数検5級 分数と小数の混合計算—通分と変換を選んで途中式を確かめる練習｜武蔵野個別指導塾

0.25を100分の25と読む位取りを出発点に、負の小数と分数の加減を練習します。通分の前後で数の大きさを保つことが要点です。

よくあるのは、受験者が小数を分数に直すとき、数字をそのまま分子に置き、分母の位を誤る場面です。たとえば0.25を2/5と書くと、元の数より大きくなります。数字の並びが似ていても、数の大きさは同じではありません。

分数と小数の混合計算では、表し方をそろえてから、正負の数の計算を進めます。どの形へ直すか、どの順に計算するか、結果を元の式に戻してどう点検するかを、自作の問題でたどります。循環小数の一般的な扱いには立ち入りません。

表し方と計算順序を選ぶ

この範囲の練習には、たとえば次の3つの型があります。いずれも考え方を練習するための自作の型で、出題を予告するものではありません。

1. 小数を分数に直し、分母をそろえて加減する型。
2. 分数を小数に直し、位をそろえて加減する型。
3. 括弧や掛け算を含む式で、先に計算する部分を決める型。

どの型でも、変換は数の大きさを変えずに表記を変える操作です。変換のたびに数が変わってしまうと、その後の計算が正しくても元の式の答えにはなりません。まず、それぞれの項の符号と大きさを見てから、計算しやすい表し方を選びます。

たとえば分母が4の分数と小数が並ぶ場合、4分の1は0.25なので小数にそろえる方法もあります。一方、分母が3の分数を小数に直すと割り切れないため、有限の小数で途中を打ち切ると正確な値が変わります。この場合は小数を分数に直して通分すると、値を保ったまま計算できます。

正負の数が入ると、変換と符号の判断が同時に必要になります。最初は負号を数と一緒に括弧で囲み、何を足し何を引くのかを見えるようにしましょう。答えの形が指定されている場合は、最後にその形に整えます。

小数の位と分数の単位

小数第1位は1を10等分した1つ分、小数第2位は1を100等分した1つ分です。0.25は0.01が25個分なので25/100です。分子と分母を共通の数25で割ると1/4になります。負の小数なら符号を保ち、-0.25は-1/4です。

図1のように、1を4等分した1区画と、1を100等分した25区画は同じ長さです。図では100区画を1つずつ描かず、25区画ずつをまとめています。分母は区切った数、分子はそのうち何個分かを表します。図1の対応に戻れば、0.25を2/5とする誤りにも気づけます。

2/5は分母と分子に2を掛けると4/10、つまり0.4です。0.25とは異なります。小数点の後ろに2桁あるから100分のいくつと読み、約分はその後に行うと、分母を思いつきで決めずに済みます。

通分は、同じ大きさを異なる単位で表す操作です。1/4と1/3を足すときは、1を12等分した単位にそろえ、3/12と4/12にします。分母を12に変えるだけでなく、分子も同じ倍率で変えます。これで初めて、同じ大きさの区画の個数を足せます。

分数を小数に直すときは、分子を分母で割ります。たとえば3/4は3 ÷ 4で0.75です。分母を10や100にできる場合は、3/4を75/100と変えても同じ結果になります。どちらの方法も、元の分数と同じ数を得るための方法です。

基本例題：負の小数を分数にそろえる

次の式を計算し、答えを既約分数で表しましょう。

(-0.25) + 2/3

0.25は25/100で、約分すると1/4です。負号もそのまま持っていき、-0.25を-1/4と表します。次に4と3の公倍数のうち12を分母に選びます。

(-0.25) + 2/3 = (-1/4) + 2/3 = (-3/12) + 8/12 = 5/12

図2のように、12等分した単位で左に3個、右に8個動きます。0から左へ3個進み、そこから右へ8個進むと、0より右の5個分に着きます。答えは5/12です。5と12には1以外の共通の約数がないので、これ以上約分する必要はありません。

分母をそろえた後は、分子の-3と8を足します。分母の12まで足して24にするのではありません。分母は数えている単位の大きさを表し、分子はその単位が符号つきでいくつあるかを表します。分数を数直線上の移動として読むと、この違いを確認できます。

答えの点検では、5/12から加えた2/3を引きます。5/12 − 8/12は-3/12、つまり-1/4です。これは元の-0.25に戻ります。また、2/3のほうが1/4より大きいので答えが正になることも、符号の見当と合います。どちらかが合わなければ変換と符号を別々に見直します。

別の方法として、0.25を25/100のまま扱うことも可能です。ただし、最初に1/4へ約分すれば、通分に使う数を小さくできます。方法を選ぶときは、先に約分できるかを眺め、途中式を短く保つことが役立ちます。

小数にそろえる道も比べる

分数を小数に直して計算しやすい式もあります。たとえば1/4 − 0.1なら、1/4を0.25にして0.25 − 0.1 = 0.15と進められます。小数点を縦にそろえ、0.1を0.10と書けば、100分の25から100分の10を引く計算だと見えます。結果の0.15に0.1を足すと0.25に戻り、最初の1/4と一致します。

同じ式を分数にそろえるなら、0.1は1/10なので、1/4 − 1/10 = 5/20 − 2/20 = 3/20です。3/20を100分の数にすると15/100で、0.15と一致します。両方の道は異なって見えても、途中の値を保っていれば同じ場所に着きます。小数が常に簡単、分数が常に簡単と決めるのでなく、割り切れるかと分母の大きさを見て選びます。

途中で小数の桁を落としたかもしれないと感じたら、その値を10倍や100倍したときの大きさを考えます。0.25を100倍すると25ですが、2/5を100倍すると40です。この違いは、両者を同じ数として扱えないことを示します。負号がある場合は大きさを比べた後に符号を戻し、負の向きまで含めて元の数と一致するかを見ます。

括弧の中と掛け算の順を守る

次の式を計算し、答えを既約分数で表しましょう。

1/2 − (0.4 − 1/6) × 3/2

分数にそろえるか、括弧の中を小数にするかが分かれ目です。1/6を有限の小数で正確に表すことはできないため、0.4を2/5に直します。さらに、括弧の中を先に計算し、その結果に3/2を掛けてから1/2から引きます。

1/2 − (0.4 − 1/6) × 3/2 = 1/2 − (2/5 − 1/6) × 3/2 = 1/2 − (12/30 − 5/30) × 3/2 = 1/2 − 7/30 × 3/2 = 1/2 − 7/20 = 10/20 − 7/20 = 3/20

掛け算では分子同士、分母同士を掛け、21/60を7/20に約分しました。途中で3と30を先に約分しても同じです。引き算を掛け算より先に進め、1/2から括弧の値を引いてしまうと、元の式とは違う計算になります。

逆向きに点検すると、答えの3/20に引いた量7/20を足して1/2に戻ります。また、掛け算の結果7/20を3/2で割ると7/30で、これに1/6を足すと12/30、すなわち2/5です。2/5は0.4なので、括弧内の変換まで元の値に戻りました。括弧内は正で、引く量も1/2より小さいため、答えが正であることも合います。

間違いを見つけたら変換まで戻る

基本例題の最初を、誤って次のように書いたとします。

(-0.25) + 2/3 = (-2/5) + 2/3 = 4/15

後半の通分は、仮に最初の数が-2/5なら正しい計算です。しかし、-0.25は-2/5ではありません。0.25は100分の25であり、数字の2と5を分母と分子に振り分ける根拠はありません。図3のように、0.25は1/4の位置、2/5は0.4の位置です。数直線の異なる場所にあるため、同じ数として置き換えられません。

修正するときは、答えの4/15だけを消すのではなく、最初に値が変わった等号まで戻ります。-0.25を-25/100、さらに-1/4に直してから通分すれば、基本例題の5/12に着きます。どの等号の両側も同じ数かを確かめると、誤りの場所を絞れます。

もう1つの誤りは、(-1/4) + 2/3を(-1/12) + 2/12とするものです。分母だけを変えたため、それぞれの値が変わっています。4を12にするなら3倍なので分子も3倍、3を12にするなら4倍なので分子も4倍です。分子と分母に同じ数を掛けたか、項ごとに印をつけて確認しましょう。

答えの符号が反対になった場合は、約分だけをやり直しても直りません。正の項と負の項の大きさを比べ、大きいほうの符号を残せているかを確認します。計算が途中で止まったときも、まず位取り、次に通分、最後に符号という順に点検すると、次の一手を選びやすくなります。

別の数で練習する

次の4問を計算し、答えはそれぞれ既約分数で表しましょう。問題を一通り解いてから、後の解答と途中式を比べます。

1. 0.6 + (-1/4)
2. (-1.2) − 2/5
3. 3/8 + 0.125
4. 5/6 − (0.3 + 1/15) × 2

答えと解き方

1. 答えは7/20です。0.6を3/5に直し、12/20 + (-5/20) = 7/20とします。7/20に1/4を足すと12/20、つまり3/5で、元の0.6に戻ります。正の3/5のほうが1/4より大きいため、正の答えという見当も合います。

2. 答えは-8/5です。-1.2を-12/10、すなわち-6/5とし、-6/5 − 2/5 = -8/5とします。答えに2/5を足すと-6/5で、元の-1.2です。負の数から正の数を引くので、出発点より小さくなることも確かめられます。

3. 答えは1/2です。0.125は125/1000で、約分すると1/8です。3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2となります。答えから1/8を引くと3/8に戻ります。0.125を12/100と扱うと値が変わるので、小数第3位まであることに注意します。

4. 答えは1/10です。0.3を3/10に直し、括弧内を9/30 + 2/30 = 11/30とします。これに2を掛けると11/15です。5/6 − 11/15 = 25/30 − 22/30 = 3/30 = 1/10となります。答えに11/15を足すと25/30、つまり5/6です。また、11/15を2で割って1/15を引くと9/30で、元の0.3に戻ります。

解答を照合するとき、最後の数だけでなく、変換の前後で値が変わっていないかを見ます。答えが合っていても途中の等号が成り立たない場合は、その行を説明し直しましょう。異なる誤りが偶然打ち消し合うこともあるからです。

練習の4問目で括弧の中を足す前に2を掛けてしまった場合は、どの数に掛けたかを見直します。括弧全体を2倍するなら、中の2つの項をそれぞれ2倍してから足しても同じです。片方にしか掛けなければ、もう片方の分が不足します。元の順序で計算した結果と比べ、どの操作が抜けたかを特定しましょう。

覚えておくこと

• 小数は位に応じた10、100などを分母にして分数へ直す。
• 通分では分子と分母に同じ数を掛ける。
• 括弧、掛け算と割り算、足し算と引き算の順に計算する。
• 符号と答えの形を確認し、逆の操作で元の値へ戻す。

つまずきの場所を見分ける

お子さまが答えを間違えたときは、すぐに計算を全部やり直すより、どの行で値が変わったかを一緒に探します。0.25をどう読んだかを尋ね、100分の25と説明できなければ、1を等分する図に戻ります。位取りが合っていれば、次に通分の倍率を分子と分母へ適用したかを見ます。

個別指導では、本人に「なぜ分数にそろえたか」「括弧の後にどの計算を選んだか」を途中式を指しながら説明してもらいます。分数への変換は正しくても符号が違うなら、数直線で移動の向きと大きさを比べます。反対に符号は合っていても値が違うなら、約分や通分の前後を比べます。

正解した場合にも、逆の操作で元の数に戻る理由を言葉にすると、次の問題で使う判断が残ります。分数と小数の変換は、数字の形ではなく数の大きさを保つ操作です。