高校地学 地磁気の三要素—偏角と伏角と全磁力を向きと大きさで区別する｜武蔵野個別指導塾

偏角を測る水平面と伏角を測る鉛直面を描き分け、水平・鉛直の分力から全磁力と方向を求めます。

よくあるのは、高校生が偏角と伏角を同じ平面に描き、どちらも北から測る角だと考える場面です。方位磁針が指す方向と、磁場が地面に向かって傾く方向は、どちらも磁場に関係します。しかし、角度を測る面と基準の線が違います。まず磁場を水平面に写し、その後に鉛直方向の成分を戻すと、2つの角の役割を分けられます。

問題に現れる3つの見方

地磁気は、ある場所における磁場の向きと強さを合わせて表します。問題では、真北と磁北の位置関係から偏角を読む型、水平分力と鉛直分力から伏角や全磁力を求める型、観測表から向きの変化を比較する型が考えられます。いずれも、角度の基準と正の向きが問題文にどう定められているかを先に読みます。

磁場は大きさだけでなく向きも持つ量です。ここでは磁場のベクトルを F（ベクトル）と呼び、その大きさを F と表します。ベクトルの矢印を斜めに描くだけでは、水平面内の方位と上下の傾きが混ざってしまいます。水平面への投影を H（ベクトル）、その大きさを H とし、鉛直下向きを正とする成分を Z とします。H は長さなので負にはなりませんが、Z は上向きなら負です。

計算問題では三角比と直角三角形を使います。大きさと符号を同時に扱うためには、数を式に入れる前に、矢印がどちら向きかを図に示すことが役立ちます。以下の数値は問題のための仮定であり、特定の地域の観測値ではありません。

水平面と鉛直面を分ける

真北は地理上の北を基準にした方位です。水平面における地磁気の向きを磁北と呼び、真北から磁北までの水平角を偏角 D とします。ここでは東向きに測る角を正、西向きを負と約束します。例えば D が負なら磁北は真北の西側です。別の資料で西偏を正の数と記す場合には、その資料の約束を優先し、東正の符号に直してから比較します。

伏角 I は、H の向きに沿う鉛直面で、水平から F（ベクトル）へ測る角です。下向きを正とします。図1のように、偏角は上から見た水平面の角、伏角は磁北方向を含む鉛直面の角です。角の頂点が同じ観測点でも、2つの角が置かれる面は違います。

図1の右側では、水平分力 H と鉛直分力 Z をつないで F が斜辺になります。F は全磁力と呼ばれる大きさで、磁場のベクトルそのものとは区別します。下向きの Z を正としたとき、三角比の定義から次の関係が得られます。

H = F・cos I
Z = F・sin I
F² = H² + Z²

最後の式は、水平と鉛直が直角であることによる三平方の定理です。Z が負でも二乗は正なので、この式だけから上下の向きは決まりません。H が正なら tan I = Z/H も使えます。分母が 0 のときはこの式を使えず、磁場が鉛直なら水平投影の向きも定まらないため、偏角は定義できません。磁場自体が 0 なら向きを定めることもできません。

水平成分をさらに真北方向と東方向に分ける場合、北向き成分を X、東向き成分を Y とします。東を正とする偏角の約束では X = H・cos D、Y = H・sin D です。北や東と反対向きの成分は負になります。単に逆正接の値を出すだけでは象限を取り違えることがあるため、X と Y の符号を先に調べます。磁北が真北より西側なら Y は負です。

基本例題：傾いた磁場を成分に戻す

ある地点の磁場について、全磁力を仮に 10 nT、伏角を下向き 30° とします。偏角は東向き 0° とします。nT は磁束密度の単位です。水平分力 H と鉛直分力 Z を、単位を付けて根号を含む形で求め、水平面での磁北の向きも答えてください。ここでは sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2 とします。

図2のように、全磁力が斜辺で、伏角は水平辺と斜辺の間の角です。鉛直成分は下向きなので正です。まず三角比を使い、次に値を代入します。

H = F・cos I
H = 10・(√3/2)
H = 5√3 nT
Z = F・sin I
Z = 10・(1/2)
Z = 5 nT

偏角が 0° なので水平投影は真北を向きます。H は全磁力より短く、Z は下向きで正という図の読みと答えが合います。逆に得られた成分から F² = (5√3)² + 5² = 100 と戻せるため、F = 10 nT を再現します。また Z/F = 1/2 で、指定された下向き 30° に対応します。成分を戻す確認は、単に計算式を再実行するよりも、元の図に答えが合うかを見直せます。

全磁力をそのまま水平分力とすると、鉛直成分があるにもかかわらず水平投影で長さが減らないことになります。H = F が成り立つのは伏角が 0° の場合です。水平成分は影のように磁場を水平面に投影した量だと考えると、傾きが増すにつれて短くなることを図から追えます。

標準と発展：符号を先に決める

仮の地点で、水平分力 H = 12 nT、鉛直下向きを正とする Z = -12 nT とします。全磁力を根号を含む形で、伏角を水平から上向きまたは下向きの角度で答えてください。角度は -90° から 90° の範囲で表し、tan 45° = 1 とします。

F² = H² + Z²
F² = 12² + (-12)²
F² = 288
F = 12√2 nT
Z/H = -1
I = -45°

伏角は上向き 45° です。負号は大きさが負という意味ではなく、定めた下向きと逆向きであることを示します。得られた伏角と全磁力を使うと、水平成分は 12√2・(√2/2) = 12 nT、鉛直成分は -12 nT に戻ります。別解として、水平と鉛直の長さが等しい直角二等辺三角形を描けば、斜辺は一辺の √2 倍、角度の大きさは 45° です。上か下かは Z の符号で決めます。

次に、別の仮の地点で北向き成分 X = -4 nT、東向き成分 Y = 4 nT、鉛直下向き成分 Z = 4√2 nT とします。偏角は真北から東回りを正とし、-180° より大きく 180° 以下の範囲で表します。H と F は根号を含む形、D と I は度で求めてください。sin 45° = cos 45° = √2/2 とします。

H² = X² + Y²
H = 4√2 nT
F² = H² + Z²
F = 8 nT

X が負、Y が正なので水平投影は南東向きです。真北から東回りに 135° であり、D = 135° です。Z と H が同じ正の値なので I = 45° です。逆に H・cos 135° = -4 nT、H・sin 135° = 4 nT、F・sin 45° = 4√2 nT と戻せます。Y/X = -1 という比だけから -45° とすると北西向きになり、両成分の符号に反します。比を求める前に象限を描くことが分かれ目です。

こうした計算は同じ地点、同じ時刻の成分を組にしたときに意味を持ちます。異なる時刻の水平分力と鉛直分力を組み合わせても、元の磁場の大きさとは限りません。また、1地点の向きから地球全体の磁場の形を一意に決めることもできません。

誤答を図に戻して直す

図3の左は、水平面内で真北から磁北に測る偏角です。右は、磁北方向を含む鉛直面で水平から測る伏角です。面を示さずに2つの角を同じ扇形として描くと、基準線が取り替わったことに気づきにくくなります。

誤答「伏角は真北から磁北までの角」。理由は、磁北という語から方位の図だけを思い浮かべたことです。修正すると「伏角は磁場の水平成分と磁場のなす鉛直面内の角」です。偏角は真北と水平成分の方向の間で測ります。

誤答「Z が負なので全磁力も負」。理由は、方向を表す符号と長さを混同したことです。Z は成分なので負になれますが、F はベクトルの大きさなので 0 以上です。F² = H² + Z² を使い、F は正の平方根として求めます。磁場が 0 の場合は F = 0 です。

誤答「H = 0 なら偏角も 0°」。水平投影の長さが 0 では向きを定められず、真北との角を測る線がありません。0° は真北向きの水平成分があることを表す値で、未定義とは違います。資料の欠測も 0 と同一視できません。値が読めないときは欠測として扱い、勝手に代入せず、他の成分だけから結論できる範囲を示します。

観測とグラフの読み方

測定の設計では、地理上の北と水平を定めたうえで、磁場の各成分を同じ地点と時刻で記録します。器具の向きのずれ、水平のずれ、近くの磁性体や電流の影響は読みを変えます。学校の指導の下で器具を用いる場合も、測定前後に基準を確認し、同じ条件で繰り返した値の散らばりを調べます。器具の読みが範囲外、故障、または基準方向が不明なら、その値を正常な測定値として扱わず再測定します。

同じ符号の約束で、横軸を時刻、縦軸を Z とするグラフを考えます。傾きは単位時間あたりの Z の変化です。傾きが正なら Z は増加していますが、それだけで全磁力 F が増えたとは限りません。例えば Z が負の範囲で 0 に近づくなら、Z の絶対値は減ります。H の変化も見て F² = H² + Z² で判断します。点と点の間を直線で結んでも、その間の細かな変化を観測したことにはなりません。

誤差があるとき、角度がわずかに異なることだけで磁場が変化したと断定できません。測定のばらつきや基準のずれと比較し、同じ器具・設置条件での反復や基準の点検を行います。逆に、複数回の測定が一致していても、共通の設置ずれがあれば正しいとは限りません。精密さと基準への正確さは別に考えます。

練習：5つの資料を読む

各問の数値は自作の仮定です。角度は東偏と下向きの伏角を正とし、磁場の大きさは nT で表します。根号を含む場合は近似せずに答えてください。

1. 全磁力 8 nT、伏角下向き 60° のとき、H と Z を求めてください。sin 60° = √3/2、cos 60° = 1/2 とします。
2. H = 7 nT、Z = -7√3 nT のとき、F と伏角を求めてください。伏角は上向きまたは下向きの角度で答え、tan 60° = √3 とします。
3. X = 3 nT、Y = -3 nT のとき、水平分力と偏角を求めてください。偏角は真北から東回りを正とし、-180° より大きく 180° 以下とします。
4. ある資料の時刻 A では H = 5 nT、Z = -12 nT、時刻 B では H = 12 nT、Z = -5 nT でした。両時刻の全磁力と、Z の変化だけで全磁力の増減を判定できるかを、根拠とともに答えてください。
5. 磁場は鉛直下向きで、全磁力は 9 nT です。H、Z、伏角、偏角を答え、偏角についてその理由を書いてください。

答えと解き方

1. H = 8・(1/2) = 4 nT、Z = 8・(√3/2) = 4√3 nT です。4² + (4√3)² = 64 から全磁力 8 nT に戻り、Z/H = √3 は下向き 60° と合います。
2. F² = 7² + (-7√3)² = 196 なので F = 14 nT です。Z/H = -√3 より伏角は上向き 60° です。14・(1/2) = 7、14・(-√3/2) = -7√3 と元の成分を再現します。
3. H = √(3² + (-3)²) = 3√2 nT です。北向き成分が正、東向き成分が負なので北西向きで、偏角は -45° です。3√2・(√2/2) = 3、3√2・(-√2/2) = -3 と成分に戻ります。
4. A の F は √(5² + (-12)²) = 13 nT、B の F は √(12² + (-5)²) = 13 nT です。Z は -12 から -5 へ増えましたが、全磁力は同じです。鉛直成分と水平成分の両方を使って判断します。各時刻の成分の二乗和はどちらも 169 nT² です。
5. H = 0 nT、Z = 9 nT、伏角は下向き 90° です。偏角は定義できません。水平投影が長さ 0 で、その方位が定まらないためです。成分から F = 9 nT が戻り、鉛直下向きという条件にも合います。

手元に残す要点

偏角は真北から水平分力までの水平角です。
伏角は水平から磁場までの鉛直面内の角です。
F² = H² + Z² で大きさを結び、Z の符号で上下を示します。
水平分力が 0 のとき、偏角は定義できません。

答案のどこでつまずいたか

角度を取り違えた答案では、まず水平面を上から見た図と、磁北方向の鉛直断面を別に描いてもらいます。真北、磁北、水平線、全磁力の矢印のどれを基準にしたかを説明できれば、角度の名称を暗記しただけの場合と区別できます。

計算の誤りは、式の代入前と後を分けて点検します。負号が消えた場所、単位が落ちた場所、平方根を取る際に大きさを負にした場所を探します。個別に確かめる際は、求めた成分を元の大きさと角度へ戻し、図の向きにも一致するかを言葉で示します。地磁気の向きは、角度の面と成分の符号をそろえると読み取れます。