数検5級 累乗と四則混合—括弧と指数の範囲を見分けて計算順序を整える練習｜武蔵野個別指導塾

(-3)²と-3²を比べ、括弧の中から乗除、加減へ進む手順を自作例題でたどります。符号と範囲を意識して累乗を学ぶ。

よくあるのは、受験者がマイナスの位置を見ずに平方を計算する場面です。見た目の似た (-3)² と -3² は、同じ数を2回かける範囲が違います。その違いを残したまま、かけ算やわり算、たし算やひき算の順に進めると、式の途中で符号を見失いにくくなります。

ここで扱うのは、負の数の累乗と、それを含む四則混合計算です。数検5級の計算技能に向けて、式の形を見てから計算する練習をしましょう。例題と練習問題は、考え方を確かめるために作ったものです。

どこから計算するかを問う3つの型

1つ目は、括弧のある負の数と、括弧のない数の累乗を比べる型です。指数がどの数に付いているかを読み、負の符号がかけられる数に含まれるかを判断します。数字と指数が同じでも、括弧の位置が変われば結果が変わることがあります。

2つ目は、累乗の結果を使って乗除と加減が混ざった式を計算する型です。例えば 5 + 2 × 3² なら、まず 3² を 9 にし、次に 2 × 9 を計算します。左端の 5 + 2 を先にまとめると、もとの式とは異なる計算になります。掛け合わせるまとまりを見てから、最後に加減します。

3つ目は、括弧の中にも計算がある型です。括弧の中を1つの数にしてから、その外の指数や乗除に進みます。括弧の中にも乗除と加減が混ざるときは、中でも同じ順序を守ります。問題の形を見て「括弧の中」「累乗」「乗除」「加減」のどこから始めるかを決めることが、計算の入り口です。

これらは学習のために分けた型であり、実際の出題を予告するものではありません。1つの式に複数の型が重なることもあるので、途中で式の残りを見直しながら進めます。

指数が指すまとまりを読む

累乗は、同じ数を何回かけるかを表します。2³ は 2 × 2 × 2 で、右上の小さな 3 を指数といいます。2² は 2 × 2 です。指数は「同じ数をたす回数」ではなく、かける数の個数を示します。2 × 3 と読むと、たまたま別の式に見えてしまいます。

負の数に括弧が付いた (-3)² は、括弧に入った -3 が2個です。したがって (-3) × (-3) = 9 です。一方、-3² は、3² の前にマイナスがある式で、3² の結果に負の符号を付けます。3 × 3 = 9 なので -9 です。指数が負の符号まで包んでいるかを、括弧の位置で見分けます。

図1のように、累乗する部分を枠で囲むと、同じ数字でも範囲が違うことが見えます。枠の中をかけ算に直してから符号を決めると、思い込みを点検できます。

図1の上段では負の数そのものを2回かけ、下段では正の数を2回かけた結果にマイナスを付けます。(-3)³ なら (-3) × (-3) × (-3) = -27 です。最初の2個の積は正ですが、さらに負の数をかけるので負になります。

括弧が付いているときに指数を先に見つけても、括弧の中に計算が残っていれば、まず中身を求めます。例えば (2 − 5)² は、括弧の中が -3 なので (-3)² = 9 です。2 と 5 をそれぞれ平方してからひく操作は、同じ意味になりません。

四則の順序は、括弧の中を計算し、累乗を計算し、乗除を左から順に計算し、最後に加減を左から順に計算します。括弧が入れ子なら内側から進めます。乗算と除算には互いに優先順位の差がなく、同様に加算と減算にも差がありません。例えば 12 ÷ 3 × 2 は左から 4 × 2 と進めて 8 です。右の 3 × 2 を先にまとめて 2 としないようにします。

計算前には、式全体を一度眺めて、最後にどの操作が残るかも予想してみます。例えば 10 − 3 × 2² なら、最後は 10 から積をひく形です。先に 2² を 4、次に 3 × 4 を 12 とし、最後に 10 − 12 = -2 とします。答えが負になるのは、ひく量 12 が 10 より大きいからです。計算後の符号を、数の大小からも点検できます。

0 を含むときも範囲と順序の読み方は変わりません。(0 − 2)² は、まず括弧内を -2 としてから2回かけるため 4 です。括弧内の 0 を見て全体を 0 にせず、何が何回かけられるかを確かめます。また、わり算では 0 をわる数にすることはできません。式にわり算があるときは、括弧の中を計算した結果も含め、わる数が 0 でないかを確認します。

途中式には、まだ計算していない部分を残します。たとえば指数を処理した行では、元の式にある加減や乗除の記号が正しい位置に残っているかを見ます。数を正しく計算しても、前のひき算をたし算に変えてしまえば別の式です。各行を前の行と比べる習慣は、答えを出した後の見直しにも役立ちます。

基本例題：累乗を先に数へ戻す

次の式を計算し、答えを整数で書いてください。

6 − (-2)² × 3

はじめに、指数が付いた範囲を見ます。括弧は -2 という1つの数を表しており、その数を2回かけます。指数の部分を計算すると 4 です。図2のように、残りの 6 とひき算、× 3 をそのまま写して、計算した部分だけを置き換えます。

途中式は次のようになります。

6 − (-2)² × 3 = 6 − 4 × 3 = 6 − 12 = -6

1行目から2行目では (-2) × (-2) を 4 にしました。負の数2個の積なので正です。括弧の前にひき算があっても、それは平方の範囲の外に残ります。

次は 4 × 3 = 12 です。6 − 4 を先に計算してから3をかけると、ひき算を乗算より先に行ったことになります。図2で囲まれた部分の順序をたどり、まだ計算していない記号を落とさず写しましょう。最後に 6 − 12 を計算して、答えは -6 です。

答えをもとの式へ戻しても確かめます。平方の部分は (-2) を2個かけた 4、その3倍は 12 です。6 から 12 をひくと -6 なので、もとの式が指定した操作と答えが対応しています。逆に答えの -6 にひいた 12 をたすと 6 に戻り、最後のひき算も確かめられます。

途中式を1行に詰めると、指数を処理した部分と残しておく符号が混ざりがちです。1回の置き換えごとに、元の式のどの部分を変えたか指で追うと、写し落としにも気づきやすくなります。

少し難しい例題：括弧の内側も順に計算する

次の式を計算し、答えを整数で書いてください。

18 ÷ (-2) × 2 − [3 − (-1)³]

角括弧 [ ] も、丸括弧と同じように中を先にまとめるための印です。ここでの分かれ目は、左側のわり算とかけ算をどちらから処理するか、そして右側の角括弧の前のひき算を残せるかです。左側の乗除は左から、右側は角括弧の中を先に計算します。

まず (-1)³ = (-1) × (-1) × (-1) = -1 です。この値を角括弧の中に戻すと、3 − (-1) = 4 になります。負の数をひくので、3 に 1 をたすことと同じです。角括弧の前のひき算は、この 4 に対して働きます。

18 ÷ (-2) × 2 − [3 − (-1)³] = 18 ÷ (-2) × 2 − [3 − (-1)] = 18 ÷ (-2) × 2 − 4 = -9 × 2 − 4 = -18 − 4 = -22

18 ÷ (-2) は -9、その結果に 2 をかけて -18 です。(-2) × 2 を先にまとめて 18 を -4 でわることはできません。乗除が並ぶときの順番を変えると、別の式になります。

確認では元の操作をもう一度たどります。18 を -2 でわった -9 に 2 をかけると -18、角括弧内は 3 から -1 をひいて 4 です。-18 から 4 をひいた -22 に、ひいた 4 を戻すと -18 になります。角括弧内を計算した後のひき算まで保たれていると確かめられます。

誤答から、どの判断を直すか探す

誤りが出たときは、答えの正負だけを書き換えて終わらせず、最初に意味が変わった行を探します。図3は、括弧がない -3² を (-3)² と取り違えた場合です。指数が付く部分を囲んでから、かけ算に戻して比較します。

図3の誤答は、-3² = 9 とするものです。原因は、前のマイナスまで平方する数に含めてしまったことです。正しくは 3 × 3 = 9 としてから前のマイナスを付け、-3² = -9 とします。(-3)² = 9 は別の式として正しく、括弧を勝手に加えないことが修正の要点です。

もう1つの誤りは、8 − 2 × 3 を左から 6 × 3 = 18 とするものです。原因は、ひき算と乗算を区別せず、左からすべて処理したことです。乗算を先に行えば 8 − 6 = 2 になります。もとの式は「8 から 2 の3倍をひく」と読み直せます。

わり算とかけ算が続く場合には、反対に「かけ算がわり算より先」と覚えてしまう失敗があります。24 ÷ 6 × 2 を 24 ÷ 12 = 2 とせず、左から 4 × 2 = 8 とします。乗除は同じ順番の仲間なので、並んだら左から処理するという言葉に直します。

最後に符号を写し落とす場合もあります。例えば 7 − (-4) を 7 − 4 = 3 に変えると、ひく数が -4 から 4 に変わっています。7 − (-4) = 7 + 4 = 11 と直し、ひく数の符号まで括弧に残してから処理します。どの行で数や記号が変わったかを探すと、単なる計算違いと読み違いを区別できます。

計算の速さを上げたいときも、初めは範囲を明示しておきます。指数の付いた数に印をつけ、次の行でその部分を答えに置き換えます。乗除の結果を出した後に、左右に残る符号まで確認すると、見直しの場所がはっきりします。

答えだけが合ったときも、途中で異なる操作をして偶然戻った可能性があります。各行が前の行と同じ値かを調べ、答えの正誤とは別に計算の道筋を確かめましょう。誤りがあれば最初に変わった行まで戻り、そこから先を計算し直します。

練習：式を読んでから手を動かす

次の4問は、いずれも答えを整数で書いてください。先に問題を解き、指数の範囲と計算する順番を途中式に残してから、後の答えと比べます。

1. (-4)² − 4² を計算してください。
2. 11 − 2 × (-3)² を計算してください。
3. 30 ÷ (-5) × 3 + 7 を計算してください。
4. 2 × [1 − (-2)³] − 5 を計算してください。

答えと解き方

1. 答えは 0 です。(-4)² = (-4) × (-4) = 16、4² = 4 × 4 = 16 です。したがって 16 − 16 = 0 になります。もとの2つの平方をそれぞれかけ算に戻すと、両方とも 16 なので差が 0 であることを確かめられます。左の括弧内には負の符号が含まれますが、負の数を2個かけた結果は正です。

2. 答えは -7 です。(-3)² = 9 を先に求め、2 × 9 = 18、11 − 18 = -7 と進めます。もとの式が表す「11 から、(-3) の平方の2倍をひく」をたどると、ひく数は 18 です。答えの -7 に 18 をたすと 11 に戻るので、最後の操作も点検できます。11 − 2 を先に行って 9 × 9 にしないよう、乗算が終わるまでひき算を残します。

3. 答えは -11 です。乗除を左から計算し、30 ÷ (-5) = -6、-6 × 3 = -18 とします。最後に -18 + 7 = -11 です。わり算の結果 -6 に -5 をかけると 30 に戻ります。その3倍が -18 で、答え -11 から加えた 7 をひくと -18 に戻るので、元の順序を保てています。

4. 答えは 13 です。(-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8 なので、角括弧内は 1 − (-8) = 9 です。2 × 9 − 5 = 18 − 5 = 13 と計算します。元の式の角括弧を計算すると 9 で、その2倍は 18 です。答え 13 に最後にひいた 5 をたすと 18 に戻り、外側の操作も確かめられます。指数の 3 を見て正と決めず、負の数を3個かけるところから確かめます。

覚えておくこと

• 指数がかかる範囲を、括弧と符号の位置で見ます。
• 括弧の中をまとめてから累乗を計算します。
• 乗除は左から、加減も左から計算します。
• 途中で変えない数と記号を、次の行へ写します。
• 答えを元の操作に戻して確かめます。

つまずきを見分け、判断を言葉にする

答えが違うとき、お子さまにまず「指数が付いているのはどこからどこまでか」を指で示してもらいます。範囲を正しく示せるのに積の符号が違うなら、負の数を2個、3個とかける途中を一緒に書きます。範囲自体が違うなら、括弧のある式とない式を並べ、どの数が繰り返されるかを言葉にしてもらいます。

個別指導で確認したいのは、正解を覚えたかよりも、次に処理する部分を選んだ理由です。乗除が並ぶ式では「左から」の判断を、括弧の前にひき算がある式では、その記号がどこまで残るかを説明してもらいます。指で示した範囲と途中式が一致すれば、似た式でも自分で順序を組み立てられます。

累乗の範囲を見分ける目が、四則混合の一行目を整えます。