数検4級 四分位数と四分位範囲｜データを並べて中央値の扱いを確かめる｜武蔵野個別指導塾

奇数個と偶数個のデータを上下に分け、中央値を除く場合の境目から四分位数を読み取ります。

よくあるのは、並べ替える前に真ん中を選んだ記録表を見て、そこで計算を進めてしまう場面です。記録した順番の中央にある値は、小さい順に並べたときの中央とは限りません。まず順番を整え、それから何個の値をどこで区切るかを決めます。四分位数と四分位範囲は、この順序を守ることで読み取れるようになります。

どの区切りを探すか

四分位数の問題には、ばらばらに書かれた値から3つの区切りを求める型があります。値を小さい順に並べ、全体の中央値を求めた後、下側と上側の群の中央値をそれぞれ探します。全体の個数が奇数なら、真ん中の値を上下の群から除くことが、この説明で採用する約束です。偶数なら中央にある2つはそれぞれ下側と上側に入ります。

もう1つの型は、第1四分位数と第3四分位数から四分位範囲を求めるものです。四分位範囲は、上側の区切りから下側の区切りを引いた値です。最大値と最小値の差である範囲とは、使う値が違います。たとえば端に大きな値が1つあっても、四分位範囲を出す式にその値を直接入れるとは限りません。

個数の偶奇だけを見て答えを決めることはできません。全体が偶数個でも、上下の各群は奇数個の場合と偶数個の場合があります。全体の中央値を決めた後、それぞれの群の個数を改めて数えると、中央に1つあるのか2つあるのかを判断できます。

3つの四分位数と上下の群

値を小さい順に並べたとき、全体の中央を表す値を中央値といいます。個数が奇数なら真ん中の1つです。偶数なら真ん中の2つの平均、つまり2つの和を2で割った値です。実際に記録された値と一致しない中央値もあります。

中央値は第2四分位数とも呼びます。下側の群の中央値が第1四分位数、上側の群の中央値が第3四分位数です。第1、第2、第3という順番は、値を小さい方から見たときの区切りの順番です。第1四分位数を Q1、第2四分位数を Q2、第3四分位数を Q3 と書くこともあります。

図1のように、奇数個では全体の中央を除き、残りを同数ずつ2つの群に分けます。同じ値が複数ある場合も、消さずに記録の個数だけ並べます。値が同じでも別々の記録なので、区切りの位置を数えるときにはそれぞれ1個として扱います。

図1では7個の値の4番目が全体の中央です。中央より前の3個と後の3個が上下の群になり、それぞれの真ん中を選びます。四分位範囲は Q3 − Q1 です。この差は、真ん中付近の半分のデータがどの程度の幅に分布するかを見る手がかりです。ただし、その幅だけでデータの一つひとつの値を復元することはできません。

同じ手順でも、指定された定義が別であれば群の作り方が変わることがあります。問題に分け方の指示があるときは、まずその指示を確認します。ここでは奇数個の中央を除いて上下の群を作ります。

位置を数えるときの工夫

並べた列に番号を振ると、値そのものと位置を区別できます。7個なら中央は4番目ですが、「4番目」と「値が4」は別の意味です。1番目から順に数えた結果として位置が決まり、その位置に書かれた数が中央値になります。小さい数から3個、大きい数から3個を消して中央を残す方法でも、同じ位置にたどり着けます。

偶数個の中央の平均を計算するときも、先に2つの位置を確定します。たとえば8個なら4番目と5番目です。2つの値を足して2で割る操作は、その値の間の中央を求めています。記録されていない小数が答えに出ても、四捨五入せず、そのまま単位を添えます。

下側と上側の群に分けた後は、全体の位置番号をいったん脇に置いて、それぞれの群の中で数え直します。下側が4個なら、その群の2番目と3番目が中央です。上側も4個なら、上側の先頭を1番目として数えた2番目と3番目を使います。全体の何番目かを覚えたまま当てはめるより、群の端と個数を確かめてから選ぶ方が判断の根拠を残せます。

四分位範囲はデータの個数ではなく、値の差です。時間の記録なら分、長さの記録なら長さの単位になります。2つの区切りが同じなら差は0です。これは中央付近の値が同じ場所に集まっている場合にも起こり、計算の失敗とは限りません。最大値や最小値が異なる場合でも、四分位範囲が0になることはあります。

基本例題：7日間の読書時間

ある人が7日間に読書した時間を記録しました。時間は順に 18、10、25、14、20、12、16 分でした。第1、第2、第3四分位数と四分位範囲を、それぞれ分を単位として求めてください。中央の値は上下の群から除きます。

記録順のまま4番目を選ぶと14分ですが、それは大小の中央を意味しません。まず7個が残っていることを確かめながら、小さい順に並べます。

10、12、14、16、18、20、25

7個の真ん中は4番目なので、Q2 = 16 分です。左から3個と右から3個の間に16があることでも確かめられます。図2のように、この16を上下の群に入れずに分けます。

下側の群は 10、12、14 です。3個の中央は2番目の12なので、Q1 = 12 分です。上側の群は 18、20、25 です。その中央は2番目の20なので、Q3 = 20 分です。

四分位範囲は次の引き算で求めます。

Q3 − Q1 = 20 − 12 = 8

答えは Q1 が12分、Q2 が16分、Q3 が20分、四分位範囲が8分です。並べ替えた列を元の記録に戻して照合すると、10、12、14、16、18、20、25はそれぞれ1回ずつあり、7日分を落としていません。Q1 と Q3 の差も 20 − 12 = 8 分と確かめられます。

ここで最大値25と最小値10の差は15分です。これは範囲であり、四分位範囲の8分とは別の量です。数値が異なる理由は、端から端までを見るか、2つの四分位数の間を見るかの違いにあります。

偶数個では中央の2つを平均する

8回分の工作にかかった時間が、順不同で 19、7、13、24、10、16、21、12 分でした。3つの四分位数と四分位範囲を分単位で求めてください。

小さい順に並べると、7、10、12、13、16、19、21、24 です。8個なので全体の中央には4番目と5番目があります。したがって Q2 = (13 + 16) ÷ 2 = 29 ÷ 2 = 14.5 分です。14.5という記録が実際になくても、中央の2値の平均として正しい値です。

下側は 7、10、12、13 の4個、上側は 16、19、21、24 の4個です。全体の中央を作った13は下側へ、16は上側へ入ります。2つとも除くと上下が3個ずつになり、この分け方とは異なります。

下側の中央は10と12なので、Q1 = (10 + 12) ÷ 2 = 11 分です。上側の中央は19と21なので、Q3 = (19 + 21) ÷ 2 = 20 分です。よって四分位範囲は 20 − 11 = 9 分です。上下の群をつなぐと元の8個に戻り、Q2 を作った2値もそれぞれ含まれています。

分かれ目は全体の中央と群の中央で別々に訪れます。たとえば全体が6個なら上下は3個ずつなので、全体の中央値には平均を使い、各群の中央値には1つの値を使います。反対に全体が9個なら中央を除いた上下は4個ずつなので、全体の中央値は1つの値で、各群の中央値には平均を使います。

誤答を直す：中央の値をもう一度入れない

次の9個の値を小さい順に並べたとします。

2、4、6、8、10、12、14、16、18

全体の中央は5番目の10です。ここで下側を 2、4、6、8、10 として Q1 を6とすると、中央の10を下側にも数えたことになります。同様に上側を 10、12、14、16、18 とすると Q3 は14となり、中央を二重に使います。

図3のように、10を除いた下側は 2、4、6、8、上側は 12、14、16、18 です。それぞれ4個なので中央の2値を平均します。Q1 = (4 + 6) ÷ 2 = 5、Q3 = (14 + 16) ÷ 2 = 15 です。四分位範囲は 15 − 5 = 10 になります。

間違いの原因は、中央値を境目として示すことと、その値を両方の群に入れることを混同した点です。中央に印をつけた後、上下の個数が4個ずつになっているか数え直してください。各群の中央に線を引き、線の両側の2値を平均すると、位置の数え間違いも見つけやすくなります。

四分位範囲を 5 − 15 と逆に引く誤りもあります。小さい方の区切りが Q1、大きい方が Q3 ですから、Q3 − Q1 の順です。同じ値が続く場合は2つが等しく、差が0になることもあります。差が負になったら、引く順序と群の位置を見直します。

練習問題

いずれも値を小さい順に並べ、奇数個のときは全体の中央値を上下の群から除きます。各問の四分位数と四分位範囲を、指定された単位で答えてください。

1. 5回の記録は 9、3、7、5、11 点です。各値を点で答えてください。
2. 6本のひもの長さは 15、9、18、12、6、21 cm です。各値を cm で答えてください。
3. 8個の荷物の重さは 8、4、10、6、12、2、14、16 kg です。各値を kg で答えてください。
4. 9日の記録は 8、4、6、4、10、12、4、14、6 個です。各値を個で答えてください。

練習の答えと解き方

1. 並べると 3、5、7、9、11 点です。Q2 は真ん中の7点です。下側の 3、5 の平均は4点、上側の 9、11 の平均は10点なので、Q1 = 4 点、Q3 = 10 点です。四分位範囲は 10 − 4 = 6 点です。元の5つの記録と照らすと、各値が1回ずつあります。

2. 並べると 6、9、12、15、18、21 cm です。Q2 = (12 + 15) ÷ 2 = 13.5 cm です。下側の 6、9、12 の中央は9、上側の 15、18、21 の中央は18なので、Q1 = 9 cm、Q3 = 18 cm です。四分位範囲は 18 − 9 = 9 cm です。6本を3本ずつに分けても、元の長さは欠けていません。

3. 並べると 2、4、6、8、10、12、14、16 kg です。Q2 = (8 + 10) ÷ 2 = 9 kg です。下側の中央の2値は4と6、上側は12と14です。よって Q1 = (4 + 6) ÷ 2 = 5 kg、Q3 = (12 + 14) ÷ 2 = 13 kg、四分位範囲は 13 − 5 = 8 kg です。8個に戻して数え、中央の8と10が両群に1回ずつ入ることも確認できます。

4. 並べると 4、4、4、6、6、8、10、12、14 個です。Q2 は5番目の6個です。中央の6を除くと下側は 4、4、4、6、上側は 8、10、12、14 です。Q1 = (4 + 4) ÷ 2 = 4 個、Q3 = (10 + 12) ÷ 2 = 11 個です。四分位範囲は 11 − 4 = 7 個です。4が3回、6が2回あることを元の記録と照合します。同じ数を1回にまとめると、9日分の位置が変わります。

練習4では、中央値と同じ6が下側にもう1つ残っています。除くのは中央の位置にある1個であり、同じ数をすべて消すわけではありません。記録の回数を保ったまま、位置で区切ることが大切です。たとえ下側の最後の値と中央の値が等しくても、その2つは異なる記録です。

練習2と練習3はどちらも全体が偶数個ですが、上下の群の個数が異なります。6個では各群が3個なので真ん中の1値を使い、8個では各群が4個なので中央の2値を平均しました。全体の個数に対する判断を、群の中にそのまま持ち込まないようにします。

要点を手元に残す

小さい順に並べ、同じ値も個数分残します。
奇数個の中央は除き、偶数個は中央の2値を別々の群に入れます。
上下の群の中央値が Q1 と Q3、全体の中央値が Q2 です。
四分位範囲は Q3 − Q1 です。

どこで止まったかを見分ける

答えが合わないときは、最初に並べた列と元の記録を照合します。個数や同じ値の回数が違えば、中央値の計算に進む前に列を直します。列が正しければ全体の個数を書き、中央を1つ選ぶのか2つ平均するのかを確認します。

個別指導で確認するなら、上下の群を線で囲み、その個数を声に出して数えるところが手がかりになります。群の作り方が正しいのに答えがずれる場合は、各群の中央が1値か2値かを別に判断し、2値なら平均を取ります。最後に Q3 から Q1 を引き、単位を添えるところまで見直します。順番と境目を記録すれば、四分位数の根拠が残ります。