高校地学 重力の緯度変化—引力と自転の効果を分けて向きを確かめる｜武蔵野個別指導塾

自転軸から離れる遠心力の向きを描き、球モデルの計算で赤道と極の重力差を比較します。

よくあるのは、高校生が地球の断面に遠心力の矢印を描くとき、どの緯度でも地表から鉛直上向きに伸ばしてしまう場面です。赤道ではその向きで合いますが、途中の緯度では自転軸から離れる向きを先に決める必要があります。引力と遠心力を別々に描き、最後に合成すれば、極と赤道で重力が違う理由も順序立てて説明できます。

比較するときに問われること

問題の出方は大きく3つあります。地球の断面上で引力、遠心力、重力の向きを描く問題、球形または単純な楕円体のモデルで赤道と極の大きさを比べる問題、測定値の緯度変化からどこまで推論できるかを説明する問題です。いずれも、図の中心、回転の軸、観測点を先に記し、何を一定とした比較なのかを確認します。

地球が物体を引く力を万有引力といい、自転する地球に固定された立場で考えるときには遠心力を加えます。重力はここではその2つの力の合力です。物体の質量で割った重力加速度は、力と同じ向きです。単位質量当たりの値を比べれば、異なる質量の物体を使っても結果の比は変わりません。引力そのものと、遠心力を加えた重力を同じ語として使わないことが出発点です。

実際の地球には形や地下の密度分布などの複雑さがあります。以下の計算は、問題ごとに条件を定めたモデルの比較であり、現実の測定値を示すものではありません。重力異常の補正や地下構造の詳細には立ち入りません。

軸からの距離が決める向き

図1のように、遠心力は自転軸に垂直で、軸から外へ向かいます。北半球の中緯度では、中心から地表へ向かう半径の延長とも、表面の法線とも一般には一致しません。南半球でも軸から離れるという規則は同じです。軸にある極では軸からの距離がゼロなので、遠心力もゼロです。

図1は形と向きを示す模式図で、矢印の長さを実際の比率にしていません。中心へ向かう引力は、質量が球対称に分布するモデルでの向きです。一般の扁平な地球では質量分布が引力の向きと大きさに影響するため、中心向きと決めて精密な値を求めることはできません。

角速度をω、軸からの距離をs、物体の質量をmとすると、遠心力の大きさはm・ω²・sです。地球とともに回転する座標で力のつり合いを考えるために導入する見かけの力です。実際に地球が外向きに物体を引く別の相互作用がある、という意味ではありません。自転の角速度が同じでもsが違えば遠心力は違います。

半径Rの球で、赤道から測った緯度をφとすると、軸からの距離はR・cosφです。赤道ではsがR、極ではゼロです。中間では遠心力を半径方向とそれに直角な方向に分けると、外向き成分はm・ω²・R・cos²φになります。残る成分は球面に沿って赤道側を向きます。したがって合力の向きは一般に中心から少しずれます。図に矢印を描くとき、力をいきなり大きさだけで足し引きしてはいけません。

球対称の質量Mがつくる地表の引力の大きさはG・M・m/R²です。Gは万有引力定数です。球モデルでは引力の大きさは緯度によらず、遠心力の効果は赤道で最大、極でゼロです。回転が十分遅く赤道で引力の方が大きい条件なら、赤道の重力加速度はG・M/R² − ω²・R、極はG・M/R²です。極では引力と重力が等しく、赤道では外向きの遠心力が引力を減らします。

地球は完全な球ではなく、赤道方向にふくらんだ形に近いと考えられます。極の地表が中心に近いことは、球対称の引力を距離の2乗に反比例させる単純な近似では極の引力を大きくする向きに働きます。ただし扁平な質量分布そのものも引力に影響します。距離の差だけを使った式は、形の効果を直感的に比べる模型であり、実地球の精密計算ではありません。自転の効果と形の効果を分けた上で、現実の測定では両方が重なると考えます。

基本例題：赤道と極を球で比べる

半径Rの球対称な地球モデルを一定の角速度で回転させます。極と赤道で引力による加速度の大きさはいずれも仮に12単位、赤道の遠心加速度は仮に3単位とします。極の遠心加速度はゼロです。赤道では引力が遠心力より大きいものとし、重力加速度の大きさをそれぞれ整数で、比を最も簡単な整数比で求めてください。単位は両地点で共通の仮定の単位です。

図2のように、極では自転軸までの距離がなく、赤道では外向きと中心向きが一直線上で逆向きです。したがってこの2地点では大きさの引き算が使えます。

極の重力加速度 = 12 - 0
= 12単位
赤道の重力加速度 = 12 - 3
= 9単位
極 : 赤道 = 12 : 9
= 4 : 3

図2に戻して、赤道の重力9単位と外向きの遠心加速度3単位を合わせると引力12単位に戻ります。極も12単位と遠心加速度ゼロから条件を再現できます。比を逆に書くと、赤道を基準に極がどれほど大きいかという問いに答えられません。比の順序も答えに添えます。

このモデルの数は計算を見通すための条件で、実際の重力値ではありません。また、中緯度では遠心加速度が引力と一直線でないため、同じ引き算をそのまま適用できません。角度を含めて成分に分けてから合成します。

標準・発展：半径差と自転を分ける

次は、形の違いと自転の効果を別々に追います。仮に中心からの距離を赤道で3L、極で2Lとし、各地点の引力加速度の大きさは距離の2乗に反比例するとします。赤道の引力加速度を8単位、赤道の遠心加速度を2単位とし、極の遠心加速度をゼロとします。引力は各地点で中心向き、赤道では両者が反対向きとします。重力加速度の大きさを整数または分数で、極と赤道の比を簡単な整数比で求めてください。Lと加速度の単位はこの模型で共通です。

距離が変わると引力は距離そのものではなく、その2乗の逆比で変化します。赤道から極への倍率は(3L/2L)² = 9/4です。極の引力加速度は8・9/4 = 18単位です。極の重力は18単位、赤道は8 − 2 = 6単位なので、極 : 赤道 = 3 : 1です。答えを条件に戻すと、18・(2/3)² = 8となり赤道の引力が再現されます。赤道では6 + 2 = 8、極では18 + 0 = 18です。

別解では距離の2乗と引力加速度の積が一定であることを使います。赤道の8・(3L)²と、未知数xを用いた極のx・(2L)²を等しく置けば、9・8 = 4・xからx = 18です。比を先に扱う方法と、一定となる積を置く方法のどちらでも、物理的な条件は同じです。重力をそのまま距離の2乗に反比例させると遠心力を二重に扱ったり、無視したりするので、最初に引力に対する式として書きます。

この仮定は形の効果の練習として強く単純化しています。実際の扁平な地球全体を球対称な質量分布とみなして両地点へそのまま式を当てた精密モデルではありません。また、比だけで地点を比較できても、絶対値が与えられなければ加速度の単位付きの値は決まりません。条件の不足を数値で補わないことも答案の一部です。

矢印の誤りを直す

図3の左のように、中緯度の遠心力を半径の延長上に描く誤答があります。赤道で見た向きをそのまま持ち込んだことが原因です。図3の右では、観測点から自転軸へ垂線を下ろし、その垂線上で軸から離れる向きに矢印を直しています。引力は球対称モデルとして中心に向け、その後に平行四辺形で合力を求めます。

引力と遠心力の大きさを足して重力とする誤答もあります。赤道では向きが逆なので、引力が大きい条件では引き算です。極に赤道と同じ遠心力を加える誤答は、軸からの距離を地球中心からの距離と取り違えています。極も中心から離れていますが、自転軸上にあるため軸からの距離はゼロです。

中緯度で引力の大きさから遠心力の大きさを丸ごと引く解答も修正が必要です。2つは反平行ではないので、その差は合力の大きさと一致しません。半径方向と接線方向の成分を求めるか、ベクトルの図で合成します。地表に垂直な向きと重力の向きも、球面を仮定した図では必ずしも同じではありません。実際の鉛直は重力の向きで定義されるので、どの面への垂直を指すのか明記します。

観測の設計と読み取り

緯度と重力の関係を調べるなら、地点の緯度を横軸、測定した重力加速度を縦軸に置きます。北半球と南半球を符号付きで並べるか、赤道からの緯度の絶対値を使うかを軸に書きます。後者では同じ絶対値の南北の地点が同じ横座標に集まります。点の並びから傾向を読むとき、傾きは緯度の変化に対する重力加速度の変化であり、それ自体が重力加速度ではありません。

比較のためには測定器を同じ方法で校正し、地点の高さ、周囲の地形、地下の密度分布などの違いを記録します。繰り返し測定してばらつきを見れば、測定の偶然のずれを評価できます。一方、校正のずれのように同じ方向へ偏る誤差は、繰り返すだけでは消えません。測定条件をそろえた比較と、現実の地点の差をそのまま比較する作業を区別します。

緯度の異なる2地点で値が違っても、それだけで自転による差と地下構造による差の大きさを個別に決めることはできません。同じモデルと補正条件で比較し、残る差が測定誤差より大きいかを調べる必要があります。点が傾向から外れたときは、即座に地下に高密度の物質があると断定せず、測定や位置、高さの記録も点検します。

練習：条件と向きから考える

次の数値と資料はすべて練習用の仮定です。加速度の単位は各問で共通とします。計算は整数または最も簡単な整数比で答え、記述は理由を含めてください。

1. 球対称の回転モデルで、引力加速度は両地点とも15単位、赤道の遠心加速度は4単位、極ではゼロです。赤道と極の重力加速度を求め、赤道 : 極を答えてください。赤道の引力は遠心力より大きいものとします。
2. 引力加速度が距離の2乗に反比例する模型で、地点Aの中心距離は2L、地点Bは4L、Aの引力加速度は20単位です。Bの引力加速度を求めてください。自転の影響は考えません。
3. 球形の自転モデルで、北半球の中緯度にある点の遠心力は、中心から外向き、軸に沿う向き、軸から垂直に離れる向きのどれですか。極での大きさと合わせて理由を説明してください。
4. 自作資料では、同じ球形モデルの赤道、北の中緯度、北極の順に軸からの距離が大きい、途中、ゼロと記されています。角速度が共通なら遠心加速度はどう並びますか。また、この情報だけで各地点の重力の大きさを数値として求められますか。
5. 2地点の観測で、緯度が高い地点の重力加速度が大きく測定されました。高さや地形、測定器の校正は調べていません。この差をすべて自転だけの効果と結論できるか、理由と次に確かめる条件を述べてください。

答えと考え方

1. 赤道は15 − 4 = 11単位、極は15 − 0 = 15単位、比は11 : 15です。赤道の11に4を戻すと引力の15になり、極でも15とゼロから条件を再現します。大小関係も赤道の方が小さいことと一致します。
2. Bの距離はAの2倍なので、引力加速度は(1/2)²倍です。20・1/4 = 5単位です。5・(4/2)² = 20としてAの条件に戻ります。距離が2倍だから半分とするのは、2乗を落とした誤りです。
3. 軸から垂直に離れる向きです。遠心力は軸からの距離に比例し、極は軸上なのでゼロです。中緯度ではその矢印は中心からの半径の延長とは異なります。図に軸と垂線を描き直すと向きを確かめられます。
4. 遠心加速度は赤道、中緯度、極の順に大きく、極はゼロです。角速度が同じならω²・sが距離sとともに増えるためです。重力の数値には引力の大きさと方向、回転の角速度などが必要なので、この資料だけでは決まりません。逆に遠心加速度を軸距離に比例するものとして元の大小関係へ戻せます。
5. 結論できません。自転の効果に加え、高さ、周囲の地形や地下の密度分布、測定の偏りが差に影響しうるためです。校正や高さを確かめ、同じ基準と補正条件で比較します。2点の差から複数の原因の寄与を一意に分けることはできません。

手元に残す要点

• 遠心力は自転軸から垂直に外向きで、極ではゼロです。
• 重力は引力と遠心力の合力で、中緯度では向きも合成します。
• 赤道と極の比較では、自転と形による引力の違いを分けます。
• 数値計算にはモデルの条件が必要で、測定値の差には他の要因も含まれます。

答案のどこで迷っているか

遠心力の矢印が中心から外を向いていたら、まず自転軸から観測点までの最短距離を図に描きます。極に矢印が残る場合は、その距離がゼロになることを確認します。式が合っていても、引力と重力の記号が混ざれば、どの段階で遠心力を加えたのかたどれません。各項に向きと単位を書き、答えを元の条件に戻します。

個別に確認するときは、赤道の一直線上の計算から中緯度の作図へ進み、同じ引き算が使えるか理由を尋ねます。半径差の問題では、距離の比を先に書き、その2乗の逆比を引力に適用できるかを見ます。仮定が足りない資料では、求められない量と追加したい条件を言葉にできれば、計算と観測の境界が明確になります。軸を描き、力の向きを確かめることから、緯度による重力の違いが見えてきます。