数検4級 箱ひげ図による比較｜中央値と散らばりを分けて言えることを判断する｜武蔵野個別指導塾

中央値と散らばりを比べ、平均や個数を断定できるかを考える箱ひげ図です。

よくあるのは、箱が短い群を全員同じと読んだ掲示図に出会う場面です。箱の短さは中央付近の値の広がりを表しますが、ひげの先まで値が同じと決まるわけではありません。箱の位置と長さ、ひげの両端を順に見ると、何を比べたのかを言葉にできます。

ここでは自分で作った記録を材料に、2つの群の位置と散らばりを比べます。箱ひげ図は元の値をすべて記した表ではありません。図から読めることと、元のデータがないと決められないことを分けて考えます。

比較で問われる3つの見方

1つ目は、2つの群の中央値を比べる型です。中央値は値を小さい順に並べたときの中央を表します。中央値が大きい群について、中央の値が大きいと言えますが、すべての人の値がもう一方より大きいとは限りません。箱の左右の位置が重なっていれば、少なくとも図の示す範囲を確かめる必要があります。

2つ目は、散らばりを数で比べる型です。最大値から最小値を引いた範囲と、第3四分位数から第1四分位数を引いた四分位範囲は、見る部分が異なります。端の値まで含む広がりと中央の半分程度の広がりを、同じものとして扱わないことが出発点です。

3つ目は、示された図から判断できる文を選ぶ型です。たとえば「中央値が同じ」は中央の線の位置を見て判断できます。一方、平均や記録の個数は五つの値だけでは一般に決まりません。図にない情報を補って断定する前に、別の元データでも同じ図になるか考えます。

五つの値が示す場所

箱ひげ図に使う五つの値は、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値です。図1のように、箱の両端は第1四分位数と第3四分位数、箱の中の線は中央値を表します。ひげの両端をこの図の最小値と最大値として読みます。

図1では左から右へ値が大きくなります。箱の長さは第3四分位数と第1四分位数の差で、ひげの両端の距離は最大値と最小値の差です。図を読むときは目盛りの数と単位を先に確かめ、箱の線がどの値に対応するかを追います。

四分位数を元のデータから求めるには、まず小さい順に並べます。個数が奇数なら中央の値を中央値とし、その値を除いた下半分と上半分の中央値を、それぞれ第1四分位数と第3四分位数とします。個数が偶数なら中央の2値の平均を中央値とし、同じ個数の下半分と上半分を作ります。群の中央も2値の間なら、その2値の平均を取ります。

中央値の線が同じ位置でも、箱やひげの長さは異なることがあります。また、箱の左端から右端までに元データの値が均等に並ぶとは限りません。同じ値が複数回出ることもあるので、箱を4つに等分すれば個々の記録が読める、と考えることはできません。

基本例題：2つの記録を描いて比べる

問題です。8日間の植物Aと植物Bの1日あたりの伸びを、ミリメートル単位で記録しました。次の値は練習用に作ったものです。各群の五つの値、範囲、四分位範囲を求め、単位を付けて答えてください。中央値と2種類の散らばりを比べ、言えることを文章にしてください。

A：2、4、5、7、8、10、11、13

B：1、2、3、6、9、12、13、15

まず、どちらも小さい順に並んでいることと、8個ずつあることを確かめます。偶数個なので、4番目と5番目の平均が中央値です。Aの4番目は7、5番目は8ですから、中央値は (7 + 8) ÷ 2 = 7.5 mmです。

Aの下半分は2、4、5、7です。中央の2値は4と5なので、第1四分位数は (4 + 5) ÷ 2 = 4.5 mmです。上半分は8、10、11、13で、その中央の2値は10と11です。第3四分位数は (10 + 11) ÷ 2 = 10.5 mmです。最小値は2 mm、最大値は13 mmです。

したがって、Aの五つの値は小さい方から2、4.5、7.5、10.5、13 mmです。範囲は 13 − 2 = 11 mm、四分位範囲は 10.5 − 4.5 = 6 mmです。4.5 mmや10.5 mmは隣り合う2値の平均なので、記録の中にその数がなくてもかまいません。

次にBを同じ順序で調べます。中央値は (6 + 9) ÷ 2 = 7.5 mmです。下半分1、2、3、6の中央から、第1四分位数は (2 + 3) ÷ 2 = 2.5 mmです。上半分9、12、13、15の中央から、第3四分位数は (12 + 13) ÷ 2 = 12.5 mmです。

Bの最小値は1 mm、最大値は15 mmです。五つの値は1、2.5、7.5、12.5、15 mmで、範囲は 15 − 1 = 14 mm、四分位範囲は 12.5 − 2.5 = 10 mmです。図2のように同じ目盛り上に描くと、中央の線が一致し、Bの箱とひげの両端の間がAより広いことを確認できます。

中央値はどちらも7.5 mmです。範囲はAが11 mm、Bが14 mmで、Bの方が3 mm大きくなります。四分位範囲はAが6 mm、Bが10 mmで、Bの方が4 mm大きくなります。この2つの尺度ではBの散らばりが大きいと言えますが、それを「Bの毎日の伸びがAより大きい」と言い換えることはできません。

元の記録に戻しても、Aの4番目と5番目は7と8、Bは6と9で、どちらの平均も7.5です。Aの下半分の中央は4と5、上半分の中央は10と11です。Bもそれぞれ2と3、12と13なので、図の箱の端が計算と合っています。端の記録もAは2と13、Bは1と15で、ひげの位置に対応します。

少し難しい例題：同じ図でも元の記録は決まるか

問題です。ある作業にかかった時間を分単位で記録したCとDがあります。Cは1、2、4、6、8、10、12、14、15の9個、Dは1、2、4、7、8、10、12、14、15の9個です。各群の五つの値と平均を分単位で求め、同じ箱ひげ図から平均が決まるか判断してください。平均は分数または整数で答えます。

どちらも9個ですから、5番目の8が中央値です。中央の8を除くと、下半分はどちらも1、2、4と、その次の値です。Cでは6、Dでは7ですが、下半分の中央の2値はいずれも2と4です。よって第1四分位数は (2 + 4) ÷ 2 = 3分です。

上半分はどちらも10、12、14、15です。第3四分位数は (12 + 14) ÷ 2 = 13分です。最小値1分、中央値8分、最大値15分も共通なので、五つの値はどちらも1、3、8、13、15分です。箱ひげ図も同じ形になります。

一方、Cの合計は 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 15 = 72分です。平均は 72 ÷ 9 = 8分です。DはCの6を7に替えたので合計73分、平均は 73 ÷ 9 = 73/9分です。平均に9を掛けるとそれぞれ72分と73分に戻り、記録の合計と一致します。

ここが判断の分かれ目です。五つの値が同じなら中央値や四分位範囲は同じと言えます。しかし、CとDは同じ図でも合計が違うため、平均は同じとは限りません。図に平均の印や元データが別に示されないとき、箱の中央の線を平均と読み替えることはできません。

個数についても図だけでは決まりません。たとえば1、3、3、8、8、13、13、15の8個は、中央値が (8 + 8) ÷ 2 = 8、第1四分位数が (3 + 3) ÷ 2 = 3、第3四分位数が (13 + 13) ÷ 2 = 13です。両端も1と15なので、9個のCと同じ五つの値になります。問題文に個数が書かれていれば使えますが、箱の形だけから9個だと決めることはできません。

誤答を直す：引く端を取り違えない

基本例題のAについて「四分位範囲は 13 − 2 = 11 mm」と答えたとします。この計算で引いたのは最大値と最小値なので、求めたものは範囲です。箱の両端とひげの両端を混同したことが原因です。

図3のように、四分位範囲は箱の右端10.5 mmから左端4.5 mmを引きます。10.5 − 4.5 = 6 mmが修正後の答えです。両端を13と2に替えた計算も間違った引き算ではありませんが、問いに対する答えの名前が違います。

もう一つの誤答は「Aの箱の方が短いので、Aの8日間はすべて同じ伸びだった」です。Aの箱はBより短いものの、最小値2 mmと最大値13 mmは異なります。実際にAの記録には4 mmと11 mmもあります。箱の長さから言えるのは四分位範囲の比較であり、全記録の一致ではありません。

「中央値が同じなら平均も同じ」と書いた場合は、CとDのように箱の端や中央を変えずに内部の値を変えられるか試します。反例が1組見つかれば、必ず同じという主張は成り立ちません。反対に、個々の値を全部知っている問題では、合計を個数で割って平均を計算できます。与えられた情報の量を見分けることが修正の鍵です。

練習問題

次の記録はすべて練習用に作ったものです。先に4問を考え、答えは後の節で確かめてください。値は小さい順に並べています。

1. ある道具を組み立てる時間は、6、8、9、11、12、14、16、18分でした。五つの値、範囲、四分位範囲を分単位で求めてください。
2. 2つの群の箱ひげ図で、Eの五つの値は0、4、6、9、12点、Fの五つの値は1、3、7、11、13点です。中央値、範囲、四分位範囲をそれぞれ比べ、どちらが大きいかを点数の差とともに答えてください。
3. Gの記録は2、4、6、8、10、12、14、16、18個です。この箱ひげ図と同じ五つの値を持ち、平均が異なる9個の記録を1組作ってください。2組の平均は個を単位として整数または分数で答えてください。
4. Hの五つの値は3、5、8、12、17 cmです。「範囲は7 cm」「四分位範囲は7 cm」「すべての値は同じ」「平均は8 cm」の4つの文について、それぞれ正しい、誤り、図だけでは決められないのいずれかを答え、理由も書いてください。

練習の答えと考え方

1. 8個なので、中央値は (11 + 12) ÷ 2 = 11.5分です。下半分6、8、9、11から第1四分位数は (8 + 9) ÷ 2 = 8.5分、上半分12、14、16、18から第3四分位数は (14 + 16) ÷ 2 = 15分です。最小値6分、最大値18分を合わせ、五つの値は6、8.5、11.5、15、18分です。範囲は 18 − 6 = 12分、四分位範囲は 15 − 8.5 = 6.5分です。元の8個に戻り、4番目と5番目、上下の群の中央、両端をそれぞれ照合できます。

2. 中央値はEが6点、Fが7点なのでFが1点大きいです。範囲はEが 12 − 0 = 12点、Fが 13 − 1 = 12点で同じです。四分位範囲はEが 9 − 4 = 5点、Fが 11 − 3 = 8点なのでFが3点大きいです。Fは箱が広くても、ひげの両端の差はEと同じです。五つの値へ戻すと、箱の端はEが4と9、Fが3と11で、各差と一致します。

3. 例えば2、4、6、9、10、12、14、16、18個です。Gもこの組も中央値は5番目の10個です。下半分の中央は4と6なので第1四分位数は5個、上半分の中央は14と16なので第3四分位数は15個です。最小値2個と最大値18個も同じです。Gの合計は90個で平均は10個、作った組の合計は91個で平均は91/9個です。平均に9を掛けるとそれぞれ90個、91個に戻ります。9個の値はすべて整数で、指定された五つの値も満たします。

4. 範囲は 17 − 3 = 14 cmなので、7 cmという文は誤りです。四分位範囲は 12 − 5 = 7 cmなので、こちらは正しい文です。最小値3 cmと最大値17 cmが違うため、すべて同じという文も誤りです。平均は図だけでは決められません。例えば9個の3、4、6、7、8、9、11、13、17と、3、4、6、8、8、9、11、13、17なら、どちらも五つの値は3、5、8、12、17 cmで、合計は78 cmと79 cmです。平均はそれぞれ78/9 cmと79/9 cmなので、図から8 cmと断定できません。

覚えておくこと

• 中央値は中央の位置、範囲は最大値と最小値の差です。
• 四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引いた値です。
• 同じ目盛りで比べ、平均や個数は図だけで決めないようにします。

どこで読み違えたかを見つける

お子さまが「散らばりが大きい」と言ったら、まず範囲と四分位範囲のどちらを比べたのかを尋ねます。引く2つの値を図に指で示せれば、計算違いと図の読み違いを分けられます。目盛りを読み違えた場合は、隣り合う数字の差と、その間の区切りの数に戻ります。

個別指導で確かめるときは、五つの値を表に書き出してから、元データに含まれない平均や個数について説明してもらいます。同じ図に対応する異なる記録を作れるかを試すと、図が残す情報と省く情報の境界が見えてきます。比較の言葉は、根拠にした箱やひげの場所まで戻して確かめられます。