高校物理基礎 熱量と比熱—熱容量を使い分けて混合後の温度を求める｜武蔵野個別指導塾

質量の異なる水の混合や容器の温度変化を考えます。温度を求める鍵は熱量です。

よくあるのは、高校生が温かい水と冷たい水を混ぜ、2つの温度を足して2で割る場面です。同じ物質でも、質量が違えば1 ℃だけ温度を変えるのに必要な熱量が違います。温度の真ん中を選ぶ前に、それぞれが何 ℃変わり、どれだけの熱をやり取りしたかを調べましょう。容器も温まる場合は、容器の分も数えます。

どの量を問われるか

熱の問題には、与えられた質量と温度変化から熱量を出す型があります。反対に、熱量を受け取ったときの温度変化や、温まり方から比熱を求める型もあります。どちらも量と単位をそろえ、温度そのものではなく温度の変化を式に入れることが出発点です。

もう1つは、温度の違う物体を接触させ、十分時間がたった後の共通の温度を求める型です。外部への熱の出入りがなく、対象内での熱の授受を考えられるとき、高温側が失った熱量と低温側が得た熱量を等しく置きます。容器の熱容量が与えられていれば、容器の初めの温度にも注意します。

ここで扱うのは温度が変わるときの熱量と、熱量保存による混合です。融解など状態が変わるときには、温度を変えずに出入りする熱量も考える必要があります。以下の問題では状態変化は起きず、比熱は示された温度範囲で一定とします。

比熱と熱容量を区別する

物体の温度を変えるために出入りしたエネルギーを熱量といい、単位には J を使います。温度差によって高温側から低温側へ熱が移ります。温度は熱量そのものではありません。たとえば温度が同じ2つの水でも、量が違えば同じ温度だけ上げるのに必要な熱量は異なります。

比熱 c は、物質の単位質量の温度を1 ℃上げるのに必要な熱量です。質量 m の物体の温度が ΔT ℃上がるとき、受け取る熱量 Q は次のように表せます。

Q = mcΔT

m を g、c を J/(g・℃) で表せば、Q の単位は J です。m を kg で使う場合には、c も J/(kg・℃) でそろえます。冷える場合に失った熱量の大きさを出すなら、ΔT に「初めの温度 − 最後の温度」という正の温度差を入れます。

熱容量 C は、対象とする物体全体の温度を1 ℃上げるのに必要な熱量です。単位は J/℃ で、質量と比熱が与えられた物体なら C = mc です。熱容量がすでに与えられた容器には、さらに容器の質量を掛けません。容器が ΔT ℃温まるときに得る熱量は CΔT です。

図1のように、水と容器をまとめて対象とし、外部との熱のやり取りを無視できる場合を考えます。接触した部分の中では熱が移っても、対象全体では外へ出る熱も外から入る熱もありません。高温側の減少分と低温側の増加分を対応させます。

図1の容器が温まる条件なら、低温側には水だけでなく容器も含めます。逆に容器の熱容量を無視すると問題文にあれば、その分を式に入れません。熱量保存は常に見かけの2項を等しくするという暗記ではなく、どの物体を対象にし、外部とのやり取りを無視できるかから立てる関係です。

温度差を符号つきで統一する方法もあります。各物体について「最後の温度 − 初めの温度」を使い、受け取った熱量を正、失った熱量を負とすれば、断熱された対象ではそれらの和が0です。以下では見通しをよくするため、失った熱量と得た熱量をそれぞれ正の大きさで表します。

基本例題：水の量を重みとして考える

【問題】断熱された容器に、20 ℃の水 300 g が入っています。そこへ80 ℃の水 200 g を加え、熱の出入りが外部となくなるようにして十分に混ぜます。容器の熱容量は無視でき、水の比熱は 4.2 J/(g・℃) とします。水は液体のままで、混合後の共通の温度を小数で、単位を付けて求めてください。

対象は2つの水です。外部と熱をやり取りせず、容器が受け取る熱量も無視するため、高温の水が失う熱量と低温の水が得る熱量は等しくなります。図2のように混合後の温度を t ℃と置くと、双方の温度変化を文字で表せます。

高温の水の温度低下は (80 − t) ℃、低温の水の温度上昇は (t − 20) ℃です。それぞれの熱量は、正の大きさで次のようになります。

高温の水が失う熱量 = 200 × 4.2 × (80 − t) J

低温の水が得る熱量 = 300 × 4.2 × (t − 20) J

これらを等しく置き、両辺を 4.2 で割ります。

200 × 4.2 × (80 − t) = 300 × 4.2 × (t − 20)

200(80 − t) = 300(t − 20)

16000 − 200t = 300t − 6000

22000 = 500t

t = 44

したがって混合後は 44 ℃です。単純平均の 50 ℃ではありません。低温の水の質量が大きく、1 ℃上げるのに必要な熱量も大きいため、結果は20 ℃の側に近づきます。両方の比熱が同じなので式から 4.2 を消せますが、別の物質どうしでは一般に消せません。

答えを元の場面に戻します。高温の水は 36 ℃下がり、失った熱量は 200 × 4.2 × 36 = 30240 J です。低温の水は 24 ℃上がり、得た熱量は 300 × 4.2 × 24 = 30240 J です。差し引きが0で、44 ℃も初めの2つの温度の間にあるので、条件と整合します。

容器も温まるときの分かれ目

【問題】断熱された容器に20 ℃の水 200 g が入っています。容器も初め20 ℃で、容器の熱容量は 120 J/℃ です。100 ℃の金属 100 g を入れて十分に時間をおくと、水、金属、容器は共通の温度になります。水の比熱を 4.0 J/(g・℃)、金属の比熱を 0.80 J/(g・℃) とし、外部との熱の出入りと状態変化はないものとします。共通の温度を小数で、単位を付けて求めてください。

対象は水、金属、容器です。容器の熱容量を無視できるという条件ではないため、温まった容器の分も加えます。金属の熱容量は 100 × 0.80 = 80 J/℃、水の熱容量は 200 × 4.0 = 800 J/℃ です。容器の 120 J/℃ は物体全体の熱容量なので、そのまま使えます。

共通の温度を θ ℃とします。金属が失う熱量は 80(100 − θ) J、水が得る熱量は 800(θ − 20) J、容器が得る熱量は 120(θ − 20) J です。後ろの2項を合わせて次の式を立てます。

80(100 − θ) = 800(θ − 20) + 120(θ − 20)

8000 − 80θ = 920θ − 18400

26400 = 1000θ

θ = 26.4

答えは 26.4 ℃です。金属が失う熱量は 80 × 73.6 = 5888 J、水が得る熱量は 800 × 6.4 = 5120 J、容器が得る熱量は 120 × 6.4 = 768 J です。5120 + 768 = 5888 J と戻せるので、容器を含めた熱の授受が一致します。

分かれ目は容器の初めの温度です。この例では水と同じ20 ℃なので、水と容器の上昇温度をまとめられました。容器の初めの温度が別なら、それぞれの初めの温度からの変化を別々に書きます。また、外部に熱が逃げる場合は、対象内の受け取り分だけを損失分と等しくは置けません。逃げた熱量の情報が必要です。

誤答から熱の行き先を探す

図3のように、同じ水なら温度を足して2で割ればよいと考える誤りがあります。基本例題で (80 + 20) ÷ 2 = 50 ℃とすると、温度の変化は双方とも30 ℃です。しかし水の質量が異なるので、失う熱量と得る熱量は同じになりません。

50 ℃を条件に戻すと、高温側が失う熱量は 200 × 4.2 × 30 = 25200 J、低温側が得る熱量は 300 × 4.2 × 30 = 37800 J です。12600 J の差を、外部や容器との熱のやり取りがない条件では説明できません。修正には温度差だけでなく、それぞれの熱容量も掛けて式を立てます。熱容量が等しく、外部や容器との熱の出入りを無視できる場合には、単純平均が成り立ちます。

別の誤りは、容器の熱容量 120 J/℃ を比熱と見なし、水の質量を掛けることです。原因は「単位質量当たり」と「物体全体」を区別していない点にあります。単位を見て、J/(g・℃) なら質量を掛け、J/℃ なら温度変化を直接掛けます。

温度差の向きをそろえない間違いもあります。高温側の失った熱量を正の大きさで書くなら、最後から初めを引かず、初めから最後を引きます。符号つきの和を0にする書き方と、正の大きさどうしを等しくする書き方を途中で混ぜないことが修正の手がかりです。

手を動かす4問

次の各問では、与えた比熱はその温度範囲で一定で、状態変化はありません。答えは指定された単位を付け、小数または整数で表してください。混合する場合は十分に時間をおき、外部との熱の出入りを無視します。

1. 質量 0.50 kg、比熱 400 J/(kg・℃) の固体を、15 ℃から27 ℃まで温めます。固体が受け取る熱量を J で求めてください。
2. 熱容量 150 J/℃ の容器が、900 J の熱を受け取ります。容器の温度上昇を ℃ で求めてください。
3. 容器の熱容量を無視し、60 ℃の水 100 g と10 ℃の水 400 g を混ぜます。水の比熱を 4.0 J/(g・℃) として、混合後の温度を ℃ で求めてください。
4. 20 ℃の水 100 g が入った、初め20 ℃の断熱容器に、80 ℃の金属 200 g を入れます。共通の温度は30 ℃になりました。水の比熱を 4.0 J/(g・℃)、容器の熱容量を 100 J/℃ とします。金属の比熱を J/(g・℃) で求めてください。

4問の答えと戻し方

1. 温度上昇は 27 − 15 = 12 ℃です。質量と比熱はどちらも kg を基準にしているので、そのまま掛けます。

   Q = 0.50 × 400 × 12 = 2400 J

   答えは 2400 J です。熱容量は 0.50 × 400 = 200 J/℃ なので、2400 J を受け取れば 2400 ÷ 200 = 12 ℃上がり、15 + 12 = 27 ℃に戻ります。

2. 熱容量は容器全体について与えられています。上昇温度を ΔT ℃とすると、150ΔT = 900 です。

   ΔT = 900 ÷ 150 = 6 ℃

   答えは 6 ℃です。150 J/℃ の容器が6 ℃上がるには 150 × 6 = 900 J が必要で、与えられた熱量に戻ります。初めの温度は不明ですが、上昇分を求めるには不要です。

3. 混合後の温度を x ℃とします。高温の水が失う熱量と低温の水が得る熱量を等しく置きます。

   100 × 4.0 × (60 − x) = 400 × 4.0 × (x − 10)

   100(60 − x) = 400(x − 10)

   6000 − 100x = 400x − 4000

   10000 = 500x、x = 20

   答えは 20 ℃です。高温側の損失は 100 × 4.0 × 40 = 16000 J、低温側の取得は 400 × 4.0 × 10 = 16000 J となり、問題の断熱条件に戻ります。

4. 水と容器はともに10 ℃上昇します。水が得た熱量は 100 × 4.0 × 10 = 4000 J、容器が得た熱量は 100 × 10 = 1000 J です。金属の比熱を c J/(g・℃) とすると、金属は50 ℃下がるので、

   200 × c × (80 − 30) = 4000 + 1000

   10000c = 5000

   c = 0.50

   答えは 0.50 J/(g・℃) です。これを戻すと金属の損失は 200 × 0.50 × 50 = 5000 J となり、水と容器が得た 5000 J と一致します。容器を省くと金属の熱量を4000 Jと誤るため、問題文にある対象を残さず拾います。

温度を求める前の要点

• 比熱に質量を掛けると、その物体の熱容量になります。
• 熱量は熱容量と温度変化の積で表します。
• 断熱条件では、対象内で失う熱量と得る熱量が等しくなります。
• 容器が熱を受け取る条件なら、容器の分も入れます。
• 求めた温度を元に戻し、熱量と温度の範囲を照合します。

途中で止まったときの確かめ方

式が立たないときは、数値を代入する前に、対象の物体を横に並べて初めと最後の温度を書きます。各物体に「温まる」「冷える」を添えると、温度差の引く順序が見えます。共通の温度が初めから同じ物体は温度変化が0なので、その項は0です。

個別指導で確かめるなら、まず自分の言葉で「どこからどこへ熱が移るか」を説明し、次に容器を対象に含める理由を式の項と対応させてみます。数値が合っていても単位を言えない場合は、比熱と熱容量の単位をたどり直します。計算後に答えを各物体の温度変化へ戻せれば、式の意味まで確かめられます。熱量のつり合いは、それぞれの温度変化から読み取れます。