数検3級 式の展開—分配法則から積の各項を落とさず整理する計算の練習｜武蔵野個別指導塾

括弧の後半への掛け忘れを積の組合せと符号の点検で直し、順に取り組む式の展開です。

よくあるのは、受検者が括弧の前半には数を掛けたのに、後半には掛け忘れが残るという場面です。途中式を見返すと、最初の積は合っていても、次の項が元のまま書かれています。括弧を外す操作を一度に済ませようとすると、どの項に何を掛けたかが見えにくくなります。

式の展開では、掛ける相手を順番に決め、できた積を足し合わせます。ここでは単項式と多項式の積、多項式どうしの積を扱います。乗法公式を選ぶ練習には進まず、分配法則を使って項を残さず書く方法を追います。

掛ける相手を見つける3つの型

1つ目は、括弧の外の単項式を中の各項に掛ける型です。例えば 3(x + 2) なら、3をxに掛け、続けて2にも掛けます。3x + 2 とすると、後半の2に3を掛けた記録がありません。項を2つ見つけたら、掛け算も2つあるかを確かめます。

2つ目は、2つの括弧のそれぞれから1項ずつ選び、積を作る型です。(x + 1)(x + 4) では、左の2項のそれぞれに右の2項を掛けます。積は整理前に4つできます。途中で同じ種類の項が見つかっても、4つの積を書き終えてからまとめると、抜けを探しやすくなります。

3つ目は、負の項や、括弧の前の引き算を含む型です。符号は項の一部として扱います。引き算の直後の項を負の数として見れば、正と負の積の規則をそのまま使えます。括弧の前に引き算があるときは、括弧全体を引くことにも注意します。

これらは計算の練習として作った分類です。どの型も、最初に括弧の中に何項あるかを読み、掛ける組を決めてから計算に入ります。途中で間違えても、項の抜けか符号か、あるいは最後の整理かを分けて見直せます。

項を分けて積の道筋を作る

足し算や引き算で区切られた一つひとつを項と呼びます。例えば 2x − 5 には 2x と -5 の2項があります。引き算の記号を置き去りにせず、後ろの数と一緒に読むと、掛け算の符号を判断しやすくなります。

単項式は数や文字の積でできた1つの項です。多項式は複数の項の和として表された式です。文字を含む項では、数の部分を係数と呼びます。例えば -3x の係数は -3 です。x² は x と x の積を表し、2x とは別の種類の項です。

分配法則は、括弧の外の数や式を、括弧の中の各項に掛けて足す規則です。図1のように、左に2項、右に2項があるときは、左の各項から右の各項へ道を伸ばします。1本の道が1つの積に対応します。

図1では a と b のそれぞれが c と d の両方に対応しています。したがって (a + b)(c + d) は ac + ad + bc + bd です。文字は数を表しているので、符号が負の項であっても、同じ組合せの考え方が使えます。

整理するときは、文字とその指数が同じ項をまとめます。例えば 2x と 5x は 7x ですが、2x と 5 は足して7xにはなりません。x² と x も異なる種類です。数字の部分だけを見ず、文字の部分まで揃っているかを確認します。

符号と文字を別々に見る

項を掛けるときは、符号、数、文字の順に考えると整理できます。例えば (-2x) × 3x なら、負と正の積は負、2と3の積は6、xとxの積はx²です。これらを合わせて -6x² と書きます。符号に気を取られて文字を落としたり、数の積だけを記録したりしないよう、3つの部分を確認します。

一方、(-2x) × (-3) は 6x です。後ろの項に文字がないため、文字の積はxのままです。見た目に引き算があるかどうかだけで判断せず、実際に掛ける2項の符号を読みます。

項の個数は掛け忘れを見つける手がかりです。2項と3項の積なら、最初の項から3つ、次の項からも3つ、整理前に6つの積ができます。ただし、計算して0になる項や同類項を先にまとめた場合は、見える項の数が減ることがあります。個数は整理前の記録で数えます。

基本例題：4つの積を順に書く

次の式を展開し、同類項をまとめて答えなさい。

(2x + 3)(x − 4)

左の 2x と 3 を、それぞれ右の x と -4 に掛けます。図2のように、左の項ごとに2つずつ積を作ると、掛ける順番を見失いにくくなります。

計算を1行ずつ進めます。

(2x + 3)(x − 4)

= 2x × x + 2x × (-4) + 3 × x + 3 × (-4)

= 2x² − 8x + 3x − 12

= 2x² − 5x − 12

最初の積では x × x が x² になります。2番目は正の 2x と負の4の積なので -8x です。3番目は 3x、4番目は -12 です。図2の4つの積と途中式の4項を対応させてから、-8x と 3x をまとめます。

答えを確かめる方法の1つは、元の式と答えに同じ数を代入して比べることです。x = 1 なら元の式は 5 × (-3) で -15、答えも 2 − 5 − 12 で -15 です。1つの値で一致しても式が必ず正しいとは限りませんが、不一致ならどこかに誤りがあります。積の組合せと符号の確認も併せて行います。

括弧の順序を変えても積の値は変わりますか。掛け算では順序を入れ替えても値は同じです。ただし、書く順番を途中で変えると、まだ掛けていない組が見えにくくなります。左の先頭から右へ、次に左の後半から右へ、という順番を決めておくと確認しやすくなります。

途中式から戻って確かめる

基本例題の途中式を下から逆にたどると、-5x は -8x と 3x をまとめた結果です。この2項は別々の組から生じています。元の左の 2x は右の2項に、左の3も右の2項に掛かっているので、それぞれの担当を確認できます。

代入で点検するときは、計算しやすい数を選びます。0を使えば定数の扱いを調べやすくなりますが、文字を含む項は0になるので、文字の係数の間違いを見逃すことがあります。別の数も使い、値の一致と積の対応の両方を見ます。検算は答えの根拠を代入だけに任せるためではなく、計算の食い違いを発見するための手段です。

引く括弧があるときの分かれ目

次の式を展開し、同類項をまとめて答えなさい。

3x(x − 2) − (x − 1)(2x + 5)

この式では、2つの積を求めた後、後ろの積全体を引きます。分かれ目は、後ろの括弧を展開した結果を、さらに括弧に入れて引くかどうかです。引く対象が式全体なので、途中式に括弧を残します。

3x(x − 2) − (x − 1)(2x + 5)

= 3x² − 6x − (2x² + 5x − 2x − 5)

= 3x² − 6x − (2x² + 3x − 5)

= 3x² − 6x − 2x² − 3x + 5

= x² − 9x + 5

前の積は 3x を x と -2 の両方に掛けます。後ろの積は x と -1 のそれぞれを 2x と 5 に掛けます。後ろの括弧の中を整理したら、括弧全体を引くため各項の符号を変えます。最後の -5 を引くことは、5を足すことです。

x = 2 で元の式に戻すと、前の積は0、後ろの積は9なので結果は -9 です。答えに代入しても 4 − 18 + 5 = -9 となります。仮に後ろの括弧の先頭の符号だけを変えたら、他の項は引かれないまま残ります。括弧を消す前に、どこからどこまでが引かれる対象かを指で追ってください。

掛け忘れと符号のずれを直す

3(x − 4) を 3x − 4 とした誤答を考えます。図3のように、前半の x には3を掛けていますが、後半の -4 がそのまま残っています。後半にも3を掛けるので、正しくは 3x − 12 です。

図3の誤答は、x = 0 を代入すると元の式が -12、誤答が -4 になり、値が一致しません。数字を代入する前に、元の括弧の2項と途中式の2つの積を照合することもできます。後半が元の数のままなら、係数1の場合などを除き掛け忘れを疑います。

もう1つの誤りは、負の項どうしの積を負にすることです。例えば (-2) × (-3) は正の6です。符号を先に決め、次に数の大きさを掛けると、負の符号を見たまま答えにも負を書いてしまう間違いを減らせます。

整理で 4x² と -x を 3x² にする誤りもあります。x² と x は文字の部分が異なるので、まとめられません。計算後の項を文字の種類ごとに分け、同じ種類の係数だけを足し引きします。積の抜け、符号、同類項の区別は別々に点検すると、直す場所がはっきりします。

間違えた行から再開する

誤答を見つけたら、最初から全部を消す必要はありません。元の各項と整理前の積を結び、最初に対応が崩れた行を探します。その行より前が正しければ、そこから書き直します。例えば積は揃っていて整理だけが違うなら、4つの積を残し、文字の種類ごとにまとめ直します。

ただし、誤った途中式の後に正しい答えが偶然現れることもあります。答えの数字だけを合わせず、各行が前の行と同じ値を表しているかを確認します。負の符号を含む項に印をつける、引く括弧の範囲を囲むなど、自分が見落としやすい箇所を見える形にしておくと、次の問題にも使えます。

自分で試す4問

次の式を展開し、同類項をまとめて答えなさい。まず4問とも解いてから、後の解答と比べてください。

1. -2(3x + 5)
2. (x + 6)(3x − 2)
3. (2x − 5)(x − 3)
4. 2x(x + 4) − (x + 2)(x − 3)

解答と解き方

1. 答えは -6x − 10 です。-2を 3x と 5 にそれぞれ掛けます。x = 1 では元の式は -2 × 8 = -16、答えも -6 − 10 = -16 です。負の数を括弧の両方の項へ掛けたかを確かめます。

2. 答えは 3x² + 16x − 12 です。積を順に書くと 3x² − 2x + 18x − 12 になり、中央の2項をまとめます。x = 1 では元の式は 7 × 1 = 7、答えも 3 + 16 − 12 = 7 です。4つの積を作った後に整理します。

3. 答えは 2x² − 11x + 15 です。2x² − 6x − 5x + 15 としてから、-6x と -5x を合わせます。最後の積は負の数どうしなので正です。x = 1 では元の式は (-3) × (-2) = 6、答えも 2 − 11 + 15 = 6 です。

4. 答えは x² + 9x + 6 です。前の積は 2x² + 8x、後ろの積は x² − x − 6 です。後ろを括弧に残すと 2x² + 8x − (x² − x − 6) となり、引く括弧を外して整理します。x = 1 では元の式は 10 − 3 × (-2) = 16、答えも 1 + 9 + 6 = 16 です。

答えが合わなかった場合は、まず整理前の積の数を見ます。1問目は2つ、2問目と3問目はそれぞれ4つ、4問目は前の積に2つ、後ろの積に4つあります。数が揃っていれば各積の符号を確認し、最後に同類項の整理を見直します。代入で一致しないときは元の式の計算も含めてやり直します。

解答を比べるときの手順

4問のうち正解した問題でも、解答と違う順番で計算したなら、どの積がどの組から生じたかを確かめます。順番が違っても、必要な組が揃い、符号と整理が正しければ同じ式になります。計算の順序を固定するのは、唯一の書き方を決めるためではなく、抜けを見つけやすくするためです。

不正解の問題は、答えを見ながら同じ式を書き写すだけで終えず、元の式を見て掛ける組をもう一度自分で作ります。翌日に再び解くときも、前の答えを隠して途中式を残します。括弧の後半に掛けたか、負の項を符号ごと扱ったか、引く範囲を保ったかを順に調べれば、どの操作を練習するか決められます。

代入した値が一致しなかった場合は、展開した答えだけでなく、元の式への代入も確認します。括弧内の計算を先に行い、負の数の積を丁寧に計算します。検算側の符号が違えば、正しい展開を誤りと判断してしまうためです。両方の値をそれぞれ書いて比べる習慣が役立ちます。

覚えておくこと

括弧内の項を、符号とともに区切ります。 各項の組合せを漏らさず掛けます。 引く括弧は全体の符号を変えて外します。 同じ文字と指数の項をまとめます。 元の式と答えに同じ数を代入して点検します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが途中式を見せてくれたら、まず括弧内の項を符号つきで指せるかを確かめます。項の区切りが正しくても、掛けた組の数が足りなければ、各項から相手の項へ線を引いて対応を作ります。組が揃っていて符号が違う場合は、正負の積を声に出してから数を掛けます。

個別指導では、答えだけでなく整理前の式を見て、掛け忘れと同類項の誤りを区別します。引く括弧がある式では、引かれる範囲を示してから括弧を外せるかも確かめます。積の組合せが見えれば、式の展開は途中から自分で立て直せます。