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高校地学 恒星の半径と光度—温度の4乗と表面積の関係から大きさを求める｜武蔵野個別指導塾
表面温度と全放射光度を比べ、温度の4乗と表面積の効果を分けて恒星の半径を求めます。
よくあるのは、恒星の表面温度を2倍にすると光度も2倍になる、と高校生が答える場面です。温度が高い面は単位面積あたりに多くのエネルギーを放ちますが、その増え方は温度の4乗に従います。さらに星全体の光度には表面積も効きます。温度と大きさを別々に動かし、最後に掛け合わせると、半径を求める道筋が見えてきます。
何を比べる問題か
出方の1つは、同じ半径の星の温度を比べて光度の比を求める計算です。温度の比を4乗する前に、同じ大きさという条件に印を付けます。温度だけを見ればよいのは、この条件があるからです。
別の型は、光度と温度から半径を逆算する問題です。温度の効果を光度の比から取り除くと、残るのは表面積の比です。球の面積は半径の2乗に比例するので、最後に正の平方根を取ります。半径を直接2乗で割ったまま答えると、面積の比と長さの比が混ざります。
資料読解では、どの明るさを与えられたかが出発点です。星が全方向へ放つ全波長のエネルギーを1秒あたりに合計した光度と、望遠鏡に届く特定の波長帯の明るさは同じ量ではありません。距離や波長帯の条件を確かめてから式を選びます。
球面と温度を別々に見る
恒星を球とみなし、表面の有効温度をT、半径をR、全放射光度をLとします。有効温度は、同じ面積から同じ全放射エネルギーを出す黒体の温度として定義されます。ここで使う温度は絶対温度で、単位はKです。摂氏温度の数字をそのまま比にしてはいけません。
ステファン・ボルツマン則では、黒体の単位面積が単位時間に放つ全放射エネルギーはσT⁴です。σは共通の放射定数です。球の表面積は4πR²ですから、全表面で同じ有効温度を用いると、光度は次のようになります。
L = 4πR²σT⁴面積と単位面積あたりの放射を掛けた式です。図1のように、半径の効果は2乗、温度の効果は4乗として分けられます。円の大きさは模式的で、実際の面積比を表していません。
図1で面積と温度を合流させるのは、どちらか一方だけでは全光度が定まらないからです。たとえば温度が同じなら、単位面積あたりの放射は同じでも、表面積が大きい星の方が光度は大きくなります。反対に半径が同じなら、温度が高い方が光度は大きくなります。
基準となる星をB、比べる星をAとすると、共通する4πとσを約して次の式を得ます。
L A/L B = (R A/R B)²・(T A/T B)⁴ここでL Aは星Aの光度という意味です。以下も同様に、量の記号の後の英字で星を区別します。定数の数値を使わずに比を求められるため、単位の換算ミスを避けやすくなります。ただし温度は両方ともK、光度は両方とも全放射光度にそろえます。
見かけの放射束は観測地点の単位面積に届くエネルギーで、光度とは区別します。距離が異なる星の見かけの明るさを、そのまま光度の比として代入することはできません。また、可視光のある帯域での明るさの比も、温度によって放射の波長分布が変わるため、一般には全放射光度の比ではありません。必要なら距離や波長帯、星間物質による減光を考慮して全放射光度を推定します。
比の向きにも注意します。Aを分子にした光度比を使うなら、半径比と温度比もAを分子にそろえます。逆向きの比を混ぜると、温度の高い星に小さい温度比を割り当ててしまいます。両方の星を入れ替えたとき、各比がそれぞれ逆数になることも点検の手掛かりです。
半径は球の中心から表面までの長さで、直径はその2倍です。両方の星で直径を用いて比を作るなら共通の2は消えますが、一方に半径、もう一方に直径を使うことはできません。光度の大小から半径を判断するときも温度の条件が必要です。同じ光度でも、高温の星は単位面積から多く放射するので、低温の星より小さい面積で同じ光度を出せます。
温度が一定のまま半径を変える場合と、半径が一定のまま温度を変える場合を分けると、各因子の役割を確かめられます。両方が変わる場合には、その効果を最後に掛け合わせます。
基本から逆算へ
以下の星はすべて自作の条件です。実在する恒星の測定値ではありません。比の問題なので放射定数の数値は不要です。
例題1 温度を変えた場合
星Aと星Bは同じ半径です。Aの有効温度はBの2倍です。Aの全放射光度はBの何倍ですか。整数で答えてください。
R A/R B = 1
T A/T B = 2
L A/L B = 1²・2⁴
L A/L B = 16答えは16倍です。面積は変わらず、単位面積あたりの全放射が16倍になります。逆に16倍を温度の4乗の効果で割ると面積比は1となり、与えられた同半径の条件に戻ります。温度を2倍にすることと光度を2倍にすることは、同じ操作ではありません。
例題2 光度と温度から半径を求める
星Cの全放射光度は星Dの64倍、有効温度はDの2倍です。Cの半径はDの何倍ですか。正の整数で答えてください。図2は条件と計算の流れを示す模式図で、図形の大きさは半径比の縮尺ではありません。
図2のように、まず温度の効果を独立に計算します。そのあと光度比を割ると表面積比が残ります。
L C/L D = 64
T C/T D = 2
64 = (R C/R D)²・2⁴
64 = (R C/R D)²・16
(R C/R D)² = 4
R C/R D = 2半径は正なので答えは2倍です。2乗が4だからといって半径比を4倍にしてはいけません。検算では半径比2、温度比2を元の場面に戻し、2²・2⁴ = 64となって光度比を再現します。
別の見方では、同じ温度で光度が64倍なら面積は64倍ですが、実際には温度が2倍なので単位面積の放射が16倍です。面積は64倍も必要なく、その16分の1である4倍となります。この説明でも、面積から長さへ戻る平方根が必要です。
条件を組み合わせる発展問題
例題3 温度が下がり半径が増えた星
同じ星の2つの状態EとFを考えます。Eの有効温度はFの半分、全放射光度はFの4倍です。Eの半径はFの何倍ですか。正の整数で答え、結果を光度比に戻して確かめてください。状態間で球の式が使えるものとします。
L E/L F = 4
T E/T F = 1/2
4 = (R E/R F)²・(1/2)⁴
4 = (R E/R F)²/16
(R E/R F)² = 64
R E/R F = 8答えは8倍です。温度の低下により単位面積あたりの放射は16分の1になりますが、面積が64倍になるので、全体では4倍です。代入すると8²・(1/2)⁴ = 64/16 = 4となり、元の光度比を再現します。温度が低いことだけから、光度が小さいとも半径が小さいとも決められません。
別解は温度の低下を補う面積から考えます。同じ光度を保つには、単位面積の放射が16分の1なので面積を16倍にする必要があります。さらに光度が4倍なので面積は16・4 = 64倍です。その正の平方根が半径比8です。2つの解き方は、どちらも面積と光度を混同しないところで一致します。
実際の推定では温度も光度も測定やモデルに不確かさがあります。たとえば温度を高めに見積もると、同じ光度を出すのに必要な面積は小さく推定され、半径も小さくなります。比の式を半径について整理すると、半径比は光度比の平方根を温度比の2乗で割ったものです。したがって温度の誤差は2乗を通じて半径に影響します。ただし大きな誤差を一律に小さな割合の近似で扱ってはいけません。
観測計画を考えるなら、まず同じ波長帯で測った放射束と、独立に得た距離の情報を組み合わせます。距離による広がりと減光を考え、複数の波長帯の資料から全放射光度と有効温度を推定します。波長の一部しか測れない場合は残りの放射を補うモデルに依存し、温度と光度の誤差も関連し得ます。配布された資料で推定値の範囲を変え、半径の範囲がどう動くか調べると、答えの不確かさを見積もれます。
誤答をほどく
例題2で「温度が2倍なので光度比64を2で割り、半径は32倍」とした答案を考えます。図3のように、温度比は4乗してから取り除きます。残った値は面積比なので、さらに平方根を取ります。図は計算の順序を示す模式図です。
この誤答には2つのずれがあります。最初に温度を1乗で扱い、次に面積と半径を同一視しています。式の各項に「単位面積の放射」「表面積」「半径」と言葉を添えると、どの量を計算したか追えます。誤った32倍を元の条件へ戻すと32²・2⁴ = 16384で、与えられた64倍とは一致しません。
また、摂氏温度の値を直接割る間違いにも注意します。温度差は同じでも、比は零点の取り方に依存します。問題に摂氏温度が出た場合は、まず絶対温度へ変換してから比を作ります。測光帯の明るさを全光度に読み替える間違いは、計算の正しさだけでは見抜けません。与えられた量の定義を最初に確認します。
練習問題
次の条件はすべて自作です。温度は有効温度、光度は全放射光度とし、球の式を用います。答えは指定された形で表してください。
- 星PとQの半径は等しく、Pの温度はQの3倍です。Pの光度はQの何倍ですか。整数で答えてください。
- 星Uの温度は星Vと等しく、半径はVの3倍です。Uの光度はVの何倍ですか。整数で答えてください。
- 星Gの光度は星Hの144倍、温度はHの2倍です。Gの半径はHの何倍ですか。正の整数で答えてください。
- 星Jの半径は星Kの4倍、温度はKの半分です。Jの光度はKの何倍ですか。整数で答えてください。
- 星Mの光度は星Nの4倍、温度はNの3倍です。Mの半径はNの何倍ですか。正の分数で答え、光度比を再現してください。
練習の答えと道筋
- 半径比は1、温度比は3です。
L P/L Q = 1²・3⁴
L P/L Q = 8181倍です。81を温度の効果81で割ると面積比1となり、同じ半径という条件に戻ります。
- 温度比が1なので、面積の比がそのまま光度比です。
L U/L V = 3²・1⁴
L U/L V = 99倍です。光度比9を面積比9で割ると温度の効果は1となり、同温度の条件と一致します。
- 温度比の4乗は16です。
144 = (R G/R H)²・16
(R G/R H)² = 9
R G/R H = 33倍です。3²・2⁴ = 9・16 = 144となり、元の光度比に戻ります。9は面積比です。
- 面積は16倍ですが、単位面積あたりの放射は16分の1です。
L J/L K = 4²・(1/2)⁴
L J/L K = 16/16
L J/L K = 11倍、つまり同じ光度です。光度比1を温度の効果1/16で割ると面積比16となり、半径比4を再現します。
- 温度比の4乗は81です。
4 = (R M/R N)²・81
(R M/R N)² = 4/81
R M/R N = 2/92/9倍です。正の平方根を選びます。元に戻すと(2/9)²・3⁴ = (4/81)・81 = 4となり、与えられた光度比を再現します。
手元に残す要点
- 全放射光度は球の表面積と単位面積あたりの全放射の積です。
- 相対比は光度比 = 半径比の2乗・絶対温度比の4乗です。
- 半径比は面積比の正の平方根で、温度はKで比べます。
- 波長帯の明るさや見かけの放射束を、全放射光度と混同しません。
答案のどこで止まったか
温度比を4乗できない場合は、まず同じ半径の2つの球を描き、単位面積あたりの放射だけを比べます。式は合っていても平方根を忘れる場合は、面積比と半径比に別の単位のイメージを添え、答えを2乗して面積比へ戻します。個別指導では、数値を代入する前の比の向きと、最後の逆算の両方を答案で確かめます。
観測値の読み取りで迷う場合は、資料の見出しに全放射か特定の波長帯かを書き込みます。距離や減光を考える前の見かけの量をそのまま使っていないかも確認します。温度と面積の役割を分けてから掛け合わせると、恒星の半径を根拠を持って求められます。
読んで終わりにするか、ここから変えるか。
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