、積の両側の符号が変わる場合があります。展開して元の式と比べ、そのうえで問題が求める形を満たすかを調べます。符号の指定がない場合は、等しい別の積の形も考えられます。

一方、展開が合っただけでは因数分解が終わったと判断できません。括弧内に数や文字の共通部分があれば、それをさらに外へ出せます。途中で筆算のように各項の分解を書き、その対応を見ながら括弧内を作ると、どの段階で残しすぎたかを振り返れます。時間を置いて再挑戦するときも、答えを覚えるより、この確認順を再現することに意味があります。

手が止まる場所を見分ける

お子さまが数だけをくくって止まるときは、各項に含まれる文字を1個ずつ書き出すと、共通する個数を確認できます。逆に文字を外へ出しすぎるときは、外の因数と括弧内の項を掛け、元の文字の個数に戻るかを見ます。個別指導では、答えが違った箇所だけでなく、係数、文字、符号のどの判断で迷ったかを途中式から確かめます。共通因数を見つける目と、元の式へ戻す目がそろえば、積の形を自分で点検できます。