数検5級 文字式の表し方—数量のまとまりを括弧で示して式を読み取る練習｜武蔵野個別指導塾

二つの代金の合計を人数で割る場面から始め、積の書き方、係数の読み方、商を分数で表すきまりを順に確かめ、まとまりを括弧でくくる練習へ進みます。最後に身につけるのは文字式の表し方です。

文化祭の会計を任された生徒が、二つの品物の代金の合計を3人で等しく分ける計算をメモに残す場面を考えます。a円とb円の合計を3で割るだけなのに、メモには a + b ÷ 3 と書いてあり、b円のほうだけを3で割った式になっていました。何度計算し直しても合計が合わず、どこで式がずれたのかを見つけられないまま鉛筆が止まります。ずれたのは計算の順序ではなく、割りたいまとまりを式の上で示していなかった点です。

この単元で問われること

文字式の表し方は、言葉で書かれた数量の関係を、文字と数の式に置き換える単元です。数検5級の範囲では、出来上がった式を計算する力よりも、条件をどの式に写すか、そして写した式がきまりどおりに書けているかを見られます。出方の型は大きく三つに分かれます。

第一の型は、言葉の条件をそのまま式にする問題です。1個a円の品物を5個買ったときの代金なら 5a 円、xページをy人で等しく分けたときの1人分なら x/y ページという形で答えます。第二の型は、示された式を言葉に戻す問題です。3a + b が何を表しているかを、aとbに具体的な意味を当てて説明します。第三の型は、書き方のきまりに反した式を見つけて直す問題です。a + b ÷ 3 のような式が正しいかどうかを、まとまりの位置から判断します。

どの型でも共通するのは、答えの式に × や ÷ を残さないことと、割る相手が一つの数なのか、足し算や引き算のまとまり全体なのかを区別することです。この二点を押さえると、式を見た瞬間にどこが怪しいかが見えてきます。

用語と考え方

まず、式を書くときのきまりを四つに分けて覚えます。一つ目は、文字と数の積では × を省くことです。3 × a は 3a、a × b は ab と書きます。二つ目は、数は文字より前に置くことです。a × 3 を a3 とは書かず、3a と書きます。三つ目は、1 や -1 の係数は書かないことです。1 × a は a、-1 × a は -a になります。四つ目は、同じ文字を掛けたら累乗の形にすることです。a × a は a²、a × a × a は a³ です。

割り算は分数の形に直します。a ÷ 3 は a/3、3 ÷ a は 3/a です。ここで気をつけるのは、割られる側が一つの項なのか、複数の項のまとまりなのかという区別です。a + b というまとまり全体を3で割るなら、a + b を括弧でくくって (a + b)/3 と書きます。括弧のない a + b/3 は、bだけを3で割った式になり、意味が変わってしまいます。

係数とは、文字にかかっている数のことです。3a の係数は3、-a の係数は-1、a の係数は1です。係数を問う問題では、文字の直前にある数と符号をセットで読みます。-3a なら係数は-3です。

数量を表す式では、単位も一緒に決めます。1個a円の品物をb個買う代金は ab 円、1mあたりa g の針金がb m あるときの重さは ab g です。同じ ab という形でも、何を数えたかで単位が変わるため、式の後ろに円や g を添えて答えます。単位を書き忘れると、金額なのか重さなのかが読み手に伝わりません。

図1のように、積、係数、商、まとまりの四つを並べて見ると、どこで括弧が必要になるかがはっきりします。

図1の左端は積の書き方です。3 × a が 3a になり、× の記号は消えます。左から二つ目は係数で、-a のように数が書かれていなくても係数は-1です。三つ目は商で、a ÷ 3 が a/3 になります。右端はまとまりで、a + b 全体を3で割るときにだけ (a + b)/3 と括弧が付きます。同じ a と b と 3 を使っていても、括弧の有無で式の意味が変わることを、図1の式を並べて確かめてください。

基本の例題と解き方

例題1です。1個a円の消しゴムを5個買うときの代金を、文字式で表しなさい。

1個a円の品物が5個あるので、a × 5 と書けます。数は文字の前に置くきまりに従って、a × 5 を 5a に直します。× は残しません。答えは 5a 円です。aに120を入れると 5 × 120 = 600 円となり、1個120円の物を5個買う代金と一致します。

例題2です。xページの本をy人で同じページ数ずつ分けて読むとき、1人が読むページ数を文字式で表しなさい。

xページをy人で等しく分けるので、x ÷ y と書けます。割り算は分数の形に直すきまりなので、x ÷ y を x/y と書きます。答えは x/y ページです。xに240、yに4を入れると 240/4 = 60 ページとなり、4人で60ページずつ読めば全体で240ページになることと合います。

例題3です。a円とb円の合計を3人で等しく分けるとき、1人分の金額を文字式で表しなさい。この問題は、はじめの場面で式がずれた原因をそのまま確かめられる形になっています。

1行目、まず合計を式にします。a + b です。2行目、合計は二つの項が並んだまとまりなので、割る前に括弧でくくります。(a + b) です。3行目、3人で等しく分けるので3で割ります。(a + b) ÷ 3 です。4行目、割り算を分数の形に直します。(a + b)/3 です。答えは (a + b)/3 円になります。

確かめます。aに300、bに600を入れると、合計は900円、3人では300円ずつです。(300 + 600)/3 = 900/3 = 300 で合います。括弧を落とした a + b/3 だと 300 + 200 = 500 円になり、1人分とは呼べない金額です。ここで差がつくのは、3で割った相手が合計なのかbだけなのかという一点です。

図2のように、合計を式にする、括弧でくくる、3で割るという順に段を分けて書くと、どの時点でまとまりができたかを自分で追えます。

図2の一段目は a + b で、まだ割る前の合計です。二段目で (a + b) と括弧が付き、この二つの項が一つのまとまりになります。三段目で3で割り、(a + b)/3 が完成します。括弧は二段目で付き、三段目でもそのまま残る点に注目してください。

少し難しい例題

例題4です。1冊a円のノートを2冊と、1本b円のペンを3本買い、1000円札を1枚出しました。おつりを文字式で表しなさい。

ノートの代金は a × 2 で 2a 円です。ペンの代金は b × 3 で 3b 円です。代金の合計は 2a + 3b 円になります。この合計は二つの項が並んだまとまりなので、1000円から引くときは全体を括弧でくくります。1000 − (2a + 3b) 円が答えです。

この問題の分かれ目は、引くまとまりに括弧を付けるかどうかです。1000 − 2a + 3b と書いてしまうと、3b を引くのではなく足す式になります。買い物で支払った金額が増えるほどおつりが増える、というおかしな式になるわけです。

確かめます。aに200、bに100を入れると、ノートは400円、ペンは300円、合計は700円、1000円札を出したおつりは300円です。式は 1000 − (2 × 200 + 3 × 100) = 1000 − 700 = 300 で合います。括弧のない式なら 1000 − 400 + 300 = 900 となり、実際のおつりと合いません。

もう一つの分かれ目は、足し算のまとまりを何倍かする場面です。縦a cm、横b cm の長方形の周の長さは、縦と横の組が2組あるので 2(a + b) cm と書けます。これを 2a + b と書くと、縦は2回分ありますが横は1回分しかなく、横1本分が足りません。括弧を外すときは、中の項の一つ一つに2を掛けると覚えるのではなく、括弧の中が一つの長さの組だと見てください。

括弧を外した 2a + 2b も、同じ周の長さを表します。ただし、縦と横を一組にした考え方が見えるのは 2(a + b) の形です。問題で括弧を使う形を指定されたら、その指定に従って書きます。指定がなければ、どちらの形でも同じ長さになります。

よくある誤りと直し方

誤り1です。a円とb円の合計を3人で分ける式を a + b ÷ 3 と書いてしまう例です。この式では、bだけが3で割られています。合計というまとまりが式の上に一度も現れていないため、計算の順序を正しくしても金額は合いません。直し方は、割りたいまとまりを先に括弧でくくることです。(a + b) ÷ 3 と書き、分数の形にして (a + b)/3 にします。

誤り2です。a × 4 を a4 と書いてしまう例です。数は文字の前に置くというきまりを忘れると、この形になります。a4 では「数を文字の前に置く」という文字式の表記のきまりに合いません。直し方は、数を前に移して 4a と書くだけです。

誤り3です。1000円から 2a + 3b を引く式を 1000 − 2a + 3b と書いてしまう例です。引く相手が二つの項のまとまりなのに、括弧がないため、後ろの項だけ符号が逆になります。直し方は、引くまとまり全体を括弧でくくって 1000 − (2a + 3b) とすることです。

図3のように、誤った式と直した式を上下に並べて、括弧の位置だけを見比べると、どこで意味が変わったかがつかめます。

図3の上の式は bだけを3で割っており、下の式は合計全体を3で割っています。文字に同じ値を入れても、二つの式はまったく違う金額を返します。式の形だけを見比べると似ていますが、割られている対象が違うのです。答案を書いたら、割り算の線の下に来ているのが一つの項か、括弧でくくったまとまりかを、目で追って確かめてください。

別題の練習

次の5問を解いてください。答えは単位を付けた文字式で書き、× と ÷ は式に残さないでください。

1. 1個a円のりんごを6個買うときの代金を表す式。
2. a m のリボンをb人で同じ長さずつ分けるとき、1人分の長さを表す式。
3. a cm のテープからb cm を切り取った残りを、c人で同じ長さずつ分けるとき、1人分の長さを表す式。
4. 1冊a円のノートと1本b円のペンを1組として、その組を4組買うときの代金を表す式。a + b をまとまりとして括弧を使ってください。
5. 1本a円の鉛筆をb本と、1冊c円のノートを2冊買うときの代金を表す式。

答えと解き方

1. 6a 円です。1個a円のりんごが6個なので a × 6 と書き、数を前に移して 6a にします。

2. a/b m です。a m をb人で等しく分けるので a ÷ b と書き、割り算を分数の形に直します。

3. (a − b)/c cm です。切り取った残りは a − b cm です。この残り全体をc人で等しく分けるので、(a − b) ÷ c と書き、分数の形に直します。割られる側が二つの項のまとまりなので、括弧が欠かせません。

4. 4(a + b) 円です。ノートとペンを一組と見ると、その組が4組あるので (a + b) × 4 と書けます。まとまりを括弧でくくって 4(a + b) にします。

5. ab + 2c 円です。鉛筆の代金は a × b で ab 円、ノートの代金は c × 2 で 2c 円です。二つの代金を足して ab + 2c 円になります。

検算します。2番は aに12、bに4を入れると、1人分は3 m で、3 × 4 = 12 m と元の長さに戻ります。3番は aに30、bに10、cに4を入れると、残りは20 cm、4人で5 cmずつになり、(30 − 10)/4 = 5 で合います。4番は aに120、bに80を入れると、1組200円、4組で800円です。5番は aに50、bに6、cに20を入れると、鉛筆300円とノート40円で合計340円になり、50 × 6 + 2 × 20 = 340 で合います。どの式も、文字に値を入れたときに問題文の場面の数量へ戻ることを確かめてあります。

覚えておくこと

• 積では × を省き、数は文字の前に置く。
• 1 と -1 の係数は書かない。
• 割り算は分数の形に直す。
• 足し算や引き算のまとまりを割るときは括弧でくくる。
• 引くまとまりにも括弧を付ける。

つまずきの見分け方

a + b ÷ 3 という式を見せて、どの計算から先に行うかを声に出して説明してもらいます。bだけを3で割ると答えたら、割りたいのは合計かどうかを尋ね、括弧を書き足させます。次に 3a の係数はどれか、指で示してもらいます。3を指せれば係数の位置はつかめています。最後に (a + b)/3 の括弧を外すと式の意味がどう変わるかを、自分の言葉で説明してもらいます。bだけになると言えれば、括弧の働きを理解しています。

説明が式の読み上げで止まる場合は、数量を具体的な金額に置き換えて、同じ計算を数字で一度させてから文字に戻します。式の変形を暗記で通そうとしている場合は、括弧の中が何を一まとまりにしているかを、問題文の言葉に戻して言わせます。説明の中で掛け算が先という言葉だけが出て、括弧の話が出てこないときは、場面に戻って、何と何を一まとまりにしたいのかを尋ねます。どの確認でも、答えの式だけでなく、その式をどう読んだかを言葉にしてもらうことが手がかりになります。書き終えた式は、割りたいまとまりが括弧で囲まれているかを指でなぞって確かめる。その一手間が、答えのずれをその場で止めます。