高校地学 重力異常と地下の密度—補正後の差から構造を推論する限界を知る｜武蔵野個別指導塾

高さと地形の補正を手掛かりに、密度の推定の限界まで考える重力差です。

よくあるのは、高校生が山の上と平地の重力の観測値を比べ、値の小さい山の地下は必ず低密度だと決める場面です。山頂は基準面から高く、周囲には岩石の質量があります。観測値には地下の違いに加えて、こうした条件の違いも重なります。どの影響を基準から取り除いた差なのかを確認すると、数字が示すものと示さないものを分けられます。

何を比較する問題か

重力は、地球からの引力と自転に伴う遠心力を合わせて考える量です。重力計が示す値は場所によって変わりますが、その違いの原因を最初から地下の岩石に限定することはできません。緯度や高さ、周囲の地形、地下の密度分布などが関係します。

設問の型には、観測値と基準値に補正を加えて異常を計算するもの、補正後の分布から密度構造の候補を述べるもの、仮定した密度や観測誤差を変えたときに結論が保たれるか調べるものがあります。どの型でも、観測した値そのものと、基準を引いて補正した値を区別します。

正の異常は「重力が異常に強い場所」という絶対評価ではありません。指定された基準と補正の下で、差が正という意味です。比較する地点の基準や補正の定義が異なる場合、異常値の大小をそのまま地下の違いに結び付けることはできません。記号の符号と単位を答案に残すことが、推論の出発点です。

高さと質量を分ける

基準重力には、地球の形や自転を取り入れた標準的な地球モデルで計算する正規重力を用いることがあります。緯度に応じて基準も変わるため、異なる緯度の観測値を比較するときは各地点に対応する基準を引きます。以下では、観測値を g、基準値を γ と書きます。差 g − γ が正でも、そのまま地下の高密度を意味するとは限りません。

高度が高くなると、他の条件をそろえた標準モデルでは一般に基準面から離れるため重力は小さくなります。そこで正の標高 h に対し、観測値に正の高度補正 F を加えます。この操作では、測点と基準面の間の岩石の引力は考慮しません。g − γ + F をフリーエア異常と呼びます。図1のように、基準からの差にまず高さの効果を加える流れです。

図1の次の段階では、基準面と測点の間を仮定した密度の岩石で満たした平板の引力を考えます。正の標高の平板は測点を下向きに引くので、その効果をフリーエア異常から差し引きます。差し引く量を正の B とすれば、平板近似のブーゲー異常は g − γ + F − B です。B は仮定密度と厚さに依存します。実際の地形は平板ではないため、必要に応じて周囲の起伏に対する地形補正などを加えます。補正の符号や含まれる項は資料の定義に従います。

フリーエア補正の「空気」は、高さの間に岩石がないとみなす計算上の扱いです。山の岩石が実際にないという観測ではありません。ブーゲー補正も地面を取り除く作業ではなく、仮定した地形の重力効果を数値から差し引く操作です。仮定密度を変えれば補正量が変わり、同じ観測値でも異常値は変化します。

地下の密度差は、周囲と比べて余分または不足する質量として重力に寄与します。ほかの条件を同じにした単純なモデルでは、測点の下の高密度部分は下向きの引力を増やし、低密度部分は減らします。ただし、遠い部分の寄与は位置や形に依存し、同じ質量差でも深さや広がりで観測される形は変わります。正負は基準モデルと補正の後で初めて判断します。

山には、地殻が厚く地下へ張り出した根が伴うことがあります。密度の小さい地殻が密度の大きいマントルの一部を置き換えるモデルでは、地下に質量不足が生じます。これは、地形の補正後に負の異常が現れる可能性を説明します。柱の質量が補償深度まで等しいアイソスタシーと関連しますが、柱の質量が等しいことから、測点での重力異常が必ずゼロになるとは言えません。重力は質量の深さや横方向の配置にも影響されるからです。

基本例題：補正の順序を追う

同じ緯度にある平地 P と山頂 Q を考えます。次の値は計算のために作った仮定値であり、実際の観測値でも補正定数でもありません。値の単位はすべて共通の重力単位 U とします。地形は仮定した平板と一致し、追加の地形補正は不要とします。P の g − γ は -2 U、Q の g − γ は -8 U です。P の F と B はともに 0 U、Q では F = 12 U、B = 7 U です。各地点のフリーエア異常とブーゲー異常を整数で求め、Q と P のブーゲー異常の差を Q − P の順に答えてください。整数値はこのモデルでは正確な値として扱います。

図2のように、同じ山頂でも高さの効果を加え、平板の効果を引くと、差は段階ごとに変わります。まずフリーエア異常 A とブーゲー異常 C の定義を使います。

A = g - γ + F
C = A - B
P の A = -2 + 0 = -2 U
P の C = -2 - 0 = -2 U
Q の A = -8 + 12 = 4 U
Q の C = 4 - 7 = -3 U
Q - P = -3 - (-2) = -1 U

Q の観測値と基準値の差は負ですが、高度補正後のフリーエア異常は正です。さらに平板の効果を引くとブーゲー異常は負になります。Q のブーゲー異常は P より 1 U 小さいという結論は、指定した補正と基準に対する結論です。これだけで Q の地下の密度や根の厚さが決まるわけではありません。

逆向きに確かめます。Q の -3 U に引いた B の 7 U を戻すと 4 U、そこから加えた F の 12 U を引くと -8 U になり、初めの観測値と基準値の差に戻ります。P も -2 U から同様に -2 U へ戻ります。符号を逆にした補正で元の条件が再現されるかを確認すると、計算の途中で引き算を足し算にした間違いを見つけられます。

この例で F と B を先にまとめる別の方法もあります。Q の補正の合計は 12 − 7 = 5 U ですから、-8 + 5 = -3 U です。ただし、合計だけを覚えると、地形の補正を考慮しているか判別しにくくなります。問題文の各項の物理的な意味を先に確かめてからまとめます。

異常の変化とモデルの選び方

次の自作資料では、同じ基準と同じ手順で得たブーゲー異常を、水平距離 x に沿って比較します。値は計算上の仮定で、実測ではありません。x = 0 km で -6 U、x = 4 km で -2 U、x = 8 km で 2 U とします。各区間を直線で結ぶモデルとして、傾きを整数の U/km で求めてください。異常の増加を地下構造に結び付ける際の条件も述べます。

傾きは縦軸の変化量を横軸の変化量で割ります。左の区間は、異常が -6 U から -2 U へ 4 U 増え、距離は 4 km 増えます。傾きは 4 U ÷ 4 km = 1 U/km です。右の区間も 4 U ÷ 4 km = 1 U/km です。逆にこの傾きを 4 km に掛けると各区間で 4 U 増え、出発値 -6 U から -2 U、さらに 2 U に戻ります。

別解では端点を使います。全体で 8 U 増え、距離は 8 km ですから傾きは 1 U/km です。ただし、端点から求めた値は全区間の平均です。途中の点が直線上にあると確認できなければ、どの区間も同じ傾きと結論できません。距離と異常の軸を入れ替えれば傾きの単位も変わるので、先に軸を記します。

同じ補正条件で、測定誤差に比べて増加が十分に大きく、ほかの影響が適切に考慮されたとき、右側に向かう質量分布の違いを候補にできます。しかし、増加だけから境界の深さや岩石名を一意には求められません。低密度部分が薄くなるモデルや、高密度部分が増えるモデルなど、異なる構造が似た傾向を作り得ます。独立した地震波の情報や地表の岩石の調査と照合して候補を絞ります。

観測を設計するなら、同じ測線に沿い、地形や変化の予想される幅を考えて測点を配置します。離れた点だけでは、間の局所的な変化を見落とすことがあります。基準となる地点を繰り返し測り、測定時刻の変化や器械のずれを点検します。標高の誤差は高度補正にも地形の質量の補正にも伝わり、仮定密度の誤りは地形に似た見かけの異常を残すことがあります。

測点の高さが欠けている場合は、勝手な高さを入れて異常値を完成させません。位置と標高を確かめ、適切な補正が可能になるまで、その地点の地下の解釈を保留します。器械の読みが途中で飛んだ場合も、直ちに地下の境界とみなさず、再測定と基準点との比較で測定上の変化を調べます。仮定密度を変えると山に沿う異常が大きく変わる場合は、地下の根だけを原因とする結論を弱め、密度の仮定と地形の資料を見直します。

誤答を直す：負号と補正条件

「山頂の g − γ が -8 U なので、ブーゲー異常も -8 U であり、地下は必ず低密度です」という答えを考えます。図3の左には観測値と基準値の差、右には指定した補正後の差を示します。両者は同じ量ではありません。

図3のように、高度補正で 12 U を加え、平板の効果として 7 U を引けば、山頂のブーゲー異常は -3 U です。最初の誤りは補正を飛ばしたことです。次の誤りは、補正後の負号を、地下の密度があらゆる基準より小さいという断定に読み替えたことです。より適切には「指定された基準と補正では負の異常であり、周囲との比較や別の資料を使って低密度構造の可能性を検討する」と書きます。

別の誤りとして、平板の引力が下向きだから補正時にも足す、というものがあります。観測値にはその引力の効果が含まれています。平板の効果を取り除くには、その寄与を引く必要があります。計算を戻すときには逆に足すため、計算方向と逆算方向を混同しないことも必要です。

地形補正を省く条件がないのに平板だけを引いた場合は、答案の数字がたまたま合っても手順を見直します。実際の谷や山の起伏による寄与を、単純な平板で十分に表せるとは限らないからです。補正の範囲が不明な資料を比較するときは、同じ定義か調べてから差を解釈します。

手を動かして確かめる

次の数値はすべて設問のために作った正確な仮定値です。U は共通の重力単位で、実際の観測値や補正定数を表しません。異常は同じ基準と補正手順によります。計算結果は指定の形で答えてください。

1. ある測点で g − γ = -11 U、高度補正 F = 15 U、差し引く平板の効果 B = 9 U です。追加の地形補正は不要とします。フリーエア異常とブーゲー異常を整数で求め、後者から元の g − γ を再現してください。
2. 測点 R と S のブーゲー異常はそれぞれ 3 U、-4 U です。S − R を整数で求め、どちらが基準に対して小さいか述べてください。負の異常の意味も基準を明示して説明してください。
3. 一定の仮定密度で計算した平板の効果 B が、ある範囲で標高 h に比例するとします。h = 3 km で B = 6 U なら、同じモデルの h = 5 km での B を整数の U で求めてください。求めた値から比例の関係を元に戻して確かめてください。
4. 自作の測線資料で、距離 2 km の異常が -5 U、距離 8 km の異常が 7 U です。2点を結ぶ直線の傾きを整数の U/km で求め、距離 5 km でのモデル値も整数の U で求めてください。2つの端点を再現し、直線の仮定が現実に保証されるか述べてください。
5. 山に沿って負のブーゲー異常が分布する資料を受け取りました。仮定密度を変えると負の範囲と大きさが大きく変わり、測点の標高にも不確かさがあります。この資料から山の根の存在を断定してよいか、理由と次に調べることを記述してください。

解答と確かめ方

1. フリーエア異常は -11 + 15 = 4 U、ブーゲー異常は 4 − 9 = -5 U です。-5 + 9 − 15 = -11 U と戻り、与えられた差を再現します。平板の効果は正の量として与えられているため、異常を出すときには引きます。

2. S − R = -4 − 3 = -7 U です。S は R より 7 U 小さく、S の負の値は指定された基準と補正の下で差が負という意味です。R に -7 U を加えると -4 U となり、S の値に戻ります。この値から S の地下の密度を単独で決めることはできません。

3. 比例係数は 6 U ÷ 3 km = 2 U/km です。したがって B = 2 U/km ・ 5 km = 10 U です。逆に 10 U ÷ 5 km = 2 U/km であり、この係数に 3 km を掛けると元の 6 U に戻ります。実際の係数を求めたわけではなく、平板と密度を固定した設問内の関係です。

4. 傾きは (7 − (-5)) U ÷ (8 − 2) km = 2 U/km です。5 km は 2 km から 3 km 右ですから、異常は -5 + 2・3 = 1 U です。5 km の値から左へ 3 km 戻すと -5 U、右へ 3 km 進むと 7 U となり、両端を再現します。実際の途中の値は測定されていないため、直線になる保証はありません。

5. 断定はできません。負の異常は指定された補正後の差を示しますが、仮定密度を変えたときに結果が大きく動くなら、地形の質量の扱いが解釈に強く影響しています。標高の誤差も補正に伝わります。標高と地形の資料、岩石の密度を再点検し、異なる密度の仮定で結果の変化を比べます。そのうえで地震波など独立した情報と照合し、根を含む複数の候補を評価します。

要点を残す

基準を引き、高度補正を加え、仮定した平板の効果を引きます。 起伏の補正や密度の仮定を明示して異常を比較します。 異常の符号だけでは地下の密度や形を一意に決められません。 山の根と質量補償は候補の説明であり、別の資料との照合が必要です。

答案のどこで止まったか

個別に答案を確認するときは、まず g − γ と補正後の値を別の行に書けているか見ます。数値が合わない場合は、高度補正を加えた後に平板の効果を引き、逆算で元の差に戻せるかを確かめます。単位が消えていれば、観測値と補正量が同じ単位かを調べます。

記述で「負だから低密度」とだけ書いている場合は、どの基準との差か、地形の補正にどの密度を仮定したかを問い直します。グラフでは横軸と縦軸、傾きの単位、観測点の間を直線で結ぶ条件を確認します。観測が欠けた場所や誤差の大きな場所を見つけたら、追加の測定で何を確かめるかまで言葉にします。補正の条件を明かした差が、地下を考える手掛かりになります。