高校物理 波の式と位相—位置のグラフと時刻のグラフを分けて進行方向を読む｜武蔵野個別指導塾

右向きの山の両側の動きと波形の移動を例題でたどり、位置と時刻を区別して捉える波の位相です。

よくあるのは、高校生が右へ進む波の山の右側を上向きに動かす場面です。この向きは正しく、山が右へ近づくと、その場所の変位は上がります。山そのものが右へ進むことと、媒質の各点が上下に動くことは別です。どちらの向きを聞かれているかを見分け、少し後の波形を描いて確かめましょう。

答案で求められる3つの読み方

1つ目は、ある時刻の波形から波長を読み、別の時刻の波形とのずれから速さと進行方向を決める型です。横軸が位置なら、同時刻に並ぶ別々の点を見ています。山から隣の山までの距離が波長で、山が進んだ距離そのものとは限りません。

2つ目は、ある位置の変位の時間変化から周期を読み、式や位相差を求める型です。横軸が時刻なら、同じ点を追っています。上向きに通過する状態から次の上向きの通過までを1周期と数え、0を通る間隔をそのまま周期にしないようにします。

3つ目は、波が重なるときの変位や、境界を通るときの変化を判断する型です。与えられた条件に応じて変位を足すのか、振動数を引き継ぐのかを選びます。反射後の波の端の条件からできる定常波の詳しい計算は、ここでは扱いません。

波の形と、その場所の動きを分ける

ひも上の位置を x、時刻を t、平衡位置からの上下の変位を y とします。変位は上を正、右を x の正方向に取ります。図1のように、右向きに進む山を少し後の時刻に右へずらし、同じ位置の高さを比べます。図は波形の一部分を示す模式図です。

図1では山の右側にある点に山が近づくため、少し後の変位は大きくなります。山の左側では山が遠ざかるため、変位は小さくなります。山や谷の頂点ではその瞬間の上下の速度は0ですが、そこで点がずっと止まるという意味ではありません。斜面の向きと進行方向を見ずに、波の右向きの矢印を上下の運動に移してはいけません。

振幅 A は平衡位置からの変位の最大の大きさ、波長 λ は同じ時刻の波形で同じ振動状態が繰り返す最短の距離です。周期 T は同じ位置で振動状態が繰り返す最短の時間、振動数 f は1秒間の振動の回数です。単位を m、s、Hz でそろえると、f = 1/T、波の速さ v = λ/T = fλ です。山が1周期で1波長進むことから、この関係が得られます。

正弦波の位相は、振動の進み具合を角度で表したものです。例えば右向きの波を y = A sin{2π(t/T − x/λ)} と表せば、波源となる x = 0 は t = 0 に y = 0 を上向きに通ります。sin の中の角度は無次元で、2π 増えると同じ振動状態に戻ります。実際の初期状態に合わせて、角度に一定の値を加える場合もあります。

同じ時刻に右へ λ 進むと、この式の位相は 2π 減ります。同じ位置で T だけ時間が進むと位相は 2π 増えます。位相差が 2π の整数倍なら同位相、奇数倍の π なら逆位相です。同じ変位であっても、上向きと下向きの途中では位相が異なります。特に y = 0 は1周期に2回通るので、向きも含めて判断します。

基本例題：右へ運ばれる波形を式にする

十分長い一様なひもを伝わる正弦波を考えます。右向きを x の正、上向きを y の正とし、反射は考えません。振幅は 0.040 m、波長は 4.0 m、周期は 2.0 s です。x = 0 の点は t = 0 に平衡位置を上向きに通過します。この波の速さと波の式を求め、x = 1.0 m の点の t = 0、0.50、1.0 s における変位を求めてください。式は π を残し、変位と速さは単位を付けて表します。

図2のように、まず t = 0 の位置のグラフを描きます。実線の山と谷を、0.50 s 後には破線の位置まで右へ平行移動します。横軸は各時刻に共通の位置 x であり、破線が点そのものの軌跡を表すわけではありません。

波は 2.0 s に 4.0 m 進むので、速さは

v = 4.0 / 2.0 = 2.0 m/s

です。右向きに進む波で、原点の初期条件を満たす式は

y = 0.040 sin{2π(t/2.0 − x/4.0)} m

となります。t と x はそれぞれ s、m 単位で数値を代入します。x = 0 なら y = 0.040 sin(πt) m です。t = 0 の直後には正の変位となるため、原点が上向きに通過する条件に合います。

x = 1.0 m を代入すると、位相は 2π(t/2.0 − 1.0/4.0) です。それぞれの時刻における値は次のとおりです。

• t = 0 s：位相は -π/2、変位は -0.040 m。
• t = 0.50 s：位相は 0、変位は 0 m。
• t = 1.0 s：位相は π/2、変位は 0.040 m。

0.50 s で波形が進む距離は 2.0 × 0.50 = 1.0 m です。したがって図2の破線は実線を右に 1.0 m 移した形です。x = 1.0 m では、最初の谷が去り、0を通って山へ向かいます。式から出た3つの高さと、位置を固定して図から読んだ高さが一致します。

向きの確認には、波の式の中の t/2.0 − x/4.0 が一定となる点を追います。時間が 0.50 s 増えたとき x が 1.0 m 増えると、この値は変わりません。同じ位相の形が右へ進むので、式と指定された進行方向も一致します。

発展例題：位相差と重ね合わせの分かれ目

別の一様なひもに、同じ向きに進む2つの小さな波が重なります。変位の正方向は上、x の正方向は右です。両方とも波長 3.0 m、周期 1.5 s、振幅 0.020 m で、波の式はそれぞれ

y₁ = 0.020 sin{2π(t/1.5 − x/3.0)} m

y₂ = 0.020 sin{2π(t/1.5 − x/3.0) + π/2} m

です。重ね合わせが成り立つとします。x = 0、t = 0 における合成変位と、2つの波の位相差を求めてください。また x = 0、t = 0.375 s の合成変位を求め、単位付きで答えます。位相差は π を含む形で表します。

2つの式の括弧の違いは常に π/2 です。したがって、同じ位置・時刻で波2は波1より π/2 進んでいます。位相差が0でも π でもないため、「同位相だから振幅を足す」「逆位相だから消える」のどちらにも当てはまりません。各時刻の変位を符号付きで足すのが安全です。

x = 0、t = 0 では、波1の位相は 0、波2は π/2 です。sin 0 = 0、sin(π/2) = 1 より、合成変位は

y = 0 + 0.020 = 0.020 m

です。次に 0.375 s は周期の1/4なので、同じ位置の両方の位相が π/2 ずつ増えます。波1は 0.020 m、波2は sin π = 0 により 0 m となり、合成変位は 0.020 m です。2つの結果が同じ高さでも、構成する各波の状態は入れ替わっています。

重ね合わせで足すのは、その位置・その時刻の変位です。速さや波長を足して合成変位にするわけではありません。2つの波が同位相なら山と山が重なり、逆位相で振幅が等しければ各瞬間の変位が打ち消されます。振幅が異なる場合は逆位相でも完全には消えないため、与えられた振幅も確認します。

境界での反射では、戻る波の進行方向が変わります。端が固定されたひもの変位の反射は上下が反転し、自由に動ける端では反転しません。入射波と反射波の変位を端で足し、固定端なら合計が0になることを確認します。波が別の媒質へ進む屈折では、境界を通じて振動数は同じで、速さが変わると v = fλ に従って波長も変わります。入射角と屈折角は境界の面ではなく、その面に垂直な線から測ります。遅い媒質へ進めば、斜め入射の波は垂直な線へ近づく向きに曲がります。

回折は波が障害物の後ろや隙間の周りへ回り込む現象です。隙間の幅が波長に比べて小さいほど回り込みが目立ちます。境界を考えるときも、波の進む向きと各点の変位の向きを別に記録すると、反転や曲がりを混同しにくくなります。

間違いを図に戻して直す

右へ進む山の右側の点について、「斜面が右下がりだから点も下がる」と答える誤りを考えます。位置のグラフの右下がりは、同じ時刻に右隣の点が低いという意味です。時間が進んだときに同じ点が下がることを直接示すものではありません。

図3のように右へ少しずらした波形と元の波形を、同じ縦線上で比べます。右側の点では後の高さが上なので上向き、左側では後の高さが下なので下向きです。進行方向が逆なら、その上下も逆になります。山の右側が上向きという判断を誤答として消さず、波形の移動で確かめて残してください。

もう1つの誤りは、右向きの波に y = A sin{2π(t/T + x/λ)} を、初期条件を見ずに使うことです。この式で同じ位相を追うと、t が増えると x は減るので左向きです。ただし sin の中を x/λ − t/T の順に書いた式は右向きです。符号を単独で覚えるのではなく、位相一定の点の位置がどちらへ動くかで確かめます。さらに原点の上向き・下向きを調べれば、進行方向が合う式の中から初期状態も選べます。

位置のグラフの隣り合う0点を波長と読む誤りもあります。正弦波では隣の0点までが λ/2 で、通過する向きが反対です。山から山、または同じ向きに0を通過する点から次の同じ向きの点を測りましょう。時間のグラフでも同様に、状態が1周する時間を周期に取ります。

自分で確かめる問題

各問の数値は計算用に設定した条件です。x は右向き、変位は上向きを正とします。ひもは一様で十分長く、指定がない反射は無視します。π を含む値は π のまま、その他は単位を付けて答えてください。

1. 正弦波の波長は 6.0 m、周期は 3.0 s です。波の速さと振動数を求め、右へ進む波の形が 0.75 s の間に移動する距離を求めてください。
2. 別の右向きの波は振幅 0.030 m、波長 8.0 m、周期 4.0 s です。x = 0 の点は t = 0 に平衡位置を上向きに通ります。波の式と、x = 2.0 m、t = 0 および 1.0 s の変位を求めてください。
3. 同一の媒質で波長 10 m の正弦波が右へ進みます。同じ時刻に x = 0 の点と x = 2.5 m の点の位相差を、後者から前者を引く形で求めてください。また、前者が上向きに平衡位置を通過するときの後者の変位を、振幅 A を使って表してください。
4. ある境界で、波が媒質1から媒質2へ進みます。媒質1で振動数は 5.0 Hz、速さは 15 m/s、媒質2で速さは 10 m/s です。両側の波長を求め、斜めに入射した波が媒質2で境界の垂線に近づくか遠ざかるか答えてください。

答えと途中の考え方

1. v = λ/T より 6.0 / 3.0 = 2.0 m/s、f = 1/T より 1/3 Hz です。0.75 s に進む距離は 2.0 × 0.75 = 1.5 m です。これは周期の1/4の時間に波長の1/4を進むという元の条件とも合います。速さは媒質の点の上下の速さではなく、波形の進む速さです。

2. 与えられた原点での通過方向と右向きの進行から、式は y = 0.030 sin{2π(t/4.0 − x/8.0)} m です。x = 2.0 m、t = 0 では位相が -π/2 なので -0.030 m、t = 1.0 s では位相が 0 なので 0 m です。波の速さは 8.0 / 4.0 = 2.0 m/s で、1.0 s に 2.0 m 進みます。後の x = 2.0 m の高さが、初めの x = 0 の高さ0と一致することでも確認できます。

3. 右向きの波では、同時刻に x が増えると位相が減ります。距離 2.5 m は波長の1/4なので、後者から前者を引いた位相差は -π/2 です。前者が上向きに0を通るとき、前者の位相を 0 とすれば後者は -π/2 です。したがって後者の変位は -A です。後者が前者より1/4周期遅れて同じ上向きの0通過に至ることも、右向きの伝わり方と合います。

4. 境界の前後で振動数は 5.0 Hz のままです。λ = v/f より媒質1は 15 / 5.0 = 3.0 m、媒質2は 10 / 5.0 = 2.0 m です。それぞれの波長に 5.0 Hz を掛けると、問題で与えた速さに戻ります。媒質2は遅いので、斜めに進む波の向きは境界の垂線に近づきます。速さと振動数の両方が変わるとして計算すると、この境界条件に合いません。

答案に残す要点

• 波形の進行方向と、同じ位置の媒質の上下運動を分けます。
• 同時刻の位置のグラフから波長、同じ位置の時間のグラフから周期を読みます。
• 位相を一定にして追うと、波の式の進行方向を確かめられます。
• 重なる波は同じ位置・時刻の変位を符号付きで足します。
• 屈折では振動数を保ち、速さの変化に応じて波長が変わります。

どこで読み違えたかを探す

答案の速さが合わないときは、最初に波長と周期の測り方を見ます。隣の0点までを1周期にしたのか、軸の単位を読み違えたのかで、直す箇所が変わります。式の符号が合わないときは、同じ位相を2つの時刻で追い、原点が最初にどちらへ動くかも言葉で説明してみます。

個別指導で確かめるなら、本人のノートの波形に「少し後の形」と固定した位置の縦線を描き、上下の判定の根拠を聞きます。式ができた後も、1周期で1波長進むことと、最初の変位・運動方向を条件へ戻します。波の絵に時間を加えると、位相の式が表す動きまで見えてきます。