高校物理 交流と電気振動—実効値と位相を分けて回路の電流と共振を調べる｜武蔵野個別指導塾

正弦波の最大値から平均電力を出す手順と、位相差から電流が最大となる条件をたどります。鍵は直列共振です。

よくあるのは、交流電圧の最大値をそのまま実効値として、抵抗の電力を求める場面です。瞬間ごとに電圧が変わる交流では、最大値がずっと加わっているわけではありません。実効値は同じ抵抗で同じ平均電力を生む直流の値と対応します。さらにコイルやコンデンサーを加えると、電圧と電流の山の時刻にもずれが生じます。値の種類と位相を分けてから式に入れましょう。

答案で問われる3つの場面

まず、正弦波の最大値、実効値、抵抗の平均電力を行き来する型があります。問題が最大値を与えているのか、実効値を与えているのかを確認し、同じ種類の電圧と電流を組にします。波形が正弦波の場合、実効値は最大値を√2で割った値です。この換算は任意の波形にそのまま使えません。

次に、抵抗、コイル、コンデンサーの直列回路で、電流と各部分の電圧、回路全体の位相差を求める型があります。直列なので瞬間の電流は各素子で共通ですが、電圧の山は同時ではありません。各電圧の大きさをそのまま足す前に、位相の関係を図にします。

もう1つは、振動数を変えたときの共振や、電源を外した後のLC振動を考える型です。共振ではコイルとコンデンサーの電圧が互いに打ち消し合います。LC振動では、電場と磁場に蓄えられたエネルギーが入れ替わります。電源につないで強制的に振動させる場面と、理想回路の自由な振動を区別しましょう。

実効値と位相を図にする

正弦波の電圧を v = V₀ sin ωt と書きます。V₀は電圧の最大値、ωは角振動数、tは時刻です。振動数を f とすると ω = 2πf です。電圧の正負は、あらかじめ決めた端子間の向きに対して表します。1周期の平均電圧が0でも、抵抗は電流の向きが反転する間にも発熱します。

抵抗 R にかかる瞬間の電力は v²/R です。正弦波では sin² ωt の1周期の平均が1/2なので、平均電力は V₀²/(2R) です。同じ抵抗に直流電圧 V を加えたときの電力 V²/R と比べると、実効値は V = V₀/√2 と定まります。正弦波の電流も最大値 I₀ に対し、実効値 I = I₀/√2 です。実効値は負にならない大きさです。

抵抗では電圧と電流が同位相です。理想コイルでは電圧が電流より1/4周期進み、理想コンデンサーでは電圧が電流より1/4周期遅れます。図1のように共通の電流を右向きの基準に置けば、抵抗の電圧は右、コイルの電圧は上、コンデンサーの電圧は下で表せます。矢印の長さは同じ種類の値、例えばすべて実効値にそろえます。

図1の上下は実際の回路の配置や電流の流れる向きではなく、位相のずれを示します。1/4周期は角度で90°、半周期は180°です。例えば電圧の山が電流の山より1/4周期早いとき、電圧は電流より90°進みます。三角関数の角度は位相を表し、矢印の水平・鉛直成分を足すために使います。

コイルのリアクタンスを X L = ωL、コンデンサーのリアクタンスを X C = 1/(ωC) とします。L は自己インダクタンス、C は電気容量で、X L と X C の単位は抵抗と同じ Ω です。実効値で表すと各電圧は V R = IR、V L = I X L、V C = I X C です。理想素子の式なので、コイルの導線の抵抗が与えられた場合は別に加えます。

上下の電圧の差は V L − V C、横は V R です。したがって電源電圧の実効値 V は、直角三角形から V² = V R² + (V L − V C)² です。電流に対する電源電圧の位相差を φ とすると、cos φ = V R/V で、V L が大きければ電圧が進み、V C が大きければ遅れます。回路の抵抗が正で、電流が0でない場合に使います。

両辺から電流をくくると、インピーダンス Z は Z = √(R² + (X L − X C)²)、電流は I = V/Z です。抵抗による電圧と上下の差は直角なので、単純な足し算にはなりません。電源の平均電力は P = VI cos φ = I²R です。理想コイルと理想コンデンサーは周期全体で見るとエネルギーを受け渡し、平均で消費しません。

基本例題：実効値から直列回路を解く

理想的な抵抗 R = 3 Ω、コイル L = 0.08 H、コンデンサー C = 1/400 F を直列につなぎます。角振動数 ω = 100 rad/s の正弦波電源を加え、その電圧の最大値を 20√2 V とします。定常状態の電流の実効値、各素子の電圧の実効値、電源電圧と電流の位相関係、平均電力を求めてください。値は整数または分数で、単位を付けます。

図2では電流を位相の基準にし、各電圧を実効値で示しています。実際の回路の形ではなく、電圧の合成を表す図です。

まず電源電圧の実効値は 20√2/√2 = 20 V です。最大値のまま電力の式に入れないよう、ここで書き換えます。次にリアクタンスをそれぞれ求めます。

X L = ωL = 100 × 0.08 = 8 Ω

X C = 1/(ωC) = 1/(100 × 1/400) = 4 Ω

コイルとコンデンサーの差は 8 − 4 = 4 Ω です。したがって Z = √(3² + 4²) = 5 Ω です。電流の実効値は I = 20/5 = 4 A となります。各素子の電圧は、共通の電流にそれぞれの抵抗またはリアクタンスを掛けます。

V R = 4 × 3 = 12 V

V L = 4 × 8 = 32 V

V C = 4 × 4 = 16 V

上下の差は 32 − 16 = 16 V です。電源電圧は √(12² + 16²) = 20 V となり、与えられた実効値に戻ります。図2の斜めの矢印が、この合成電圧です。コイル側が勝っているので、電源電圧は電流より進みます。cos φ = 12/20 = 3/5 です。

平均電力は P = I²R = 4² × 3 = 48 W です。電源側でも P = VI cos φ = 20 × 4 × 3/5 = 48 W と確かめられます。各電圧の大きさは 12 V、32 V、16 V で、単純に足した 60 V は電源電圧ではありません。瞬間の電圧を足すときには、時刻ごとに符号を含めて合成する必要があります。

振動数を変えると、どこで共振するか

抵抗 R = 4 Ω、理想コイル L = 1 H、理想コンデンサー C = 1/100 F を直列につなぎ、実効値 12 V の正弦波電源を加えます。電源の実効値を一定に保ちながら角振動数を変えるとき、電流が最大になる角振動数とその実効値を求めてください。また ω = 5 rad/s のとき、電源電圧と電流のどちらが進むかを答えてください。角振動数と電流は整数で、単位も付けます。

電流 I = V/Z の分子は一定ですから、Z が最小のとき I が最大です。Z² = R² + (ωL − 1/(ωC))² では、平方の項が0以上です。よって ωL = 1/(ωC) のとき Z = R となり、直列共振します。この問題では ω = 100/ω です。正の角振動数を採るので ω = 10 rad/s、I = 12/4 = 3 A です。

元の回路に戻して確認すると、共振時の X L = 10 Ω、X C = 10 Ω です。コイルとコンデンサーの電圧の実効値はそれぞれ 30 V で逆位相なので打ち消し合い、抵抗の電圧 3 × 4 = 12 V が電源電圧に一致します。各素子の電圧が電源電圧より大きくても矛盾しません。打ち消しを考えず大きさを足すと、ここで間違えます。

ω = 5 rad/s では X L = 5 Ω、X C = 20 Ω です。コンデンサーの側が大きく、電源電圧は電流より遅れます。反対に ω が共振値より大きいとコイルの側が大きくなり、電源電圧が進みます。ω が正の範囲では X L は増え、X C は減るため、この2つは一度だけ等しくなります。共振条件は ω² = 1/(LC)、すなわち ω = 1/√(LC) とも書けます。

ここで電源の振動数を指定する共振と、電源を外した理想LC回路の自由振動を区別します。自由振動では、最初にコンデンサーに蓄えた電気エネルギーが電流を生み、コイルの磁気エネルギーへ移ります。コンデンサーの電荷が0の瞬間に電流は最大で、その後も電流は流れ、極性を逆にして充電します。抵抗やエネルギーの外部への損失を無視すれば、この交換が続きます。

その角振動数は ω = 1/√(LC) です。電気容量の単位 F と自己インダクタンスの単位 H を使えば、右辺は角振動数の単位になります。実際に抵抗がある回路では熱としてエネルギーが失われるため、電源を外した振動は次第に小さくなります。直列共振での強制振動は、電源が失われたエネルギーを補う定常状態です。

間違えた式から戻る

誤答の例は、基本例題で最大電圧 20√2 V を使い、P = (20√2)²/3 とする式です。原因は2つあります。最大値を実効値と混同し、さらに抵抗だけでなくコイルとコンデンサーも含む電源電圧を、抵抗の両端の電圧と取り違えています。

図3のように、まず電源の最大値から電源の実効値へ直します。続いて位相を考えて共通電流を求め、抵抗の電圧または電流から平均電力を出します。基本例題では電源の実効値は 20 V、抵抗の実効電圧は 12 V ですから、P = 12²/3 = 48 W です。電源電圧を使う場合は力率 cos φ も必要です。

図3の各段階で、量の名前を書き添えると誤りを見つけやすくなります。例えば「20 V」とだけ書くと電源側なのか抵抗側なのか後で判別できません。また、コイルの電圧とコンデンサーの電圧は逆位相なので、大きさの差を取り、抵抗の電圧とは直角に合成します。差が負なら向きは下になり、電源電圧が遅れる側だと読みます。

変圧器と電磁波を短く整理する

理想変圧器では、同じ磁束の変化を共有する1次コイルと2次コイルの巻数をそれぞれ N₁、N₂ とすると、電圧の実効値は V₂/V₁ = N₂/N₁ です。損失がなく、1次側から入力する平均電力が2次側の出力と等しいとき、V₁I₁ = V₂I₂ も成り立ちます。2次側に抵抗負荷をつないだ場合には、電圧の比と電流の比は逆になります。巻数比を電流にもそのまま掛ける誤りに注意します。

電場と磁場が時間とともに変化し、互いに関連しながら空間を伝わるのが電磁波です。進行方向、電場、磁場は互いに垂直です。真空中の速さを c、振動数を f、波長を λ とすれば c = fλ です。交流回路で扱った時間変化とつながりますが、伝わる波の速さを回路を流れる電流の値と混同しません。ここでは電磁波の実測速度や周波数帯の数値は使いません。

練習問題

いずれも素子と導線は、示された抵抗を除いて理想的とし、正弦波電源につないだ回路は定常状態とします。電圧と電流の大きさは指定がない限り実効値です。πや根号は残し、分数は約分して単位を付けてください。

1. 抵抗 8 Ω に最大値 16√2 V の正弦波電圧を加えます。電圧と電流の実効値、平均電力を求めてください。最大値を実効値とする誤答では電力が何 W になるかも求めてください。

2. 抵抗 5 Ω、理想コイル L = 3/10 H、理想コンデンサー C = 1/100 F を直列につなぎ、角振動数 20 rad/s、実効値 10√26 V の電源を加えます。電流の実効値と各素子の電圧の実効値、電源電圧と電流の位相の進み遅れを求めてください。電圧の大きさを単純に足す誤答も求めてください。

3. 抵抗 2 Ω、理想コイル L = 1/4 H、理想コンデンサー C = 1/16 F を直列につなぎ、実効値 6 V の電源の角振動数を変えます。共振時の角振動数と電流の実効値を求めてください。また ω = 4 rad/s を共振値とする判断が正しいか、各リアクタンスを求めて調べてください。

4. 理想変圧器の1次コイルは 400 巻、2次コイルは 100 巻です。1次側に実効値 80 V を加え、2次側に 10 Ω の抵抗をつなぎます。2次電圧、2次電流、1次電流の実効値を求めてください。巻数比を1次電流にそのまま掛けて2次電流を求める誤りを、電力から確かめてください。

答えと確かめ方

1. 電圧の実効値は 16√2/√2 = 16 V、電流は 16/8 = 2 A です。平均電力は 16 × 2 = 32 W です。元の抵抗に戻すと、2 A × 8 Ω = 16 V で、電源の実効値と一致します。誤って最大値を実効値として二乗すると (16√2)²/8 = 64 W となり、正しい平均電力の2倍です。これは最大電圧が加わった瞬間の電力で、周期全体の平均ではありません。

2. X L = 20 × 3/10 = 6 Ω、X C = 1/(20 × 1/100) = 5 Ω です。Z = √(5² + (6 − 5)²) = √26 Ω なので、電流は 10√26/√26 = 10 A です。抵抗、コイル、コンデンサーの電圧は順に 50 V、60 V、50 V です。コイルの電圧が大きいので電源電圧は電流より進みます。合成は √(50² + (60 − 50)²) = 10√26 V となり、電源の条件に戻ります。単純に足すと 160 V ですが、位相が違うため誤りです。

3. ω² = 1/(LC) = 1/((1/4) × (1/16)) = 64 です。正の角振動数を選び、共振時は 8 rad/s、電流は 6/2 = 3 A です。そのとき X L = 2 Ω、X C = 2 Ω で、両電圧は逆位相の 6 V ずつです。抵抗に 6 V がかかり、元の電源の値に戻ります。ω = 4 rad/s なら X L = 1 Ω、X C = 4 Ω なので共振ではありません。ω² と ω を混同すると 64 rad/s などの誤答にもつながります。

4. 巻数比は 100/400 = 1/4 なので、2次電圧は 80 × 1/4 = 20 V です。抵抗に流れる2次電流は 20/10 = 2 A、出力は 20 × 2 = 40 W です。理想変圧器の入力も 40 W なので、1次電流は 40/80 = 1/2 A です。電圧と電流を元に戻すと、入力も出力も 40 W です。誤って 1/2 A に巻数比 1/4 を掛けると 2次電流は 1/8 A となり、20 V の2次電圧での出力は 5/2 W です。入力と一致せず、抵抗にも 20/10 = 2 A が必要なので、誤りと判定できます。

手元に残す要点

正弦波の実効値は最大値/√2です。 直列回路では電流を共通の位相の基準にします。 電源電圧は抵抗の電圧とコイル・コンデンサーの電圧差を直角に合成します。 共振は X L = X C、平均電力は I²R です。

答案のどこで止まったか

最初の換算で止まる場合は、問題文の「最大値」と「実効値」に印を付け、求める電力が瞬間値か周期の平均かを声に出して区別します。電流までは出せるのに位相で迷う場合は、電流を右向きに描き、各電圧の先行と遅れを矢印に置き直します。共振の答えが合わない場合は、ω と ω² のどちらを求めた行かを見て、X L と X C を元の条件へ代入します。

個別指導で確かめるなら、完成した答えの数字だけでなく、どの端子間の電圧を使ったか、電圧の矢印をなぜ足し引きしたかを本人の答案に沿って尋ねます。間違えた行を1つ選び、実効値への換算から回路に戻るまで説明できれば、別の振動数でも手順を再現できます。交流の答案は、値の種類と位相をそろえたところから動き始めます。