高校地学 マグニチュードとエネルギー—規模の差を倍率として読み替える｜武蔵野個別指導塾

差2で約1,000倍という近似と逆数を用いる、地震波のエネルギー比較の焦点は倍率です。

よくあるのは、高校生が2つの地震のMを比べ、片方の数値がもう片方の2倍だから、エネルギーも2倍だと答える場面です。数値の比を取る計算自体はできますが、その操作が地震の規模にどんな意味を持つかが抜けています。Mの目盛りはエネルギーをそのまま並べたものではありません。まず差を取り、その差に対応する倍率へ読み替えると、何を比較しているかが見えてきます。

差を読む問題と、説明する問題

出方の1つは、同じ尺度で表した2つのMから、地震波として放出されるエネルギーの比を求める問題です。大きいMから小さいMを引き、与えられた近似関係を使います。答えは「大きい方が小さい方の何倍か」まで書くと、比の向きが明確です。逆向きの比なら、求めた倍率の逆数を取ります。

もう1つは、複数の地震のエネルギーの合計と、別の地震1回分を比べる問題です。1回分の比を求めた後、個数を掛けるか割るかを、同じ基準にそろえて判断します。Mの値を個数分足してもエネルギーの合計にはなりません。3つ目は、規模と地点の揺れを言葉で区別する資料読解です。Mが示す地震そのものの規模と、地点ごとの震度を取り違えると、計算が合っていても結論は出せません。

必要な準備は、累乗と比の向きです。例えば、ある量が1段階で3倍になるという条件なら、2段階では3を2回掛けます。これは説明のための一般的な例で、地震の倍率ではありません。同じ手順をMに使うときは、実際に与えられた近似値と、その精度を守ります。

対数の目盛りと近似倍率

マグニチュードは地震そのものの規模を表します。震度はある地点での揺れの強さを表し、同じ地震でも震源からの距離や地盤などによって地点ごとに異なります。Mだけを知っていても、特定地点の震度を1つに決めることはできません。規模の比が大きいという結論と、ある場所の揺れの強さの結論は分けて書きます。

気象庁の標準的な説明では、Mが1大きくなると地震波の形で放出されるエネルギーは約32倍、2大きくなると約1,000倍です。ここで比べるのは地震波のエネルギーであり、断層周辺で消費される分を含めたエネルギーの内訳を、この倍率だけで決めるわけではありません。どちらの数字も近似です。

図1のように、Mの差が1ずつ増える操作は、エネルギーの倍率を掛ける操作に対応します。Mは対数を用いる目盛りなので、同じ差は同じ倍率に対応します。基準のエネルギーをEとすると、差1の相手は約32・Eです。差を考える際、Mの値そのものを割る必要はありません。例えば同じ尺度でMが4から5へ変わる場合と、6から7へ変わる場合は、いずれも差1です。これらは仕組みを読むための数値で、実在の地震の記録ではありません。

差2を差1の2回として32・32と計算すれば1,024です。一方、差2の近似値は約1,000倍です。1,024を有効数字1桁に丸めれば1,000となりますが、丸めた32を2回使って得た値を厳密な倍率とみなしてはいけません。問題が差2について約1,000倍と指定すれば、その値を優先します。両者の違いは近似の段階によるもので、ただちにどちらかを誤答と決める根拠にはなりません。

この関係をグラフにするとき、横軸にM、縦軸にエネルギーを普通の等間隔目盛りで取れば、右へ進むにつれて増え方が急になります。縦軸を対数目盛りにすれば、同じ横幅の移動が同じ縦の差に対応します。傾きは、Mの差に対するエネルギーの対数の変化を表し、普通の縦軸でのエネルギーの増加量そのものではありません。軸の目盛りを読まずに、線が直線だからエネルギーもMに比例すると判断しないことが大切です。

Mには、波の振幅に基づくものや、断層のずれの規模から求めるモーメントマグニチュードなど、異なる尺度があります。資料を比べる前に、使った尺度と推定方法を確かめます。同一の地震について異なる方法で求めた値が異なる場合もあります。名前がどちらもMだからといって、異なる尺度の値を無条件に引き算し、近似倍率を精密な比とすることはできません。

基本例題：基準を決めてから割る

次は計算のための自作条件です。地震AとBのMは同じ尺度で、それぞれ5と7とします。Mの差2に対し、地震波のエネルギーは約1,000倍になるとします。BのエネルギーはAの何倍ですか。また、AのエネルギーはBの何倍ですか。いずれも問題で与えた近似値を使い、後者は分数で答えてください。

図2では、Aを基準にしてBを見る矢印と、その逆の矢印を分けています。Mの値を割るのではなく、まず差を求めます。Bの方が大きいので、BからAを引きます。

Mの差 = 7 - 5
Mの差 = 2
Bのエネルギー / Aのエネルギー ≒ 1,000

したがって、BはAの約1,000倍です。次は比較の向きが逆です。AのエネルギーをEとおけば、Bは約1,000・Eです。AをBで割ると次のようになります。

Aのエネルギー / Bのエネルギー ≒ E / (1,000・E)
Aのエネルギー / Bのエネルギー ≒ 1 / 1,000

AはBの約(1)/(1,000)倍です。Eは正の量なので約分できます。求めた分数に1,000を掛けると1に戻るため、2つの答えは同じ比を逆から表しています。Mの比は(7)/(5)ですが、それはこの設問で求めるエネルギーの比ではありません。

式の意味をもう一度たどります。Mの差2が与えるのは、Aの1回分を何倍するとBの1回分に相当するかです。したがって、Aを基準にした倍率が1,000なら、逆向きにはBを1,000等分した1つ分になります。単位が付いた絶対的なエネルギーは問題に与えられていないので、この条件からは求められません。比では両方の単位が消え、「倍」または分数で表せます。

標準から発展へ：個数と比をつなぐ

例題1：合計を同じ基準にそろえる

自作の条件として、同じ尺度の地震CのMを3、地震DのMを4とし、差1のエネルギー比を約32倍とします。Cが8回起こったときの地震波のエネルギーの合計は、Dが1回起こったときの何倍ですか。各Cのエネルギーは等しく、合計できるものとし、分数で答えてください。複数の地震が同時に起きた場合の揺れを求める問題ではありません。

Cの1回分をEとすると、Dの1回分は約32・Eです。Cの8回分は8・Eです。求める向きはCの合計をDで割る向きなので、次のようになります。

Cの合計 / Dの1回分 ≒ (8・E) / (32・E)
Cの合計 / Dの1回分 ≒ 1 / 4

答えは約(1)/(4)倍です。逆にDの1回分を4等分すると、Cの8回分に相当します。Cの8回分をさらに4組集めればCの32回分ですから、与えられたDの1回分の条件に戻ります。エネルギーの合計を扱うとき、Mを3・8として24にする操作には意味がありません。Mはエネルギーを直接示す量ではないからです。

別解では、最初にDの1回分がCの約32回分と置きます。Cの8回分は32回分の(8)/(32)なので約(1)/(4)です。こちらはEを置かずに、同じ単位の「Cの1回分」というまとまりで比べています。どちらの解き方でも、比の分母をDの1回分にしたことを確認します。

例題2：逆算と丸めの条件

同じ尺度を用いる自作の地震PとQについて、QのMは6、QのエネルギーはPの約1,000倍とします。この問題では、差2に対する近似比を約1,000倍とみなし、PとQのMの差は整数で0、1、2のいずれかとします。PのMを整数で求め、差が決まる理由も答えてください。

候補を比べると、差0なら同じエネルギー、差1なら約32倍、差2なら約1,000倍です。与えられた比は差2の候補に対応し、Qの方が大きいのでPのMは6 − 2 = 4です。戻して確かめると、QとPの差は6 − 4 = 2で、条件の約1,000倍に合います。候補の制限がなければ、近似値に含まれる幅や尺度の問題を無視して、測定された比からMを厳密な整数に決めることはできません。

別の見方では、PのMをxとし、比較する向きから6 − x = 2と置きます。これを解けばx = 4です。ただし、式の右辺の2は比から条件付きで選んだ差です。約1,000という倍率をそのまま右辺に置くと、Mの差とエネルギーの比を混ぜてしまいます。

観測を比べるなら、同じ地震を複数の観測点で記録し、機器の応答や距離などを考慮して同じ方法で規模を推定する設計が考えられます。波形の読み取りのばらつきや雑音、観測点の配置は推定に影響します。別々の方法の値を並べる場合は、その方法の違いも確認します。近似比から生じる丸めの差と、観測や推定の不確かさは原因が異なるため、分けて扱います。

誤答をほどく：足す量と掛ける量

次の誤答を考えます。「同じ尺度の地震で、Mが2大きいのでエネルギーも2倍です」。Mが2大きいというのは目盛りの差で、エネルギーの比ではありません。図3のように、差を取る段階と倍率に変換する段階を分けます。差2という条件なら、与えられた近似関係から約1,000倍と直します。

別の誤答は「差2だから32倍を2倍して64倍」です。差1の操作を繰り返すとき、倍率は足したり2倍したりせず掛け合わせます。ただし、この問題では差2の近似値が別に与えられているなら約1,000倍を使います。32・32の結果との小さな違いを、自然現象の厳密な差として扱わないことも必要です。

さらに「エネルギーが約1,000倍だから、すべての地点の震度も1,000倍」という答えは、比較対象が入れ替わっています。震度は地点の揺れを階級で示すもので、このエネルギー比を震度に掛けることはできません。修正するには、地震の規模の比較と、地点ごとの揺れの観測を別の文にします。Mが同じでも距離や地盤などが異なれば、地点の揺れは同じとは限りません。

最後に、求める比の向きにも注意します。「小さい地震は大きい地震の何倍か」と聞かれたとき、約1,000倍と答えると大小が逆です。分子を小さい方、分母を大きい方にしてから、約(1)/(1,000)倍と書きます。検算では、比とその逆数を掛けて1になるかを確認できます。

練習：条件を読み分ける5問

以下はすべて自作の条件であり、実際の地震や観測記録ではありません。各計算では同じ尺度を使い、差1を約32倍、差2を約1,000倍とします。各地震のエネルギーは地震波として放出される分を指します。比は問題で指定した形で答えてください。

1. 地震LのMは2、地震NのMは3です。NはLの何倍のエネルギーですか。与えた近似値で答え、差も示してください。
2. 地震RのMは5、地震SのMは3です。SのエネルギーはRの何倍ですか。分数で答え、比較の向きも示してください。
3. Mが1異なる地震UとVがあります。VのMが大きく、Uが4回、Vが1回起こりました。Uの各回のエネルギーが等しいとき、Uの合計はVの1回分の何倍ですか。分数で答えてください。
4. 地震WのMは7です。同じ尺度の地震XのエネルギーはWの約(1)/(1,000)倍です。Mの差は整数で0、1、2のいずれかとし、XのMを整数で求め、与えられた比に戻して確かめてください。
5. ある地震で地点アと地点イの震度が異なりました。資料には同じ地震について1つのMと、2地点それぞれの震度が載っています。Mと震度が異なる量であることを踏まえ、地点差がある理由の候補を1つ挙げ、この資料だけで決められないことを1つ述べてください。

答えと考え方

1. Mの差は3 − 2 = 1です。NはLよりMが1大きいため、NのエネルギーはLの約32倍です。Lを基準にした32倍を逆から見れば約(1)/(32)倍で、向きも整合します。
2. RのMはSより5 − 3 = 2大きいので、RはSの約1,000倍です。求める向きはSをRで割る向きですから、約(1)/(1,000)倍です。この分数に1,000を掛けると1になり、元の比に戻ります。
3. Uの1回分をFとすると、Vの1回分は約32・F、Uの4回分は4・Fです。比は4 / 32 = 1 / 8なので、約(1)/(8)倍です。Uの合計を8組集めるとUの32回分となり、Vの1回分に相当します。
4. XはWよりエネルギーが小さく、差の候補のうち約(1)/(1,000)に対応するのは差2です。よってXのMは7 − 2 = 5です。差を戻すと7 − 5 = 2となり、XはWの約(1)/(1,000)倍という条件に合います。
5. 距離や地盤の違いが候補です。同じ地震の規模を示すMは共通でも、震度は各地点の揺れを表すため異なりえます。ただし、この資料だけでは、挙げた候補のどれが地点差の原因だったかを決められません。距離や地盤の情報を別に調べて比べる必要があります。

手元に残す要点

Mは地震の規模、震度は地点の揺れを表します。
同じ尺度でMの差1はエネルギー約32倍、差2は約1,000倍です。
差を繰り返すときは倍率を掛け、近似値の丸めを区別します。
逆向きの比は逆数で表し、複数回の合計はエネルギーでそろえます。
Mから地点の震度を一意に決めることはできません。

答案のどこで止まったか

式にMの割り算が現れたら、先に「何の比を求めるのか」を余白に書きます。差は引き算、エネルギーの比は倍率への変換という順番に直すと、使う量が区別できます。分数の答えが1より大きいか小さいかを、問題の大小関係と照らすのも有効です。

個別に答案を確かめる場面では、合計の問題で1回分の基準を置けているか、近似の記号と比の向きが残っているかを見ます。資料の説明では、Mから地点の震度まで飛躍していないか、観測されたことと原因の候補が分けられているかを確かめます。差から倍率への一歩を言葉にできれば、数値を変えた問題でも判断を追えます。