高校物理 光電効果と光子—振動数と光の強さを分けて電子の運動エネルギーを求める｜武蔵野個別指導塾

光子のエネルギーと仕事関数を比べて電子放出を判定し、残りから阻止電圧を計算します。光の強さを増したときに変わる量も、電子1個と光電流に分けて押さえます。

よくあるのは、金属に当てる光を強くすれば、限界振動数より低い光でも電子が出ると考える場面です。光の強さと振動数はどちらも光の性質ですが、光子1個のエネルギーを決めるのは振動数です。答案では、まず電子を外へ出せるかを判定し、出せる場合に残ったエネルギーを計算します。この順序を守ると、電子が出ない条件で負の運動エネルギーを答える誤りも避けられます。

試験で見たい3つの判断

光電効果では、金属の表面に光を当てたときに飛び出す電子を考えます。問題の型は、まず光子1個のエネルギーと仕事関数を比べ、電子が出るかを判定するものです。次に、出た電子の最大運動エネルギーから阻止電圧を求める型があります。もう1つは、振動数や強さを変えたときに、電子の最大運動エネルギーや光電流がどう変わるかを説明する型です。

計算の前に、同じ金属を使うのか、光の振動数を変えるのか、光の強さを変えるのかを問題文に印を付けます。振動数が一定なら光子1個のエネルギーは一定です。強さを増しても、その1個分を大きくしたことにはなりません。光のエネルギー全体と、電子1個に渡す光子1個分のエネルギーを区別して読みます。

光子の運動量やコンプトン効果を問う場合もあります。こちらでは光がエネルギーだけでなく運動量も運ぶことを使います。散乱後の波長を詳しく計算する式は使わず、電子との衝突でエネルギーと運動量をやり取りすることを押さえます。

光子1個と電子1個の収支

振動数を f、プランク定数を h とすると、光子1個のエネルギーは hf です。真空中の光速を c、波長を λ とすると c=fλ ですから、同じエネルギーは hc/λ とも表せます。振動数が高いほど光子1個のエネルギーは大きく、真空中の波長が短いほど大きくなります。光の強さを変える操作とは別に考えます。

仕事関数 W は、その金属から電子を外に取り出すために必要な最小のエネルギーです。光子のエネルギーが W より大きい場合、電子の最大運動エネルギー K は K=hf-W です。これは電子が取り出される際に必要な最小分を差し引いた残りです。実際の電子は内部でエネルギーを失うこともあるため、出てくる電子の運動エネルギーがすべて K に等しいという意味ではありません。

図1のように、入射光子のエネルギーを仕事関数と最大運動エネルギーに分けます。図はエネルギーの関係を表す模式図で、長さは縮尺ではありません。

図1で光子のエネルギーが仕事関数に足りなければ、通常の光電効果のモデルでは電子は出ません。境目の振動数を限界振動数 f₀ とすると、hf₀=W です。f=f₀ は最大運動エネルギーが0となる境界で、f<f₀ なら電子は出ません。境界での測定上の扱いは問題の条件に従います。

電子を集める電極に、電子の進行を妨げる向きの電圧をかけることを考えます。電気素量を e、その電圧の大きさを V とすると、電子が逆らって進むために必要なエネルギーは eV です。最も速い電子も到達できなくなる境界の電圧の大きさを阻止電圧 V₀ と呼び、eV₀=K とします。電圧の符号を問う問題では、電極のどちらが高電位かを別に示します。

エネルギーの単位をそろえることも必要です。1 eV は、電気素量の大きさを持つ粒子が1 Vの電位差でやり取りするエネルギーです。したがって、問題で e を C 単位で与えれば、1 eV=e J と換算できます。eVで表した K の数値と、Vで表した阻止電圧の数値が等しくなるのはこの定義によります。JとeVの数値を単位なしで引き算しないようにします。

光子の運動量の大きさは p=h/λ=hf/c です。これは光子の進行方向を向きます。光が電子に散乱されるコンプトン効果では、電子がエネルギーと運動量を受け取り、散乱光の振動数は小さく、波長は長くなります。光を粒子として扱うと、このやり取りをエネルギーと運動量の保存で考えられます。散乱方向や電子の向きを無視して、運動量の大きさを単純に引き算することはできません。

基本例題：阻止電圧までつなぐ

ある金属に、真空中で振動数 8.0×10¹⁴ Hz の単色光を当てます。仕事関数は 3.2×10⁻¹⁹ J とします。計算用の条件として h=6.0×10⁻³⁴ J s、e=1.6×10⁻¹⁹ C とします。通常の光電効果のモデルを用い、電子の最大運動エネルギーをJ単位で、阻止電圧の大きさをV単位で求め、それぞれ有効数字2桁で答えてください。

図2のように、光子1個分から仕事関数を引き、残りを電子の最大運動エネルギーにします。図の区間は量の関係を示す模式図です。

まず、光子1個のエネルギーを計算します。

hf=(6.0×10⁻³⁴)×(8.0×10¹⁴)=4.8×10⁻¹⁹ J

これが仕事関数 3.2×10⁻¹⁹ J より大きいので、電子が出る条件です。次にエネルギーの収支を立てます。

K=hf-W
K=4.8×10⁻¹⁹-3.2×10⁻¹⁹=1.6×10⁻¹⁹ J

阻止電圧の大きさを V₀ とすれば、eV₀=K です。eを代入して両辺を割ります。

V₀=(1.6×10⁻¹⁹ J)/(1.6×10⁻¹⁹ C)=1.0 V

J/C は V なので単位も合います。答えを装置に戻すと、1.0 V の逆向きの電位差を越えるためのエネルギーは 1.6×10⁻¹⁹ J です。これは求めた最大運動エネルギーと等しく、最も速い電子が電極に達する境界になっています。また仕事関数と残りを足せば 3.2×10⁻¹⁹+1.6×10⁻¹⁹=4.8×10⁻¹⁹ J で、入射光子のエネルギーに戻ります。

途中で光の強さが与えられていなくても、上の最大運動エネルギーは求められます。強さは単位時間に届く光子の数に関係しますが、振動数が同じ光子1個のエネルギーは変わらないからです。光電流の具体的な値を求めるには、光子数や電子が出る割合、集められる条件などが別に必要です。

境界をまたぐ比較問題

同じ金属に振動数の異なる単色光A、Bをそれぞれ当てます。仕事関数は 2.4×10⁻¹⁹ J、計算用の h は 6.0×10⁻³⁴ J s、e は 1.6×10⁻¹⁹ C です。Aは 3.0×10¹⁴ Hz、Bは 6.0×10¹⁴ Hz とします。通常の光電効果のモデルを用い、各光で電子が出るか判定し、出る場合は最大運動エネルギーをJ、阻止電圧の大きさをVで、有効数字2桁で答えてください。Aの強さを増す場合も判定します。

最初に境界を求めます。f₀=W/h より、

f₀=(2.4×10⁻¹⁹)/(6.0×10⁻³⁴)=4.0×10¹⁴ Hz

Aはこの値より低く、Bは高い振動数です。Aの光子1個分は 1.8×10⁻¹⁹ J で仕事関数に届かないため、電子は出ません。Aの強さを増しても1個分は変わらないので、同じモデルでは電子は出ません。電子が出ていない条件で K=1.8×10⁻¹⁹-2.4×10⁻¹⁹ として、負の値を最大運動エネルギーにすることはできません。

Bでは hf=3.6×10⁻¹⁹ J です。仕事関数との差は K=1.2×10⁻¹⁹ J、阻止電圧は V₀=(1.2×10⁻¹⁹)/(1.6×10⁻¹⁹)=0.75 V です。元の条件へ戻すと、取り出しに必要な 2.4×10⁻¹⁹ J と電子に残る 1.2×10⁻¹⁹ J の和が、Bの光子の 3.6×10⁻¹⁹ J に一致します。0.75 V に対する eV₀ も 1.2×10⁻¹⁹ J です。

分かれ目は強弱ではなく、まず振動数と限界振動数の大小です。Bの強さを増す場合は、同じ時間に入射する光子が増えるため、他の条件が同じなら放出される電子数や飽和光電流は増えます。一方、1個の光子のエネルギーは同じなので、最大運動エネルギーと阻止電圧は変わりません。飽和光電流とは、放出電子を電極で十分に集めたときの電流です。

誤答をエネルギーの単位から直す

「振動数が足りない光でも、強さを2倍にすれば光子1個のエネルギーが2倍になって電子が出る」という答えを考えます。原因は、単位時間に運ばれるエネルギーの増加と、1個の光子が持つエネルギーの増加を混同したことです。図3のように、同じ振動数の光子が増えても、各光子のエネルギー hf は変わりません。

図3を使って、まず「振動数は同じか」と問い直します。同じなら1個分の hf は一定です。そのうえで hf と W を比べ、足りないときは光子の数を増やしても通常の光電効果の判定は変わらないと修正します。十分なときは、電子の数に関する変化と最大運動エネルギーの変化を別々に答えます。

もう1つの誤りは、J単位の仕事関数とeV単位の光子エネルギーを数値のまま引くことです。原因は、どちらもエネルギーという名前なので単位の違いを見落とすことです。修正するときは、先に両方をJまたはeVにそろえ、最後に求める単位へ直します。阻止電圧を出すときも、Jならeで割り、eVならその定義を確認してVに対応させます。

グラフで横軸を振動数、縦軸を最大運動エネルギーとすると、電子が出る範囲で傾きは h、横軸との境界は f₀ です。直線を境界より左に延長して読んだ負の値は、電子の負の運動エネルギーを意味しません。グラフを使うときも、式を適用できる範囲を先に確認します。

練習：条件を変えて判定する

次の問題では通常の光電効果のモデルを使い、h=6.0×10⁻³⁴ J s、e=1.6×10⁻¹⁹ C、真空中の光速 c=3.0×10⁸ m/s を計算用の条件とします。数値の答えは有効数字2桁とし、単位も記してください。

1. 仕事関数が 3.0×10⁻¹⁹ J の金属に、振動数 7.0×10¹⁴ Hz の単色光を当てます。電子が出るか判定し、出る場合は最大運動エネルギーと阻止電圧の大きさを求めてください。
2. 別の金属の仕事関数は 4.8×10⁻¹⁹ J です。限界振動数を求め、振動数 6.0×10¹⁴ Hz の光の強さを増したとき電子が出るか答えてください。
3. 真空中の波長が 5.0×10⁻⁷ m の光子について、振動数、エネルギー、運動量の大きさをそれぞれSI単位で求めてください。
4. ある金属に同じ振動数の光を当て、その光で電子が出ています。光の強さを増やし、他の条件は同じとします。飽和光電流と阻止電圧の大きさがそれぞれどう変わるか、理由とともに答えてください。

練習の答えと確認

1. 光子1個分は hf=(6.0×10⁻³⁴)×(7.0×10¹⁴)=4.2×10⁻¹⁹ J です。仕事関数を超えるので電子は出ます。最大運動エネルギーは K=4.2×10⁻¹⁹-3.0×10⁻¹⁹=1.2×10⁻¹⁹ J です。阻止電圧は V₀=K/e=0.75 V です。確認として、仕事関数とKを足すと 4.2×10⁻¹⁹ J に戻り、e×0.75 V はKに一致します。

2. f₀=W/h=(4.8×10⁻¹⁹)/(6.0×10⁻³⁴)=8.0×10¹⁴ Hz です。与えた光は限界振動数より低いため、強さを増しても電子は出ません。逆に h と求めた限界振動数を掛けると 4.8×10⁻¹⁹ J となり、金属の仕事関数に戻ります。強い光でも1個分は 3.6×10⁻¹⁹ J のままで、必要なエネルギーに届きません。

3. f=c/λ=(3.0×10⁸)/(5.0×10⁻⁷)=6.0×10¹⁴ Hz です。エネルギーは hf=3.6×10⁻¹⁹ J、運動量は p=h/λ=1.2×10⁻²⁷ kg m/s です。fλ を計算すると光速の条件に戻り、pc は 3.6×10⁻¹⁹ J となって光子のエネルギーとも一致します。運動量の向きは光の進行方向です。

4. 強さが増すと、同じ時間に到達する光子数が増えるため、他の条件が同じなら飽和光電流は増えます。振動数が同じなので、光子1個分のエネルギーと仕事関数との差は変わらず、阻止電圧の大きさも変わりません。電子を集める電極の条件が飽和を満たすことを確かめてから、電流の大小を比較します。

手元に残す要点

光子1個のエネルギーは hf、運動量の大きさは h/λ です。
hf と W を比べ、電子が出る範囲で K=hf-W を使います。
阻止電圧の大きさは eV₀=K から求めます。
同じ振動数で強さを変えても、光子1個のエネルギーは変わりません。

答案のどこで止まったか

計算が合わないときは、最初に自分の答案で hf と W の比較が書かれているかを見ます。比較がなければ、電子が出ない条件に式を当てはめている可能性があります。比較はできているのに阻止電圧が合わない場合は、JとeVの単位、電気素量で割る操作、求める電圧が大きさか符号つきかを順に確認します。

個別指導で確認するなら、同じ金属に振動数の異なる光を当てる場面を示し、どの量が固定され、どの量が変わるかを本人に説明してもらいます。次に強さだけを変えた場合と比べ、電子の数と1個当たりのエネルギーを別々の言葉で言えるかを見ます。最後に、求めた阻止電圧から eV₀ を計算し、もとのエネルギー収支に戻せるかを確かめます。光子1個を単位として考えることが、光電効果の判定を支えます。