数検3級 平方根の加減—根号の中を整えてから同じ種類の項を集める練習｜武蔵野個別指導塾

異なる根号を整理して同じ種類の係数を集めます。括弧全体を引く計算や、2種類の根号が残る問題も解きます。

よくあるのは、受検者が異なる根号の中身を足してしまう場面です。√2 + √3 を見て、根号の中の 2 と 3 を足せばよいと考えると、元の数とは別の数になってしまいます。根号の付いた数を足し引きするときは、最初に中身を整え、同じ数を何個分持っているかに注目します。括弧の前に引き算があるときは、項ごとの符号にも注意が必要です。

足せる形を見つける3つの型

1つ目は、最初から根号の中が同じ項を集める型です。例えば 3√5 + 2√5 は、√5 を3個と2個合わせるので 5√5 です。根号の中の数を足すのではなく、外側の係数を足します。引き算も同様で、先頭に係数が見えない √5 は 1√5 と考えます。

2つ目は、見た目の違う根号を簡単にしてから集める型です。√12 は √(4×3) なので 2√3 です。最初は √3 と異なって見えても、整えると同じ種類の項になります。根号の中に平方数の因数があるかを調べ、外に出せる数を出してから判断します。

3つ目は、括弧と掛け算が混ざる型です。括弧の前の符号を各項に行き渡らせ、根号を整えた後、同じ種類ごとに係数を計算します。どの型でも、違う種類の項を無理に1つにしないことが大切です。これらは練習のために作った型であり、出題の頻度を表すものではありません。

根号の中身と係数の役割

√3 は2乗すると3になる正の数です。2√3 はその √3 を2倍した数で、2 は係数です。図1のように、根号の中身が整えた後に同じになれば、同じ数の個数をまとめることができます。文字式の 2a + 3a を 5a とする考え方に似ていますが、a に当たる部分が √3 という数です。

図1のように √12 は 2√3 と表せます。√12 の中の 12 を 4×3 と分け、√4 が 2 であることを使うからです。そこで √12 + √3 は 2√3 + 1√3 となり、3√3 にまとまります。根号の外に出すのは平方数そのものの 4 ではなく、その平方根の 2 です。

一方、√2 と √3 は、どちらもこれ以上平方数の因数を外へ出せません。中身が違うため、係数を足して1つの根号の項にすることはできません。数を近似して考えると √2 は約1.4、√3 は約1.7なので、その和は約3.1です。√5 は約2.2なので、√2 + √3 と √5 が異なることも見当をつけられます。近似値は誤りに気づくための補助であり、正確な答えは根号を残します。

整数の項も根号の項と分けます。例えば 4 + √3 は、4 と √3 が別の種類なのでそのままです。係数が負のときは、-2√3 を √3 が負の2個分と考え、係数を符号ごと扱います。係数の計算と、根号の中身を整える作業を混ぜずに書くと見直しやすくなります。

基本例題：先に整えてから引く

次の式を計算し、根号の中をできるだけ小さい自然数にした形で答えてください。

√48 + 2√3 − √27

まず、根号の中の平方数の因数を見つけます。48 は 16×3、27 は 9×3 と分けられます。図2のように、それぞれを √3 の何倍かに直します。

1行ずつ書くと、次のようになります。

√48 + 2√3 − √27
= √(16×3) + 2√3 − √(9×3)
= 4√3 + 2√3 − 3√3
= (4 + 2 − 3)√3
= 3√3

図2のように、3つの項は整えるといずれも √3 の項です。最初の項は 4個分、次は 2個分、最後は引く3個分です。係数は左から計算して 4 + 2 − 3 = 3 になります。最後の項の前の引き算を忘れると、個数を増やしてしまいます。

元の式へ戻して確認するには、4√3 を2乗して48、3√3 を2乗して27になることを確かめます。いずれも正なので、それぞれ √48、√27 と一致します。元の式は √3 を4個と2個足し、3個引く式ですから、答えの3個分と対応します。2乗が合うことに加えて正負も確認するのは、2乗すると正負の区別が消えるためです。

途中で √48 を 4√3 にする際、4 の代わりに 16 を出していないかも確認します。16√3 を2乗すると768になり、48へ戻りません。外へ出す数を決めたら、その数を2乗して元の平方数に戻るかを見ると修正できます。

少し難しい例題：括弧の前に負の数がある

次の式を計算し、根号の中をできるだけ小さい自然数にした形で答えてください。

2(√18 − √8) − (√50 − 3√2)

この式は、根号を先に整える方法と、括弧を先に外す方法のどちらでも解けます。ここでは、括弧内の項が同じ種類になることを先に確かめます。√18 = 3√2、√8 = 2√2、√50 = 5√2 です。

2(3√2 − 2√2) − (5√2 − 3√2)
= 2√2 − 2√2
= 0

最初の括弧は √2、後の括弧は 2√2 です。前者を2倍した 2√2 から後者の 2√2 を引くため、結果は0になります。引く括弧の中が正か負かを見ずに、最初の項だけ符号を変えると結果がずれます。

括弧を先に外す場合は、2√18 − 2√8 − √50 + 3√2 です。後ろの括弧の2項とも符号が反転し、最後は足し算になります。根号を整えると 6√2 − 4√2 − 5√2 + 3√2 で、係数の合計は0です。元の各項を √2 の個数へ戻した結果も 6 − 4 − 5 + 3 = 0 となり、元の式と答えが対応します。

判断の分かれ目は、括弧の中をまとめられるかどうかです。同じ種類に整うなら、括弧の中を先に計算すると項が減ります。異なる種類が残る場合は、それぞれに前の数や符号を掛けます。計算順を選んでも、元の式の値を変えないことが条件です。

誤答を直す：中身を足さない

√2 + √8 を √10 とした答案を考えます。2 と 8 を足して根号を付けたものですが、加法についてそのような規則はありません。図3のように、√8 を先に 2√2 に直すと、元の式は √2 を1個と2個足した数だと見えます。

正しくは √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2 です。図3の誤った答え √10 と比べると、どちらも正ですが、2乗はそれぞれ18と10です。2乗が違うので同じ数ではありません。近似値を使わなくても、元の式を整理して確かめられます。

別の誤りとして、- (2√7 − √5) を -2√7 − √5 とする場合があります。括弧の前の負号は両方の項に掛かるため、正しくは -2√7 + √5 です。括弧内の2項に、それぞれ -1 を掛けた式を書き出せば、後ろの負号が正に変わる理由が見えます。符号を直した後も √7 と √5 は別々に残します。

また、√20 + √5 を 5√5 とする誤りは、√20 を 4√5 としたことが原因です。20 = 4×5 なので √20 = 2√5 であり、正しくは 3√5 です。外へ出した係数を2乗して4に戻るかを確かめ、さらに元のもう1項の係数1を加えます。根号の整理と係数の加減を別々に点検すると、どちらで間違えたかを特定できます。

練習問題

次の4問を計算し、根号の中をできるだけ小さい自然数にした形で答えてください。整数になる場合は整数で答えます。まず4問を解いてから、後の解答を確認してください。

1. 5√7 − 2√7 + √7
2. √75 − √12 + √3
3. 3(√20 − √5) − (√45 + √5)
4. √32 + √18 − 2√8 + √11

練習の答えと確かめ方

1. 係数を符号ごと集める

5√7 − 2√7 + √7
= (5 − 2 + 1)√7
= 4√7

最後の √7 の係数は1です。5個分から2個分を引くと3個分で、さらに1個分を足すと4個分です。元の式にある3つの係数を順に追うと、答えの4個分へ戻ります。根号の中の7を 5 − 2 + 1 とともに計算する必要はありません。

2. 整えた後の種類を見る

√75 − √12 + √3
= 5√3 − 2√3 + √3
= 4√3

75 = 25×3、12 = 4×3 です。5√3 と 2√3 はどちらも正で、2乗するとそれぞれ75と12になります。元の式の3項は √3 の5個分から2個分を引き、1個分を加えたものです。したがって答えの4個分と一致します。最初の見た目が違っても、整えた後は集められます。

3. 括弧全体を引く

3(√20 − √5) − (√45 + √5)
= 3(2√5 − √5) − (3√5 + √5)
= 3√5 − 4√5
= -√5

最初の括弧は √5、次の括弧は 4√5 です。3倍した3個分から4個分を引くので、負の1個分になります。元の式に戻ると、√20 は正の 2√5、√45 は正の 3√5 であり、括弧を外した係数は 6 − 3 − 3 − 1 = -1 です。負の答えでも、引く量が足す量を上回ることと矛盾しません。

4. 集まらない項を残す

√32 + √18 − 2√8 + √11
= 4√2 + 3√2 − 4√2 + √11
= 3√2 + √11

32 = 16×2、18 = 9×2、8 = 4×2 です。√8 の前にはもともと2があるため、2√8 は 2×2√2 = 4√2 です。元の3つの根号は、正の数であることと2乗がそれぞれ32、18、8になることから確かめられます。√2 の係数は 4 + 3 − 4 = 3、√11 は別の種類なので残します。2種類を足して1つの根号にしないことが、答えを元の式と同じ値に保つ条件です。

計算の途中で迷ったときの見方

根号の中に大きな数があると、どの平方数を探せばよいか迷うことがあります。まず 4、9、16、25 のように、整数を2乗してできる数で割れるか調べます。例えば √72 は 72 = 36×2 と分ければ 6√2 です。4×18 と分けて 2√18 まで進んだ場合も、√18 = 3√2 をさらに使えば同じ 6√2 になります。途中で止めず、根号の中に平方数の因数が残っていないかを見ます。

ただし、根号を小さくするために、もとの数を足し算に分けてはいけません。例えば 72 を 64 + 8 と分けても、√72 を √64 + √8 に置き換えることはできません。使うのは積への分解です。36×2 と分けたら、外に出した6を2乗し、残した2を掛けて72になるかを確認します。この点検は、どの平方数を選んでも使えます。

係数が分数になる場合も、集める判断は変わりません。例えば (1/2)√6 + (3/2)√6 は、共通する √6 の係数を足して 2√6 です。分母が同じ分数の加法を使い、根号の中の6はそのまま残します。係数の計算で迷ったら、先に分数だけを括弧に入れ、その計算結果を根号に掛ける形で書きます。

同じ種類が消えることもあります。例えば 7√13 − 7√13 は0です。消えた項の根号だけを残して √13 としたり、係数0を省いて1個分と読み違えたりしないようにします。別の種類の項がある場合は、0になった種類だけが消え、他の項はそのまま残ります。係数が0であることと、式全体が0であることは区別します。

答えを見直す順番

計算後は、元の各項が途中式のどの項になったかを指で追います。括弧を外したなら、括弧の前の数が全項に掛かっているかを確認します。根号を整えたなら、外へ出した係数の2乗と中に残った数の積を調べます。最後に、種類ごとの係数を元の符号つきで足し直します。

答えの見た目だけを見て、項が少なければ正しいと決めることはできません。異なる種類が2つ残る答えもありますし、同じ種類が打ち消されて0になる答えもあります。元の式からそれぞれの項がどう移ったかを説明できれば、項を落とした場合と正しく消えた場合を区別できます。間違いを見つけたら、答えだけを直さず、最初に値が変わった行から書き直します。

覚えておくこと

根号の中の平方数を見つけ、その平方根を外に出します。
整えた後に同じ根号の項を、係数だけで加減します。
係数の省略は1、引く括弧では各項の符号を変えます。
違う種類の根号と整数の項は、それぞれ残します。
外に出した数を2乗し、元の平方数に戻るか確かめます。

つまずきを見分けるには

答えが違うときは、まず途中式で各根号を整えた行を見ます。元の数を平方数と残りの積に分けられたか、外へ出す係数を2乗して平方数に戻るかを確かめます。そこが合っていれば、次に同じ種類を選んだか、符号を含めた係数を正しく加減したかを見ます。括弧がある問題では、括弧を外した行と元の各項を1対1で対応させます。

個別指導では、お子さまに答えだけでなく、どの項を同じ種類と判断したかを説明してもらいます。根号を整える前に集めてしまう場合は、その項を別々に書き直してから比較します。符号だけが違う場合は、括弧内の各項に -1 を掛ける操作を順にたどります。値を保った変形を1行ずつ重ねることが、平方根の加減の確かな道筋です。