数検4級 等式の変形｜求める文字を決めて公式を逆向きに使う手順を学ぶ｜武蔵野個別指導塾

長方形の周から横を取り出す例で、等号の両辺に行う操作をたどります。文字で割る前には0でない条件を点検します。

よくあるのは、長方形の周の式を書いた紙を前に、横の長さをどこから取り出せばよいか止まる場面です。周は縦と横を合わせて2倍した長さですが、横は括弧の中にあります。式を暗記した向きのまま眺めると、横を求める操作が見えにくくなります。等号の両側に同じ操作をし、括弧の外側から逆順にほどくと、横についての式に直せます。

問われる形を見分ける

等式の変形は、等しい関係を保ったまま、求める文字が片側に残る形へ書き換える操作です。例えば、周を P、縦を a、横を b とすると、P = 2(a + b) です。この式を b について解くとは、b = という形にして、右辺を P と a で表すことです。数値を入れて1つの長さを求める作業とは目的が違います。文字が残っていても、指定された b が単独なら答えになります。

出方の1つは、足し算や掛け算が重なった式から指定文字を取り出す形です。全体を何倍したかに注目して、最後に行われた計算から戻ります。2つ目は、分数を含む等式で、分母を払ってから求める形です。分母を払うときには、一部の項ではなく等号の両辺全体に同じ数を掛けます。3つ目は、指定文字に別の文字が掛かっている形です。掛かっている文字で割るには、その値が0でないことが必要です。

問題を読み始めたら、まず「何について解くか」に印を付けます。式中に文字が複数あると、どれを残すのか途中で入れ替えやすいためです。指定されていない文字は、未知の値であってもそのまま計算に使います。このページでは一次の等式を指定された文字について解く操作を扱います。

等号を保ちながら逆向きに進む

等号は、左辺と右辺の値が等しいことを示します。両辺に同じ数や式を足す、両辺から同じ数や式を引く、両辺に同じ数を掛けるという操作では、等しさが保たれます。両辺を同じ数で割る場合も、割る数が0でなければ等しさが保たれます。0で割る操作はできないので、その条件を先に見ます。

図1のように、P = 2(a + b) では b に a を足し、その和を2倍して P にしています。逆に b を取り出すときは、まず2で割り、次に a を引きます。元の計算で最後に行ったことを先に戻すのが順序の手がかりです。左辺だけを2で割ったり、括弧の中の b だけから a を引いたりすると、元の等しい関係は保てません。

「移項して符号を変える」と覚えていても構いません。その意味は、両辺に同じものを足すか引くことです。例えば a + b = P/2 から両辺の a を引けば、左辺は b になり、右辺は P/2 − a になります。符号が変わったように見えるのは、この操作を短く書いた結果です。

分数線は、その上の式全体を下の数で割ることを表します。例えば (P − 2a)/2 は、P と 2a の差全体を2で割る式です。P − 2a/2 と括弧を外すと、割られる範囲が変わり、一般には同じ値になりません。どこまでがひとまとまりかを見てから計算してください。

基本例題：周から横を取り出す

問題　長方形の縦の長さを a cm、横の長さを b cm、周の長さを P cm とします。P = 2(a + b) を b について解き、b を P と a を使って表してください。また、P = 30、a = 6 のときの b を整数で求め、単位を付けてください。

まず式の右側では a + b を2倍しています。図2のように、この2倍を外すため、等号の両辺を2で割ります。2は0でないので、この割り算はできます。

P/2 = a + b

続いて b の隣の a を取り除きます。両辺から a を引くと次の式になります。

P/2 − a = b

左右を入れ替えれば、指定文字が左側に単独で残ります。

b = P/2 − a

これが文字で表した答えです。P/2 は周の半分、つまり縦と横を合わせた長さです。そこから縦の a を引いた残りが横になるので、式の形を長さの意味でも確かめられます。

数値を使うと、b = 30/2 − 6 = 15 − 6 = 9 です。横は 9 cm です。元の場面に戻して、縦6 cmと横9 cmを合わせ、その2倍を計算すると 2(6 + 9) = 30 cm です。与えられた周の長さに戻るため、数値と単位が合っています。

分配法則で始める方法もあります。P = 2a + 2b として両辺から 2a を引けば、P − 2a = 2b です。両辺を2で割ると b = (P − 2a)/2 です。差全体を2で割るので、これは P/2 − a と同じです。途中の書き方が違っても、同じ関係を保って進めば同じ横の長さを表します。

もし P = 10、a = 6 なら式から b = -1 となります。等式の計算としては成り立ちますが、長方形の横の長さとしては不適切です。計算結果が元の場面の条件を満たすかは別に確かめます。文字式の変形が正しいことと、与えられた数値が長さとして使えることは、別々の判断です。

係数が文字のときの分かれ目

問題　長方形の面積を S cm²、縦の長さを h cm、横の長さを w cm とし、S = hw とします。h > 0 の条件で、w について解いてください。さらに S = 42、h = 7 のとき、w を整数で求めて単位を付けてください。

w に h が掛かっているので、h で割れば w が残ります。ここで h > 0 とあるため h は0ではなく、両辺を h で割れます。

S/h = hw/h

w = S/h

数値を入れると w = 42/7 = 6 です。横は 6 cm です。元の長方形に戻して、縦7 cmと横6 cmの積を求めると 42 cm² になり、指定された面積に一致します。面積の単位と長さの単位を区別して書きます。

条件を外して S = hw という等式だけを考える場合、h が0かどうかで話が分かれます。h が0でなければ w = S/h と変形できます。一方、h = 0 なら右辺は w の値にかかわらず0です。S = 0 ならどの w でも等式を満たし、S が0でなければ満たす w はありません。h = 0 の場合を含めて S/h と書くことはできません。割る前に条件を確認すると、答えを決められない場合も見落とさずに済みます。

途中式の選び方を比べる

同じ等式にも、最初の一手を選べる場合があります。基本例題の P = 2(a + b) では、括弧のまま両辺を2で割ると、a + b がすぐに現れます。分配して P = 2a + 2b にしてから 2a を引く道もあります。前者は操作の数を抑えやすく、後者はそれぞれの辺が周に2回ずつ現れることを確かめやすい方法です。どちらを選んでも、等号の両側に同じ操作をしているかを基準にします。

途中で式の左右を入れ替えても、等しい関係そのものは変わりません。P/2 − a = b は、b = P/2 − a と同じです。ただし、左右の入れ替えと、片側の項をもう一方へ移す操作は別です。項を移すときは、両辺からその項を引くなどの操作が必要です。左右を入れ替えたことだけを理由に、項の符号を変えてはいけません。

また、検算で使う値は、元の式の意味に合うものを選びます。長方形では縦と横が正の長さであることが必要です。変形後に横が負になった場合は、式を再点検したうえで、周が縦の2倍より大きいかを調べます。周の半分は縦と横の和なので、横が正なら周の半分は縦より大きくなります。この条件を満たさない数値では、正の横の長さを持つ長方形を作れません。

文字について解いた式は、条件を満たす別の数値にも使えます。ただし、特定の数値を代入して一致したことだけでは、文字式の変形が常に正しいとは言えません。数値を使う確かめと、両辺に同じ操作をしたことの確認を組み合わせます。前者は計算や場面との食い違いを見つける手がかりとなり、後者は変形の根拠を示します。

誤りを途中の操作から直す

基本例題で、誤って b = P/2 − 2a と書いたとします。例えば P = 30、a = 6 なら b = 3 です。しかし縦6 cm、横3 cmの長方形の周は 2(6 + 3) = 18 cm で、30 cmに戻りません。図3のように、周を2で割った時点で a も b も1個分になっています。そこから引くのは 2a ではなく a です。

原因は、最初の式にあった2倍を、割った後の a にまで残してしまうことです。P/2 = a + b を一度書き、その両辺から a を引けば b = P/2 − a に直せます。急いで頭の中で移項するより、割った後に何が残ったかを1行で見えるようにします。

もう1つの誤りは、P − 2a = 2b から b = P − a とすることです。両辺を2で割ると、左辺は差全体が2で割られます。正しくは b = (P − 2a)/2 です。括弧を書いて範囲を示し、各項を割るなら P/2 − a とします。

文字で割る場面では、0でないという条件を書き落とすこともあります。例えば kx = t を x = t/k とするには k ≠ 0 が必要です。k = 0 のときは t = 0 なら x を1つに決められず、t ≠ 0 なら等式を満たす x はありません。式を短くする前に、割ろうとしているものを指で追い、その値が0になりうるかを見ます。

手を動かす問題

次の問題は、指定された文字を左辺に置いて答えてください。数値を求める場合は、指定の形と単位も付けます。解答を見る前に、どの操作を先に戻すかを決めてください。

1. 長方形の周を L cm、縦を x cm、横を y cm とすると L = 2(x + y) です。これを x について解いてください。L = 26、y = 5 のときの x を整数で求め、単位を付けてください。
2. 台形の面積を A cm²、上底を p cm、下底を q cm、高さを h cm とすると A = (p + q)h/2 です。h > 0 として、この式を q について解いてください。A = 36、p = 5、h = 4 のときの q を整数で求め、単位を付けてください。
3. ある長方形の面積を M cm²、縦を c cm、横を d cm とし、M = cd とします。c > 0 として d について解いてください。M = 15、c = 4 のときの d を分数で求め、単位を付けてください。
4. 等式 r = 3s − 8 を s について解いてください。r = 7 のときの s を整数で求めてください。また、元の等式に戻して確かめてください。

解答と確かめ方

1. 両辺を2で割ると L/2 = x + y です。両辺から y を引き、左右を入れ替えると x = L/2 − y です。数値を入れると x = 26/2 − 5 = 8 なので、縦は 8 cm です。横5 cmと合わせた周は 2(8 + 5) = 26 cm で、元の条件に戻ります。横を先に引いてから周を半分にすると、引く量も半分になってしまいます。

2. 両辺に2を掛けると 2A = (p + q)h です。h > 0 なので h で割ることができ、2A/h = p + q です。両辺から p を引くと q = 2A/h − p です。数値を入れると q = 2 × 36/4 − 5 = 18 − 5 = 13 なので、下底は 13 cm です。上底5 cm、下底13 cm、高さ4 cmを元の面積の式に戻すと (5 + 13) × 4/2 = 36 cm² です。分母の2を払うとき、左辺にも2を掛けたかを確かめます。

3. c > 0 だから c は0ではありません。両辺を c で割ると d = M/c です。数値を入れると d = 15/4 cm です。分数のまま縦と横を掛けると 4 × 15/4 = 15 cm² となり、面積に戻ります。割り切れないからといって整数に丸める必要はありません。長さは正で、場面の条件にも合っています。

4. 両辺に8を足すと r + 8 = 3s です。両辺を3で割って s = (r + 8)/3 とします。r = 7 を入れると s = (7 + 8)/3 = 5 です。元の右辺は 3 × 5 − 8 = 7 となり、左辺の r と一致します。r と8の和全体を3で割るので、括弧を落とさないようにします。

操作の順序を短く整理

• 最初に、単独にする文字を決めます。
• 最後に行われた計算から逆向きに戻します。
• 等号の両辺に同じ操作をし、割る数が0でないことを確かめます。
• 括弧や分数線が示す範囲を保ちます。
• 元の式と場面の両方へ戻して答えを点検します。

どこで止まったかを見つける

お子さまが式を書き進められないときは、まず求める文字を指してもらいます。指定文字がわかっていても操作が選べない場合は、その文字にどんな順で計算が加わったかを言葉にします。周の式なら「縦を足してから2倍」と読めれば、「2で割ってから縦を引く」と戻せます。

個別指導で確かめる箇所は、答えの符号だけではありません。両辺のどちらに何をしたか、割る文字が0にならない理由、分数線の下にある数がどこまでを割るかを、途中の1行ごとに確認します。最後に長さや面積の条件へ答えを戻すと、式の操作と場面の意味がつながります。等式の変形は、等しさを保つ操作の積み重ねです。