数検3級 乗法公式—平方と和と差の積を見分けて符号をそろえる練習｜武蔵野個別指導塾

差の平方に残る中央の項と、和と差の積で消える項を、分配法則から確かめます。係数や外側の引き算を含む式も練習します。

よくあるのは、受検者が差の平方を計算するとき、両端をそれぞれ二乗して中央の項を落とす場面です。(x − 3)²をx² + 9と書くと、元の式に含まれる2つの掛け算が消えてしまいます。括弧を2つ並べ、どの項とどの項を掛けたかを見れば、公式を忘れたときにも戻れます。ここでは平方と和と差の積にしぼり、形の見分け方から符号の点検まで練習します。

括弧の形を見て道を選ぶ

乗法公式を使う問題には、まず同じ括弧を2回掛ける平方の型があります。(a + b)²と(a − b)²は、どちらも両端の平方に加えて中央の項が現れます。違いは中央の符号です。括弧の間の符号を見て、和の平方なら正、差の平方なら負にします。

次に、同じ2つの部分を使い、一方が和でもう一方が差になっている積があります。(a + b)(a − b)では、中央に現れる2つの項が互いに打ち消し合います。平方と見た目が似ていても、2つの括弧は同じではありません。最初に括弧を比べることが選択の分かれ目です。

さらに、文字の前に数が付く式や、括弧全体が別の数で掛けられる式もあります。文字と係数を合わせて1つの部分と見てよいか、外の数を最後まで残しているかを確認します。公式の名前を急いで決めるより、同じ部分と異なる符号を指で追うほうが、書き間違いの位置を見つけやすくなります。

2つの掛け合わせを数える

平方とは同じ式を2回掛けることです。aとbをそれぞれ1つの数や式とすると、(a + b)²は(a + b)(a + b)です。前の括弧のaとbを、後ろの括弧のaとbのそれぞれに掛けます。4つの積はa²、ab、ab、b²で、真ん中の2つを合わせると2abです。

差の場合も掛ける組は4つです。(a − b)(a − b)では、aと-bの積が2回現れます。最後の(-b)(-b)は正のb²なので、結果はa² − 2ab + b²です。中央が負だからといって、最後まで負にするわけではありません。

図1のように、同じ符号の括弧では中央の2つが同じ符号になり、反対の符号の括弧では大きさが等しく符号が反対になります。後者はabと-abの和が0になるため、a² − b²が残ります。

図1の対応を式にまとめると、次の3つです。aやbに何が入るかを決めてから、各部分を計算します。

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

たとえばaが2xならa²は2x²ではなく4x²です。2x全体を2回掛けるからです。文字だけを二乗する癖がある場合は、(2x)(2x)と書き直して数どうし、文字どうしを順に掛けます。

差の平方を4つの積から解く

例題1: (x − 3)²を展開し、同類項をまとめた式で答えましょう。

まず平方を同じ括弧の積に直します。次に前の括弧の各項を後ろの括弧の各項に掛け、最後に同類項をまとめます。

(x − 3)²
= (x − 3)(x − 3)
= x × x + x × (-3) + (-3) × x + (-3) × (-3)
= x² − 3x − 3x + 9
= x² − 6x + 9

図2のように、中央には-3xが2つあります。これらを合わせて-6xにするので、答えはx² − 6x + 9です。最後の9は、負の数どうしの積が正になることから出ます。

公式を使うならa = x、b = 3と見ます。中央は-2 × x × 3で-6x、最後は3²で9です。図2で数えた2つの積と公式の2は同じ意味を持っています。

答えが元の積と対応するか、x = 5を入れて確かめます。元の式は(5 − 3)² = 4、答えは25 − 30 + 9 = 4です。1つの値で一致してもそれだけで恒等的に正しい証明にはなりませんが、項の落とし間違いを見つける手がかりになります。証明の役割は、先ほどの4つの積を使った計算が担います。

計算の途中で中央が消えたら、-3xと-3xを足したかを見直します。符号が同じ2つの項は打ち消し合いません。逆に最後が-9になったときは、(-3)を2回掛けた行に戻り、負と負の積を確認します。

係数と外側の引き算に注意する

例題2: (2x + 5)(2x − 5) − (x − 2)²を展開し、同類項をまとめた式で答えましょう。

前半は同じ2xと5を和と差にした積です。後半は同じ括弧の平方で、さらにその全体を引いています。両方を同じ公式に当てはめず、まず別々に展開します。

(2x + 5)(2x − 5) = 4x² − 25
(x − 2)² = x² − 4x + 4

これらを元の式へ戻すと、次のようになります。

(4x² − 25) − (x² − 4x + 4)
= 4x² − 25 − x² + 4x − 4
= 3x² + 4x − 29

前半の中央では-10xと+10xが消えます。一方、後半の中央には-2xが2つあるので-4xが残ります。2つ目の括弧の前にある引き算は展開後の各項に及ぶため、-4xを引くと+4xです。答えは3x² + 4x − 29です。

x = 3で元の式に戻すと、(6 + 5)(6 − 5) − (3 − 2)² = 11 − 1 = 10です。答えの式も27 + 12 − 29 = 10になります。前半の2xを二乗した結果が4x²であることと、後半全体の符号を変えたことを別々に点検できます。

誤答を掛け算まで戻す

例題1で(x − 3)² = x² + 9と書いた場合、両端の平方は合っていますが、xと-3を掛ける2通りを落としています。図3のように、誤答に欠けているのは-3xと-3xです。これを足して-6xを入れ、x² − 6x + 9に直します。

図3の誤答はx = 5で34となり、元の式の4と一致しません。代入で差が見えたら、数値だけを直すのではなく、どの掛け合わせが欠けたのかに戻ります。

別の誤りは(x − 3)²をx² − 9とすることです。これは和と差の積の結果と取り違えています。平方では2つの括弧がどちらも(x − 3)ですから、中央の負の項が残り、最後は正の9です。括弧を2つ書いて符号を比べると、どちらの型かを確認できます。

また、(x + 3)(x − 3)をx² − 6x − 9とする場合は、中央の符号を同じにしてしまっています。実際には-3xと+3xなので和は0です。項が消えるのは最初から掛けなかったためではなく、掛けた後に逆符号の項が合わさるためです。

練習問題

次の式を展開し、同類項をまとめた式で答えましょう。まず4問とも自分で解き、括弧の形と符号を記録してから、後の答えを見てください。

1. (x + 4)²
2. (3x − 1)²
3. (x + 7)(x − 7)
4. (x + 2)² − (x + 1)(x − 1)

答えと解き方

1. 答えはx² + 8x + 16です。x²、2 × x × 4、4²を順に並べます。x = 2のとき元の式は6² = 36、答えは4 + 16 + 16 = 36です。中央の2つの積はどちらも+4xです。

2. 答えは9x² − 6x + 1です。3x全体を二乗すると9x²で、中央は-2 × 3x × 1です。x = 2なら元の式は(6 − 1)² = 25、答えは36 − 12 + 1 = 25です。係数の3も二乗する点を点検します。

3. 答えはx² − 49です。中央に-7xと+7xが現れ、和が0になります。x = 2なら元の積は9 × (-5) = -45、答えは4 − 49 = -45です。最後の項は7と-7の積なので負です。

4. 答えは4x + 5です。前半はx² + 4x + 4、後半はx² − 1です。後半全体を引くとx² + 4x + 4 − x² + 1となり、二乗の項が消えます。x = 2なら元の式は4² − 3 × 1 = 13、答えは8 + 5 = 13です。後半の-1を引くと+1になることを、括弧を残した行で確認します。

値を代入して一致しなかった場合、まず代入自体の符号を確かめます。それでも合わなければ、4つの積を並べた行まで戻ります。一致した場合も、別の値では誤りが現れることがあるため、各掛け合わせと外側の符号を見直して仕上げます。

公式を使う前の小さな確認

式を見たら、まず括弧が何個あるかを調べます。右上の²は括弧が1個という意味ではなく、その括弧を2回掛ける指示です。括弧を2つ書き出したとき、両方の中の符号と数が一致しているかを確かめます。ここが一致しないまま平方の公式を使うと、途中の計算が正しくても別の式を計算することになります。

次に、公式のaとbが式のどこに対応するかを決めます。たとえば(4x − 6)²なら、aは4x、bは6です。中央の大きさは2 × 4x × 6で48x、両端は16x²と36です。符号を付けると16x² − 48x + 36になります。x = 1では元の式も展開後も4です。aをxだけと見て係数を置き去りにすると、両端にも中央にも誤りが広がります。

同じ考え方は文字が2種類ある場合にも使えます。(p + 2q)²ではaがp、bが2qです。中央は2 × p × 2qで4pq、最後は(2q)(2q)で4q²です。したがってp² + 4pq + 4q²になります。p = 1、q = 2とすると、元の式は5²、展開後は1 + 8 + 16で、どちらも25です。文字が違っても、掛ける組と係数の扱いは変わりません。

和と差の積では、同じ部分が両方にあるかも必要です。(x + 4)(x − 5)は符号が違っても数の部分が4と5で一致しないため、平方の差の公式をそのまま使えません。分配法則でx² − 5x + 4x − 20、つまりx² − x − 20とします。中央の項が消えるかどうかは、符号だけでなく大きさも調べて判断します。x = 2なら元の積も答えも-18です。

途中式を使った確かめ方

式の形が整ったら、まず項の種類を見ます。平方の公式を使った結果では、両端の部分を二乗した項と、2つの部分を掛けた中央の項を探します。文字と数が混ざるときには、たとえばx²の項、xの項、数の項を分けて整理します。種類の違う項は、係数だけを足して1つにはできません。

次に、符号を1項ずつ追います。差の平方では中央が負でも最後は正です。和と差の積では最後が負ですが、中央は相殺されます。この違いを暗記した結果と、実際の掛け算が食い違ったら、暗記を優先せず括弧を2つ並べた行に戻ります。途中のどの積からその項が生まれたかを説明できれば、符号の修正に根拠が持てます。

最後に代入で元の式と答えを比べます。0を入れると定数項を確かめやすく、1や負の数を入れると中央の項の符号を点検しやすくなります。ただし、ある値で偶然一致する誤答もあります。代入で合ったことを最終的な証明にせず、分配した各項の対応を確認するための補助にします。

時間を置いて解き直す際は、最初から公式を見ずに括弧を2つ書き、4つの積を出してみます。その結果と公式の各項が対応すれば、公式を忘れても分配法則から作り直せます。慣れた後は公式で短く計算し、迷った部分に限って積へ戻ると、速さと確かさを両立しやすくなります。

符号が不安なときの手順

負の数を含む項は、掛ける間だけ括弧で囲むと符号を追いやすくなります。たとえば(-2) × (-2)は正の4で、x × (-2)は-2xです。同じ負の数が現れても、相手が負かどうかで積の符号が変わります。

式全体を引く場合も、括弧をいったん残します。中の各項を引いてから同類項をまとめれば、中央の符号だけを変え忘れる失敗を防げます。計算が合わないときは、公式の選択、各積の符号、最後の整理の順に確かめます。

覚えておくこと

平方は同じ括弧の積に直し、中央の2つの積を数えます。
和と差の積は、中央の逆符号の項を足して0にします。
係数を含む部分は、その全体を二乗します。
展開した式全体を引くときは、各項の符号を変えます。

どこで手が止まるかを見る

個別指導では、答えの正誤だけでなく、最初に括弧をどう比べたかを確かめます。同じ括弧だと説明できても中央を落とすなら、4つの掛け合わせを書いてもらい、2つの交差する積を探します。和と差の積で中央が残るなら、2つの積の符号をそれぞれ声に出して比べます。

係数の二乗や外側の引き算で止まる場合は、その部分だけを元の形に戻します。保護者がお子さまの途中式を見るときも、答えだけを直す前に、どの2項を掛けたかを尋ねると、誤りの場所を共有できます。括弧の形と4つの積がつながれば、乗法公式は意味を持った計算の道具になります。