数検5級 柱体の表面積と体積—底面と高さを決めて面の重なりを数える練習｜武蔵野個別指導塾

三角柱と円柱を例に、側面積へ底面2枚分を加える手順を示し、体積に使う高さとの対応を整理します。

よくあるのは、受験者が柱の横を囲む面の面積を求め、そのまま表面積として答える場面です。計算が合っていても、上下の面が抜けていれば立体の表面全体は覆えません。紙で箱を包む様子を思い浮かべ、どの面を何枚数えたかを式の横に書くところから始めます。

柱体には、底面が多角形の角柱と、底面が円の円柱があります。ここでは面が平らに切られた普通の柱を扱い、底面の形と2つの底面の間の高さを使って、表面積と体積を求めます。円柱の答えは円周率をπのまま表します。

何を求める問題かを先に分ける

柱の問題には、少なくとも次のような出方があります。1つ目は、底面の辺や半径、柱の高さから体積を求める型です。底面積を先に出し、それに柱の高さを掛けます。底面積が面の広さ、高さが積み重ねる長さです。

2つ目は、同じ長さの情報から表面積を求める型です。底面2枚と、それらをつなぐ側面の面積を合わせます。直方体のように同じ形の面がほかにもある場合は、面の名前を決めて数えると重複を防げます。

3つ目は、体積や表面積が与えられ、足りない長さを求める型です。求める長さをすぐ掛けるのではなく、わかっている面積と体積の関係に戻ります。以下の問題は考え方を練習するための自作です。図の見た目で長さを測らず、問題に書かれた条件を使います。

答えに必要な単位も最初に意識します。面積はcm²、体積はcm³です。どちらも数を掛けて求めますが、同じ量ではありません。何を覆うのか、何が中に入るのかを言葉で区別してから計算すると、式を選びやすくなります。

底面の組と柱の高さを見つける

柱体の底面は、平行でぴったり重なる2つの面です。立体を横に倒しても、この組と2面の間の距離は変わりません。机に接している面を必ず底面と呼ぶわけではないので、どの面を組に選ぶかを問題の条件と照らします。

図1のように、三角柱なら合同な三角形が底面の組です。その間をつなぐ長方形が側面で、柱の高さは2つの底面の間の垂直な距離です。三角形の中で面積を出すための高さと、柱の高さは別の長さです。名前が同じでも、どの図形についての高さかを区別します。

図1では手前と奥の三角形を底面として示しています。三角形の辺は3本なので、側面はそれぞれの辺につながる長方形3枚です。側面を切り開いて横に並べると、横の長さは底面の周の長さ、縦の長さは柱の高さになります。したがって側面積は、底面の周の長さに柱の高さを掛けて求められます。

円柱でも同じように、側面を切り開くと長方形になります。その横は底面の円周、縦は柱の高さです。底面の半径をr、柱の高さをhとすると、底面積はπ×r×r、側面積は2×π×r×hです。表面積は底面積の2倍と側面積の和、体積は底面積とhの積です。

面が接する辺は長さを持ちますが、面積として余分に足しません。面同士の境界を2回なぞっても、面を2枚分数えたことにはならないからです。一方、底面そのものを側面積に含めることもできません。どの面を数えたか、展開した姿で確認します。

基本例題：三角柱の面を数える

底面が直角三角形の三角柱があります。三角形の直角をはさむ2辺は3 cmと4 cm、残る1辺は5 cmです。柱の高さは6 cmです。この三角柱の表面積をcm²で、体積をcm³で求めます。

図2のように、底面の三角形の面積と周の長さを別々に計算します。3 cmと4 cmは直角をはさむので、どちらを三角形の底辺にしても、もう一方をその高さにできます。5 cmは周の長さには使いますが、三角形の高さとしては使いません。

底面1枚の面積は次のとおりです。

3 × 4 ÷ 2 = 6 cm²

底面は2枚なので、合わせて6 × 2 = 12 cm²です。続いて底面の周の長さを求めます。

3 + 4 + 5 = 12 cm

側面3枚を並べると、横12 cm、縦6 cmの長方形です。側面積は12 × 6 = 72 cm²となります。側面には3 × 6、4 × 6、5 × 6の長方形があり、その和も18 + 24 + 30 = 72 cm²です。2通りの数え方が同じ面を表していることを確かめます。

表面積は底面と側面を合わせて、12 + 72 = 84 cm²です。図2のように底面2枚と側面3枚を数え終えたか確かめれば、72 cm²で止まる間違いに気づけます。

体積は底面積に柱の高さを掛け、6 × 6 = 36 cm³です。最初の6は底面の面積、次の6は柱の高さで、同じ数字でも意味が異なります。底面積6 cm²の層を高さ6 cm分積み重ねた量が36 cm³です。

答えを条件へ戻すと、体積36 cm³を高さ6 cmで割った底面積は6 cm²です。この面積は、直角をはさむ辺3 cmと4 cmから得た面積と一致します。表面積についても84 cm²から側面積72 cm²を引くと12 cm²が残り、三角形2枚分に一致します。

少し難しい例題：円柱の高さを逆算する

半径3 cmの円を底面とする円柱があります。体積は90π cm³です。柱の高さをcmで、表面積をcm²で求めます。円周率はπのまま答えます。

高さを出す前に、半径から底面積を求めます。3 × 3 × π = 9π cm²です。体積は底面積に高さを掛けたものなので、高さは90π ÷ 9π = 10 cmとなります。ここで割るのは円周ではなく底面積です。体積を同じ広さの層に分けて、何cmの高さになるかを考えます。

表面積には底面と側面が必要です。円の底面2枚は9π × 2 = 18π cm²です。底面の円周は2 × π × 3 = 6π cm、側面積は6π × 10 = 60π cm²です。したがって表面積は18π + 60π = 78π cm²です。

求めた高さ10 cmを元の体積に戻すと、9π × 10 = 90π cm³で条件に合います。また78π cm²から底面2枚の18π cm²を引くと60π cm²です。これは円周6π cmと高さ10 cmを掛けた側面積に合います。高さを求めた段階で終えず、求める量が表面積までなのか問題文を読み直します。

側面だけで終えた答えを直す

基本例題の三角柱で「12 × 6 = 72 cm²だから表面積は72 cm²」と答えたとします。12 cmは底面の周、6 cmは柱の高さなので、この積は側面積として正しい値です。間違いの原因は掛け算ではなく、側面を数え終えた時点で立体の表面全体を数えたと思ったことにあります。

図3のように側面の帯に三角形2枚を添えてみます。1枚の面積は3 × 4 ÷ 2 = 6 cm²なので、72 + 6 + 6 = 84 cm²と修正します。底面を1枚しか足さない場合も、向かい合う2面が残っていないかを見直します。

逆に、三角形の3辺を使って側面積を計算した後、長方形の側面をもう一度足すと重複します。図3では帯の中に3枚の長方形が含まれています。面ごとの式に印をつけ、同じ面を2回数えていないか調べます。

体積でも、底面の周に高さを掛けると側面積になってしまいます。底面が三角形なら、まず直角に交わる底辺と高さから面積を求めます。単位がcm²で止まっていれば、cm³を求める途中であることにも気づけます。ただし単位を付け替えるだけでは直りません。何を掛けたかまで戻ることが必要です。

図にない面も式で追う

立体の絵では、奥にある面が隠れて見えないことがあります。見える面だけを足すと、立体を回したときに現れる底面や側面が抜けます。底面を1組決めたら、その周の各辺に側面がつながると考え、見えない辺にも印を付けて数えます。円柱なら曲がった側面を1枚の長方形として開きます。

側面を展開した横の長さを求めるとき、三角形の面積を使うと単位から異なります。周は辺の長さをたどった合計でcm、面積は三角形の内部の広さでcm²です。側面の帯を横に一周させるのに必要な長さは周であり、体積の積み重ねのもとになる広さは面積です。

また、逆算する問題では、与えられた面積が表面積なのか側面積なのかを確かめます。側面積なら底面の周で割れますが、表面積をそのまま周で割っても高さにはなりません。底面積がわかるなら先に底面2枚を引き、残った側面積を使います。引いた結果が負になるなら、与えられた値や読み取った半径を見直します。

底面の形が長方形の柱では、向かい合う別の面を底面に選ぶこともできます。その場合は、選んだ2面の間の距離を高さとして組にします。元の底面積と元の高さを途中で別の組と混ぜると、体積の式は正しい形でも違う量を掛けることになります。

単位が異なる長さが与えられた場合は、計算前に同じ単位にそろえます。たとえば高さがmで底面の辺がcmなら、高さもcmに直してから掛けます。最後に面積には平方、体積には立方の単位を付け、求めるものと照合します。

練習問題

それぞれ途中の面積や長さも書き、答えを指定された単位で表します。円周率を含む答えはπのままとします。

1. 底面が縦2 cm、横5 cmの長方形で、柱の高さが7 cmの四角柱があります。表面積をcm²、体積をcm³で求めます。
2. 底面の半径が2 cm、柱の高さが5 cmの円柱があります。表面積をcm²、体積をcm³で求めます。
3. 底面が直角三角形の三角柱があります。直角をはさむ辺は6 cmと8 cm、残る辺は10 cm、柱の高さは4 cmです。表面積をcm²、体積をcm³で求めます。
4. 底面の半径が4 cmの円柱の側面積は48π cm²です。柱の高さをcmで、体積をcm³で求めます。

練習の答えと解き方

1. 答えは表面積118 cm²、体積70 cm³です。底面積は2 × 5 = 10 cm²、底面の周は2 + 5 + 2 + 5 = 14 cmです。側面積は14 × 7 = 98 cm²なので、表面積は10 × 2 + 98 = 118 cm²です。体積は10 × 7 = 70 cm³です。118から底面2枚の20を引くと98になり、70を高さ7で割ると底面積10に戻ります。

2. 答えは表面積28π cm²、体積20π cm³です。底面積は2 × 2 × π = 4π cm²、円周は2 × π × 2 = 4π cmです。側面積は4π × 5 = 20π cm²、底面2枚を加えると8π + 20π = 28π cm²です。体積は4π × 5 = 20π cm³です。面積と体積が同じ数の形でも単位と意味は異なります。体積を高さ5で割ると底面積4πに戻り、表面積から底面2枚を引くと円周と高さの積20πになります。

3. 答えは表面積144 cm²、体積96 cm³です。底面積は6 × 8 ÷ 2 = 24 cm²、周は6 + 8 + 10 = 24 cmです。側面積は24 × 4 = 96 cm²、表面積は24 × 2 + 96 = 144 cm²です。体積は24 × 4 = 96 cm³です。144から底面2枚分の48を引くと、側面の3枚分に当たる96です。96 cm³を高さ4 cmで割った24 cm²も、与えられた直角三角形の面積と一致します。

4. 答えは高さ6 cm、体積96π cm³です。底面の円周は2 × π × 4 = 8π cmです。側面積を円周で割り、48π ÷ 8π = 6 cmと求めます。底面積は4 × 4 × π = 16π cm²なので、体積は16π × 6 = 96π cm³です。高さ6 cmを側面に戻すと8π × 6 = 48π cm²となり、与えられた側面積に合います。体積を6で割ると、半径4 cmの底面積16π cm²にも戻ります。

覚えておくこと

底面は平行で合同な2面、柱の高さはその間の距離です。
表面積は底面2枚と側面の面積の和です。
側面積は底面の周の長さ × 柱の高さです。
体積は底面積 × 柱の高さです。
面積と体積の単位を区別します。

つまずきを見分けるには

お子さまが途中で止まったときは、公式を覚えているかだけでなく、図のどの面を底面に選んだかを指さしてもらいます。三角形の高さと柱の高さを取り違えた場合は、それぞれが垂直になる相手を言葉にしてみます。側面積までは正しい場合は、計算を最初からやり直す前に、残った面があるかを模型や展開図で探します。

個別指導では、答えが合った場合にも、底面2枚と側面を式のどの部分で数えたか説明してもらいます。体積では求めた値を高さで割って底面積へ戻し、元の条件に合うかを本人が判断します。面の役割を追えば、柱体の量は式と図の両方から確かめられます。