数検4級 二つのさいころの確率｜表で和や積の条件に合う結果を拾う｜武蔵野個別指導塾

赤と青のさいころを36ますの表に並べ、和や積の条件に合う組を拾って重なりを数え直します。

よくあるのは、和の値を同じ確率だと思った表を見直す場面です。2個のさいころの和は2から12まで出ますが、和が同じになる目の組の数は一定ではありません。例えば和が2になる組と、和が7になる組を比べると、その違いが見えます。どの結果を同じ重さで数えるかを決め、条件に合う組を表から拾っていきましょう。

表で問われること

2個のさいころの問題には、目の和が指定された数になる型があります。和が大きくなるほど場合の数も増えると思いがちですが、6を超える目はありません。行と列の交わりにある目を足し、端まで確かめる必要があります。

次に、目の積が指定された数になる型があります。積が同じでも、例えば片方が2の組と片方が3の組は別の結果です。割り算で相手の目を探した後も、その数が1から6の整数かを確かめます。0や7を相手に置くことはできません。

さらに、和と積の条件を組み合わせる型もあります。「両方を満たす」と「どちらかを満たす」は、拾う場所が違います。両方なら2つの印が重なるます目を数え、どちらかなら印が付いたます目を数えます。後者で個数を足すときは、重なりを2回数えていないか点検します。

行と列が表すもの

赤と青の、区別できる2個のさいころを同時に投げるとします。どちらも1から6までの目が同様に出やすく、一方の目がもう一方の目の出方に影響しないとします。この操作では、赤の目を先、青の目を後に書いた組の1つ1つが同様に確からしい結果です。

例えば赤が2、青が5なら (2, 5) と書きます。赤が5、青が2の (5, 2) とは、色ごとの目が入れ替わっているので別の結果です。和はどちらも7ですが、和が同じことと結果が同じことは別です。和を先に1種類の結果として扱うと、この2ますを1ますにまとめてしまいます。

図1のように、縦に赤の目、横に青の目を置くと、交点の1ますが1組を表します。縦に6行、横に6列あるので、結果は6 × 6 = 36通りです。確率の分母には、和の種類数ではなく、この36通りを置きます。条件に合うますの数を分子にし、最後に約分します。

図1の色の付いたますは赤が2、青が5の組です。反対側の赤が5、青が2のますも別にあります。表の見出しとますの位置を指でたどると、順番の取り違えを防げます。

同様に確からしいという前提がない場合には、単にますの個数を36で割ることはできません。また、2個が区別できない扱いに変わった問題では、結果の表し方に注意が必要です。ここでは色で区別して数えます。

表を作るときは、先に見出しを決めると迷いません。赤の1行には (1, 1) から (1, 6) まで並び、青の目だけが変わります。次の行では赤が2になり、青の目を再び1から6まで動かします。行を移るたびに青を1へ戻すと、前の行の続きから数えて抜かす失敗を防げます。

和の条件なら、1行の赤の値を固定し、指定された和からその値を引いて青の値を探せます。差が1から6に入らなければ、その行には該当する組がありません。積の条件でも赤の値を固定しますが、今度は指定された積を赤の値で割ります。商が整数でないときや1から6の外にあるときは、そこに目を置けません。

表には和や積の値を書き込んでも、条件を満たすますに印を付けてもかまいません。ただし1ますに和と積の両方を書くときは、どちらの数か区別しておきます。分子を数える際には、書いた数字の種類数でなく、印の付いたますの個数を使います。

基本例題：和が8になる組

赤と青のさいころを同時に投げます。どちらも1から6までの目が同様に出やすく、一方の目は他方に影響しません。出た目の和が8になる確率を、約分した分数で求めてください。

図2のように、赤の目を1から順に決め、それぞれに対応する青の目を探します。赤が1のとき、和を8にするには青が7でなければなりません。しかし7の目はないため、この行には条件に合うますがありません。

赤が2なら、青は8 − 2 = 6です。赤が3なら青は8 − 3 = 5、赤が4なら青は8 − 4 = 4です。続けると、赤が5なら青は3、赤が6なら青は2です。いずれも青の目として使える1から6の整数です。

条件に合う組を赤の目から順に書くと、次の5通りです。

(2, 6)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 3)、(6, 2)

全体は36通りで、各組は同様に確からしいので、求める確率は5/36です。5と36に1より大きい共通の約数はなく、これ以上約分できません。

確かめると、列挙した各組の和はいずれも8です。また、赤の目は1から6まで調べており、赤が1の場合も青が7になって使えないと判断しました。図2の右上から左下へ並ぶ5ますと組の一覧が一致するので、数え漏れや重複がないことも点検できます。

ここで (2, 6) と (6, 2) をまとめると4通りになってしまいます。2個の色を見れば、前者は赤が2、後者は赤が6です。表の異なる位置にある2ますとして数えることが、問題の操作に合っています。

条件が重なるときの分かれ目

同じ条件で赤と青のさいころを投げます。目の和が7、または目の積が12になる確率を、約分した分数で求めてください。「または」は、両方を満たす場合も含むものとします。

まず、和が7になる組は、赤の目を1から順に調べて次の6通りです。

(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)、(6, 1)

次に、積が12になる組は、赤の目で12を割り、青の目が1から6の整数になるものを選びます。赤が1なら青は12で使えません。赤が2なら青は6、赤が3なら青は4、赤が4なら青は3です。赤が5なら青は整数にならず、赤が6なら青は2です。したがって次の4通りです。

(2, 6)、(3, 4)、(4, 3)、(6, 2)

2つの一覧を照らすと、(3, 4) と (4, 3) の2通りは和も積も条件に合います。6 + 4 = 10とすると、この2通りをそれぞれ2回数えています。1回ずつに直すため、10 − 2 = 8通りです。36通りのうち8通りなので、確率は8/36 = 2/9です。

実際に和が7の6ますに、積が12のうちまだ印のない (2, 6) と (6, 2) の2ますを加えると8ますになります。逆に「和が7で、かつ積が12」と聞かれたら、重なった2ますが答えの対象です。問題文の接続する言葉に線を引いてから表に印を付けると、足すのか重なりを選ぶのかを判断しやすくなります。

和と積の2つの一覧には、どちらにも入らない組もあります。例えば (1, 1) は和が2、積が1なので、前の例題のどちらの条件にも当てはまりません。一方、(3, 4) は和が7で積が12です。「または」では前者を入れず後者を1回入れる、という判断を個々のますについて試せます。

もし重なる組がなければ、2つの個数をそのまま足してよいことになります。それでも重なりを調べる手順は省きません。逆に、2つの条件が同じますを多く選ぶ場合は、その分だけ重複が大きくなります。答えの個数が36を超えたり、条件のどちらかの個数より小さくなったりしたら、「または」の数え方を再点検します。

まちがいを表に戻す

基本例題で「和は2から12までの11種類だから、和が8になる確率は1/11」と答えたとします。和の値が11種類あることは正しいのですが、その11種類は同様に確からしくありません。和が2になるのは (1, 1) の1通り、和が8になるのは先ほどの5通りです。

図3のように、和の値の箱を同じ重さとして数えるのではなく、元の目の組へ戻します。和が2の箱には1組、和が8の箱には5組が入っています。同様に確からしいのは、それぞれの組です。全36組を分母、和が8の5組を分子にして5/36へ直します。

別の誤りとして、積が12の組を (2, 6) と (3, 4) の2通りとする場合があります。これは赤と青を入れ替えた (6, 2) と (4, 3) が抜けています。赤の目を1から6まで固定して相手を探し、使えない行にも理由を残せば、入れ替えた組の漏れを見つけられます。

また、「和が7または積が12」で6 + 4 = 10通りとした答えは、それぞれの一覧までは合っています。修正する場所は一覧ではなく、重複の扱いです。2つの一覧で共通する組に印を付け、その数を1回分引きます。どこから誤ったかを見分けて直すと、表を最初から作り直さずに済みます。

範囲を示す言葉の読み違えにも注意します。「以下」は指定された値を含みます。例えば和が4以下なら、和が4のますを外してはいけません。反対に「4未満」であれば和が4のますは入りません。境界にあるますを先に確かめてから、それより小さい和を順に調べると、条件を読み落としにくくなります。

表に印を付けた後は、印の付いたますを目の組に直し、条件を満たすか一つずつ計算します。これは余分なますを消す点検です。さらに印のないますについても、行ごとに条件を満たす青の目を探します。こちらは入れるべきますの漏れを見つける点検です。両方を行うと、分子の個数に根拠を持てます。

自分で表を使う練習

次の4問では、赤と青のさいころを同時に投げます。各さいころの1から6の目は同様に出やすく、一方の目は他方に影響しません。確率は約分した分数で答えてください。組は (赤の目, 青の目) の順に書きます。

1. 出た目の和が5になる確率を求めてください。
2. 出た目の積が10になる確率を求めてください。
3. 出た目の和が4以下になる確率を求めてください。
4. 出た目の和が8で、かつ積が奇数になる確率を求めてください。

解答と考え方

1. 和が5になる組は (1, 4)、(2, 3)、(3, 2)、(4, 1) の4通りです。赤が5や6なら青の目を1以上にした時点で和が5を超えます。4/36 = 1/9です。4組の和をそれぞれ計算すると、いずれも5に戻ります。

2. 積が10になるのは (2, 5)、(5, 2) の2通りです。赤が1なら青は10で範囲外、赤が3、4、6なら10を割っても青の目に使える整数になりません。2/36 = 1/18です。2 × 5と5 × 2はいずれも10で、色を入れ替えた2ますを数えています。

3. 和が2になる組は (1, 1) の1通りです。和が3になる組は (1, 2)、(2, 1) の2通り、和が4になる組は (1, 3)、(2, 2)、(3, 1) の3通りです。和は必ず2以上なので、4以下はこの3つの場合に分けられます。合計は1 + 2 + 3 = 6通り、確率は6/36 = 1/6です。各組の和が指定の範囲に入り、同じ組を異なる和で重ねていないことも確かめます。

4. 積が奇数になるには、赤と青の目がどちらも奇数である必要があります。片方でも偶数なら積は偶数です。赤を1、3、5の順に固定して和を8にすると、青は順に7、5、3です。7は目にないので、条件に合うのは (3, 5)、(5, 3) の2通りです。確率は2/36 = 1/18です。どちらの組も和が8で、積は15という奇数です。和だけ、または積だけを満たすますを混ぜないようにします。

手元に残す要点

• 色ごとの目の組を1結果として、6 × 6 = 36通りを分母にします。
• 和や積の条件を満たすますを、行ごとに漏れなく数えます。
• 「かつ」は重なり、「または」は重なりを1回にした集まりです。
• 組を元の条件に戻し、分数を約分します。

どこで止まったかを見つける

答えが合わないときは、まず表の1ますが何を表すかを尋ねます。(2, 5) と (5, 2) を同じと答えたなら、色ごとに目を読み直すところへ戻ります。36を分母にした後で合わないなら、条件に合うますを1行ずつ指し、印の数と一覧を照らします。

個別指導で確かめるなら、計算の速さだけでなく、使えない目を除いた理由や、重なった組を何回数えたかを言葉にしてもらいます。保護者がお子さまの途中式を見る場合も、答えだけでなく、表の位置と組の順序が一致しているかが手がかりです。色のある2個の目を別々に読み取れば、確率の分子は表の中で確かめられます。