数検5級 文字式の値—負の数の代入を括弧で示して計算につなげる練習｜武蔵野個別指導塾

負の数を括弧で囲んで代入し、平方と引き算を順に計算します。同じ文字が出る各箇所に、符号ごと同じ値を入れる練習を重ねます。

よくあるのは、受験者が負の値を括弧なしで代入してしまう場面です。文字を消して数字を書いたつもりでも、マイナスがどこまでの数を表すのかが変わると、平方や引き算の結果が変わります。

文字に入る数をひとまとまりとして扱い、元の式の計算順序を守ると、途中の判断が見えるようになります。ここでは文字に指定された数を入れて値を求めます。文字の値を逆に探す方程式は扱いません。

文字に数を入れて何を求めるか

文字式の値とは、文字に決められた数を入れ、計算して得られる数です。たとえば、a が 4 のとき、3a は 3 × 4 で 12 です。3a の 3 は a に掛ける数ですから、34 と続けて書くのではありません。文字の場所に数を入れても、元の掛け算は残ります。

練習するときには、次のような自作の型に分けると、どこで迷っているかを見つけやすくなります。

1. 1つの文字に負の整数を代入し、掛け算と引き算を行う型です。元の引き算の記号と、代入する数の負の符号を区別します。
2. 文字の平方を含む式に負の数を代入する型です。文字に入れた負の数全体を2回掛けるのか、平方した結果の前にマイナスがあるのかを見ます。
3. 2つの文字に異なる数を入れ、括弧や割り算を含む式を計算する型です。入れる数を取り違えず、括弧の中から順に計算します。

これらは学習のための分け方です。いずれも、まず与えられた値を正しく写し、次に元の式の形を保ってから計算します。答えの符号が合っていても、途中で偶然間違いが打ち消されることがあります。代入した行を残しておくと、答えが合わないときにも戻る場所がわかります。

代入の箱と平方の範囲

「代入する」とは、文字が表す数を、その文字の位置に入れることです。文字の位置を空の箱だと考え、指定された数を符号ごと箱に入れます。負の数を入れるときに括弧を使うのは、負の符号を含めて1つの数として見せるためです。

図1のように、a に -2 を入れると、a² の箱には -2 が2回入ります。一方、-a² は a² の値の前にマイナスを付けた式です。平方に含まれる範囲が違うので、両者の値は同じではありません。

図1の上の行では、(-2)² は (-2) × (-2) です。負の数どうしの積なので 4 になります。下の行では、-a² に a = -2 を入れると -(-2)² となり、平方の結果 4 の前にマイナスが残るため -4 です。-2² と書くと通常は 2² の前にマイナスを付けた -4 を表します。代入時の括弧は、この違いをはっきりさせます。

同じ文字が何回出ても、指定された値は同じです。たとえば b = -3 のとき、b − b² は (-3) − (-3)² です。最初の b と平方の中の b は両方とも -3 ですが、式の中で受ける操作が違います。前者はそのまま、後者は2回掛けた結果を使います。

また、文字の前の数は省略された掛け算を表します。-2b で b = -3 なら、(-2) × (-3) と書き直します。元からある -2 と代入した -3 は別々の数です。2つの負の符号を見落とさずに計算すると 6 です。

代入の前に式全体を眺め、文字の位置、掛け算、平方、括弧を指で追ってみましょう。負の数でなく 0 や正の数を入れる場合も、同じ位置に入れるという考え方は変わりません。たとえば c = 0 なら 5c は 0 です。文字を消して係数の 5 を残すことはできません。

代入後の式は、元の式を数で言い換えたものです。たとえば d = -1 のとき、d + d は (-1) + (-1) です。2か所に同じ値が入るため、片方だけ正の 1 に変えると元の式とは対応しません。文字が複数ある式では、先にそれぞれの値を書き出し、代入後に元の文字の順に指で照合すると取り違えに気づきやすくなります。

割り算の記号がある式でも、分母や割る数に入る値を確認してから計算します。たとえば 6 ÷ e に e = -2 を入れたら、6 ÷ (-2) = -3 です。6 ÷ 0 は定義されないため、e = 0 の場合はこの式の値を求められません。0 を答えにするのではなく、割る数が 0 になったことを確認します。反対に、分子が 0 で割る数が 0 でなければ、その商は 0 です。

基本例題：引く数の符号を残す

問題。x = -3 のとき、2x − 5 の値を求め、整数で答えましょう。

まず、元の式の 2x は 2 × x です。x に入るのは 3 ではなく -3 全体なので、文字の位置へ (-3) と書きます。元の式の「5 を引く」部分も、そのまま残します。

2x − 5 = 2 × (-3) − 5 = -6 − 5 = -11

答えは -11 です。図2のように、代入してから掛け算を行い、その後で 5 を引きます。負の数を2倍した -6 からさらに 5 を引くので、数直線では左へ進みます。

図2の数直線は、-6 から -11 へ 5 だけ左に移る様子を示しています。引いた後の位置が -11 です。掛け算と引き算をまとめて暗算する前に、-6 を一度書けば、どの操作で符号が決まったかを確認できます。

この式は、基準からの変化としても読めます。1回あたり -3 の変化が2回あり、その後さらに 5 減ると考えると、最初の2回の合計は -6、全体の変化は -11 です。式の 2 が掛かるのは x の部分で、後ろの 5 にまで掛かるわけではありません。

答えから場面に戻しても確かめます。-3 の変化を2回分合わせると -6 であり、そこから 5 減らすと -11 です。代入の位置、2回という数、最後に減る量が元の条件と対応しています。符号だけを見て -1 とすると、2回の変化と最後の減少を合わせた量になりません。

なお、2x − 5 を 2(x − 5) と読み替えると別の式になります。元の式には x − 5 をまとめる括弧がないため、その読み替えはできません。計算前に括弧を足すときは、代入する数を囲むための括弧なのか、元の計算のまとまりを変える括弧なのかを区別します。

少し難しい例題：平方と引き算が並ぶ

問題。p = -2、q = 3 のとき、p² − 2q + p の値を求め、整数で答えましょう。

分かれ目は、p² と最後の p を別々に扱うことです。同じ p でも、前者は平方し、後者はそのまま足します。q に入れるのは正の 3 であり、p の値を入れないようにします。

p² − 2q + p = (-2)² − 2 × 3 + (-2) = 4 − 6 + (-2) = -2 + (-2) = -4

答えは -4 です。平方と掛け算を先に済ませ、それから加減を左から行いました。4 − 6 は -2 ですが、この -2 と最後に足す -2 は由来が違います。片方は途中の計算結果、もう片方は p に与えられた値です。

確かめると、p を2回掛けた量は 4、q の2倍は 6、最後に加える p は -2 です。それらを式の順に合わせると 4 − 6 − 2 で -4 になります。元の3つの部分がそれぞれ計算に入っているので、最後の p の書き忘れも見つけられます。

もし p² を -4 としたなら、負の符号を平方の外に置いてしまった可能性があります。まず p の値を括弧で囲み、(-2) × (-2) に戻して確認します。逆に最後の p まで 4 にすると、平方の指示が付いていない場所にも平方を施したことになります。文字ごとに同じ値を入れ、その後に各場所の操作をすることが肝心です。

誤答を直す：括弧が示すもの

問題。t = -4 のとき、t² + 1 の値を整数で求めます。誤った途中式として、-4² + 1 = -15 とした場合を考えます。

原因は、t の場所に入る -4 全体を括弧で囲まず、4² の前にマイナスがある式として計算したことです。-4² は 4² の結果にマイナスを付けるため -16 です。しかし元の t² は t 全体を2回掛けるので、t = -4 の場合は (-4)² と書きます。

図3のように、同じ数字と記号でも括弧の位置によって平方する範囲が変わります。直すと (-4)² + 1 = 16 + 1 = 17 です。答えは 17 になります。

図3の上は代入後に必要な形、下は誤って括弧を落とした形です。上では -4 を2回掛けてから 1 を足します。下では 4 を2回掛けた結果にマイナスを付けてから 1 を足すため、別の計算です。

もう1つの間違いは、引く記号と負の符号を混ぜることです。r = -5 のとき 7 − r を 7 − 5 とするのは誤りです。正しくは 7 − (-5) = 12 です。7から引く相手はrです。rに入れる-5全体を括弧で囲み、7 − (-5)と書いて計算します。12 から引いたはずの変化を戻すと 12 + (-5) = 7 となり、元の 7 に戻ります。

誤答を見つけたら、答えの符号だけを変えるのではなく、元の式と代入した行を比べます。文字の個数だけ代入した数があるか、元の記号が残っているか、平方の対象が変わっていないかを順番に見ます。計算の途中で間違えた場合と、代入の段階で式を変えてしまった場合では、直す場所が異なります。

符号を直すときには、計算順序の確認も欠かせません。例えば s = -2 のとき、3 + s² は 3 + 4 = 7 です。3 と s を先に足してから平方する式は (3 + s)² で、元の式とは括弧が違います。代入した後も、元からある括弧と、数を囲むために付けた括弧を区別します。

計算結果が予想と違う場合、正負の判断を先に見積もるのも有効です。ただし、正か負かの見積もりは数値そのものの検算にはなりません。各項の値を出し、元の演算で結び直して、最後の数まで一致するかを確認します。

練習問題

次の4問は、先に問題をまとめて解いてから、後ろの解答で途中を確かめましょう。答えはそれぞれ整数または指定された形で書きます。

1. a = -6 のとき、3a + 4 の値を整数で求めましょう。
2. b = -3 のとき、b² − 2b の値を整数で求めましょう。
3. m = -1、n = -4 のとき、2m − n の値を整数で求めましょう。
4. x = -1/2 のとき、4x² + 3x の値を整数または既約分数で求めましょう。

答えと解き方

1の答えは -14 です。3a + 4 = 3 × (-6) + 4 = -18 + 4 = -14 です。1回あたり -6 の変化を3回分合わせると -18、それに 4 を加えると -14 となり、元の式の係数と加える数に戻して確かめられます。3 と -6 を続けて書かず、掛け算を明示すると読み違えを防げます。

2の答えは 15 です。b² − 2b = (-3)² − 2 × (-3) = 9 − (-6) = 15 です。平方の部分は 9、2b の部分は -6 なので、その値を引く操作を元の式に戻すと 9 − (-6) です。9 から -6 を引いた結果が 15 であり、15 に -6 を足すと 9 に戻ります。2b の負の符号と、式にある引き算の記号を分けて読みます。

3の答えは 2 です。2m − n = 2 × (-1) − (-4) = -2 + 4 = 2 です。m の2倍は -2、n は -4 ですから、元の式では -2 から -4 を引きます。求めた 2 に引いた数 -4 を足すと -2 になり、引く前の量に戻ります。m と n は違う値なので、代入の行でそれぞれの符号を見比べます。

4の答えは -1/2 です。4x² + 3x = 4 × (-1/2)² + 3 × (-1/2) = 4 × 1/4 − 3/2 = 1 − 3/2 = -1/2 です。平方した値は 1/4、3倍した値は -3/2 です。元の式の2つの部分に戻して 4 × 1/4 と -3/2 を合わせると、確かに -1/2 になります。平方の前に分子のマイナスを消すのではなく、負の分数全体を2回掛けます。

覚えておくこと

• 文字の場所に、指定された数を符号ごと入れます。
• 負の数は括弧で囲み、元の演算記号を残します。
• 平方する範囲を見て、掛け算や平方から計算します。
• 答えを各部分の意味に戻し、元の式と照合します。

つまずきを見分ける

お子さまが答えを間違えたときは、最初から計算をやり直す前に、代入した行を見ます。文字が残っていたり、異なる文字へ同じ数を入れていたりするなら、値と文字を対応させる練習から始めます。代入は正しいのに答えが違う場合は、平方、乗除、加減のどの行で変わったかを追います。

個別指導では、負の数を囲む括弧が何をひとまとまりにしているか、本人に指し示して説明してもらいます。さらに、引き算の記号と代入した数の符号を別々に読めるか、平方の対象を元の文字式に戻して選べるかを確かめます。答えが合った場合も、各部分が元の条件と対応しているかを言葉でたどります。文字の場所と演算の順序がつながれば、次の式にも同じ判断を使えます。