高校化学 濃度と密度の換算—溶液と溶媒の量を区別して同じ試料を表す｜武蔵野個別指導塾

溶液の密度と質量百分率からmol/Lを求め、溶媒の質量を使うmol/kgとの違いも整理する濃度換算。

よくあるのは、溶液の質量を密度で割って求めた体積を、溶媒の体積だと考えてしまう場面です。その体積に溶質の体積を足してから濃度を計算すると、同じ溶質を含む溶液を実際より大きく見積もります。密度がどの物質の質量をどの体積で割った値なのか、先に確認しましょう。

溶液の濃さには、同じ試料について複数の表し方があります。分母に溶液全体を使うものと、溶媒を使うものがあるため、数値を暗記して移すのではなく、同じ試料の中身をいったん質量と物質量に戻します。ここでは質量百分率、モル濃度、質量モル濃度を扱い、密度を使ってそれらを結び付けます。

問題文のどこを拾うか

出方は大きく3つです。第1は質量百分率と密度からモル濃度を求める問題です。密度を使えば溶液全体の質量と体積が結び付きます。溶質のモル質量も必要です。

第2は質量モル濃度とモル質量から質量百分率を求める問題です。基準として溶媒を1 kg選ぶと溶質の物質量がすぐ決まります。さらにモル濃度を求めるには、溶液の体積を得るため密度が必要です。

第3は調製後の濃度や操作誤差を判断する問題です。溶質の量と、最終的な溶液の体積を別々に追います。混合前の体積の和を最終体積と決めてよいのは、問題がそう与えた場合です。温度も密度や体積を扱う条件として確認します。

3つの分母を同じ試料に置く

溶液は溶質と溶媒からなります。ここでは溶質が1種類で、溶け残りや蒸発がなく、均一な溶液を考えます。溶液の質量は溶質の質量と溶媒の質量の和です。密度は溶液の質量を溶液の体積で割った値です。溶媒の密度と取り違えないようにします。

質量百分率は、溶液の質量を分母にして溶質の質量の割合を100倍したものです。質量百分率が20%なら、溶液100 g中に溶質20 gと溶媒80 gがあります。100 gは計算のために選んだ試料で、容器全体の量を表す必要はありません。

モル濃度は溶液1 L当たりに含まれる溶質の物質量で、単位はmol/Lです。質量モル濃度は溶媒1 kg当たりに含まれる溶質の物質量で、単位はmol/kgです。名前が似ていても、前者は溶液の体積、後者は溶媒の質量を分母にします。

図1のように、溶液の質量から溶質を引けば溶媒の質量が得られます。溶液の体積は溶液の質量を溶液の密度で割って得ます。図の矢印は量の関係を示し、容器の大きさを比例して描いたものではありません。

図1では密度を使う矢印の行き先が溶液の体積です。溶媒の体積はこの操作から直接得られません。溶媒の体積が別にわかっても、溶質と溶媒の体積を単純に足して溶液の体積が出るとは限りません。

一般式でも確かめます。質量百分率をw%、溶液の密度をd g/mL、溶質のモル質量をM g/molとし、0 < w < 100、d > 0、M > 0とします。計算の基準に溶液100 gを選ぶと、溶質はw g、溶媒は(100 − w) g、溶質の物質量はw/M molです。

この100 gの溶液の体積は100/d mL、すなわち100/(1000d) Lです。したがってモル濃度cは次のようになります。

c = (w/M) / {100/(1000d)}
  = 10dw/M mol/L

一方、溶媒の質量は(100 − w)/1000 kgなので、質量モル濃度bは次のようになります。

b = (w/M) / {(100 - w)/1000}
  = 1000w/{M(100 - w)} mol/kg

密度が必要なのは質量と体積を橋渡しする場面です。質量百分率と質量モル濃度の間なら、溶液と溶媒の質量の関係から換算できるので密度は要りません。式の分母の100 − wが溶媒の質量に対応することを確かめると、公式だけを覚えるよりも使う条件を追いやすくなります。

基本例題：100 gを出発点にする

ある均一な溶液の質量百分率は20.0%、密度は1.20 g/mLです。溶質のモル質量を100 g/molとします。これらは計算用の与件です。モル濃度と質量モル濃度を有効数字3桁で求めてください。

図2のように溶液100 gを基準にします。溶質は20.0 g、溶媒は80.0 gです。溶質の物質量は20.0/100 = 0.200 molです。密度は溶液全体のものなので、100/1.20 mLがこの試料の溶液の体積です。

図2の100 gを溶液に戻すと、20.0 gと80.0 gの和になっています。溶液の体積をLに直し、溶媒の質量をkgに直してから割ります。

溶液の体積 = (100/1.20)/1000 L
モル濃度 = 0.200 / {(100/1.20)/1000}
          = 2.40 mol/L
質量モル濃度 = 0.200 / 0.0800
              = 2.50 mol/kg

確認として、溶液1 Lの質量は1.20 × 1000 = 1200 gです。その20.0%は240 gで、100 g/molで割ると2.40 molです。溶媒80.0 gを0.0800 kgとして2.50 mol/kgを掛ければ、元の0.200 molに戻ります。2つの答えは数値が近くても分母が異なるので、単位を省いて同じものと扱えません。

標準例題：溶媒1 kgから戻す

溶質のモル質量が50.0 g/molの均一な溶液があります。質量モル濃度は4.00 mol/kg、溶液の密度は1.10 g/mLです。数値は計算用の与件です。質量百分率とモル濃度を有効数字3桁で求めてください。

溶媒1.00 kgを基準に選ぶと、溶質は4.00 molです。質量にすると4.00 × 50.0 = 200 gです。溶媒1000 gと合わせて溶液は1200 gなので、質量百分率は200/1200 × 100 = 16.7%です。

溶液1200 gの体積は1200/1.10 mLです。これをLに変換してから4.00 molを割ります。

溶液の体積 = (1200/1.10)/1000 L
モル濃度 = 4.00 / {(1200/1.10)/1000}
          = 3.67 mol/L

途中では割り切れない値を丸めずに進めます。確認では、4.00 molを質量に戻すと200 g、溶媒と合わせて1200 gになります。溶液の体積に密度を掛ければ1200 gに戻ります。16.7%や3.67 mol/Lは最後に丸めた表示なので、逆算では丸め前の値を用います。

発展例題：希釈前後で量をつなぐ

溶質のモル質量が80.0 g/mol、質量百分率が16.0%、密度が1.20 g/mLの均一な溶液50.0 mLがあります。溶質の損失なく溶媒を加え、最終体積を250 mLにしました。調製後のモル濃度と質量モル濃度を有効数字3桁で求めてください。加えた溶媒の質量は200 gとします。数値は計算用の与件で、体積の加算を仮定するものではありません。

まず濃い溶液の質量は50.0 × 1.20 = 60.0 gです。溶質は60.0 × 0.160 = 9.60 g、物質量は9.60/80.0 = 0.120 molです。初めの溶媒は60.0 − 9.60 = 50.4 gです。

希釈で溶質の物質量は変わらず、最終体積は0.250 Lです。溶媒は50.4 + 200 = 250.4 gになります。最終溶液の質量は60.0 + 200 = 260.0 gで、溶質9.60 gと溶媒250.4 gの和とも一致します。

モル濃度 = 0.120 / 0.250 = 0.480 mol/L
質量モル濃度 = 0.120 / 0.2504 = 0.479 mol/kg

別解では、希釈前のモル濃度を先に求めます。濃い溶液1 Lは1200 g、その16.0%は192 g、すなわち2.40 molです。50.0 mLに含まれる量は2.40 × 0.0500 = 0.120 molです。希釈前後の体積比だけを使って2.40 × 50.0/250 = 0.480 mol/Lとしても同じ答えです。ただし質量モル濃度には溶媒の質量が必要なので、この体積比をそのまま使えません。

答えを場面に戻します。0.480 mol/Lの溶液0.250 Lは0.120 molを含み、元の溶質9.60 gに戻ります。丸め前の質量モル濃度に0.2504 kgを掛けても0.120 molです。もし加えた溶媒の質量が与えられなければ、最終体積だけから溶媒質量を決めることはできません。

誤答の原因を量の名前で見直す

基本例題で100/1.20 mLを「溶媒の体積」と呼び、そこに溶質の体積を足してモル濃度を求める誤りを考えます。割り算の単位はmLで合っていても、密度が溶液の値なので商は溶液全体の体積です。単位が合うことは、分母の意味まで合う保証にはなりません。

図3のように、密度に付く「溶液」という名前を商にも引き継ぎます。修正後は得られた体積をそのままモル濃度の分母にします。溶媒の質量が欲しいときは、体積の足し算に進まず、溶液の質量から溶質の質量を引きます。

図3の右側では、溶液の質量と体積が同じ試料を指します。別の試料の質量や異なる温度の密度を組み合わせると、この対応は崩れます。問題文に与えられた密度が何の密度か、どの状態の値かを確認します。

もう1つの誤りは、質量モル濃度の分母に溶液の質量を使うことです。基本例題なら0.200 molを0.100 kgで割って2.00 mol/kgと出してしまいます。しかし0.100 kgは溶液全体です。溶媒0.0800 kgで割ると2.50 mol/kgになります。溶質の質量が正の場合、同じ物質量をより小さい溶媒質量で割るため、分母を取り違えた値より大きくなります。

調製と測定のずれを読む

学校の指導の下で、一定量の溶質を溶かして所定の体積の溶液を作る場面を考えます。目盛りのある容器に最初から所定の体積の溶媒を入れて溶質を加えると、最終体積が所定値になるとは限りません。目標は溶媒の体積ではなく、混合後の溶液全体の体積です。

溶質を容器へ移す途中で一部が残ったのに、計算上は量り取った全量が入ったとした場合、最終体積が目標どおりなら実際のモル濃度は計算値より小さくなります。逆に溶質が予定どおり入り、最終体積が目標を超えたなら、実際のモル濃度は目標より小さくなります。両方が同時に起きたときは、それぞれの変化量が不明なら誤差の大きさを決められません。

密度の測定では、同じ試料の質量と体積を対応させます。容器の質量を差し引き忘れれば溶液の質量を大きく見積もります。体積が正しく測られたなら密度の計算値は大きくなり、同じ質量百分率とモル質量を使う換算ではモル濃度も大きく算出されます。容器の質量と空の状態を記録し、どの量に誤差が入るかを分けて考えます。

一定温度で同一の均一な溶液を異なる量だけ取り、横軸に体積、縦軸に質量を置くと、原点を通る直線として表せます。傾きが密度です。容器を含む総質量を縦軸にすると切片に容器の質量が現れ、原点から各点までの比をそのまま密度とする方法は使えません。異なる濃度の溶液を混ぜた測定点で、同一試料の直線を描いてはいけません。

練習：分母を決めてから計算する

以下の数値は計算用の与件です。各溶液は均一で、溶質の損失や溶け残りはありません。数値で答える問題は、指定がなければ有効数字3桁で答えてください。

1. 溶質のモル質量が40.0 g/mol、質量百分率が12.0%、溶液の密度が1.25 g/mLです。モル濃度と質量モル濃度を求めてください。
2. 溶質のモル質量が60.0 g/mol、質量モル濃度が2.00 mol/kgの溶液があります。質量百分率を求めてください。
3. 溶質のモル質量が90.0 g/mol、モル濃度が1.50 mol/L、溶液の密度が1.05 g/mLです。質量百分率と質量モル濃度を求めてください。
4. 0.800 mol/Lの溶液75.0 mLに溶媒を加え、全体を300 mLにしました。溶質の損失はありません。調製後のモル濃度を求め、溶質の量を元に戻して確かめてください。
5. 同じ溶質の一定量を用いて所定体積の溶液を作る際、溶質を予定どおり移した後で溶媒を入れ過ぎました。最終体積が目標より大きい場合、モル濃度は目標値より大きいか小さいか、理由とともに答えてください。また、体積と溶質量がともに不明な別の失敗では方向を決められるか答えてください。

練習の答えと道筋

1. 溶液100 gを選ぶと、溶質12.0 gは0.300 mol、溶媒は88.0 gです。体積は100/1.25 = 80.0 mLなので、モル濃度は0.300/0.0800 = 3.75 mol/Lです。質量モル濃度は0.300/0.0880 = 3.41 mol/kgです。0.300 molを40.0 g/molで質量に戻すと12.0 gで、88.0 gと合わせて100 gです。

2. 溶媒1.00 kgを選ぶと溶質は2.00 mol、質量は120 gです。溶液は1120 gなので、120/1120 × 100 = 10.7%です。丸め前の割合を1120 gに掛けると120 gに戻り、残りは1000 gです。密度は質量百分率を求めるためには必要ありません。

3. 溶液1.00 Lを選ぶと、溶液の質量は1050 g、溶質は1.50 molで135 gです。質量百分率は135/1050 × 100 = 12.9%です。溶媒は1050 − 135 = 915 gなので、質量モル濃度は1.50/0.915 = 1.64 mol/kgです。135 gを90.0 g/molで割ると1.50 molに戻り、溶質と溶媒の和は1050 gです。

4. 初めの溶質は0.800 × 0.0750 = 0.0600 molです。最終体積は0.300 Lなので、0.0600/0.300 = 0.200 mol/Lです。この濃度に0.300 Lを掛けると0.0600 molで、初めの75.0 mL中の物質量に戻ります。最終体積は問題文で与えられた値を使います。

5. 物質量が一定で分母の溶液体積が大きいので、モル濃度は目標値より小さくなります。たとえば物質量をn mol、目標体積をV L、超過分をa Lとすると、a > 0のときn/(V + a)はn/Vより小さい値です。別の失敗で物質量と体積の両方が不明なら、増減の組み合わせによって濃度の方向は変わるため決められません。

手元に残す要点

溶液の質量は溶質と溶媒の質量の和です。 質量百分率の分母は溶液の質量、mol/Lの分母は溶液の体積です。 mol/kgの分母は溶媒の質量です。 密度で溶液の質量を割ると、同じ溶液の体積が得られます。 希釈では溶質の量と最終的な溶液の体積を別々に追います。

式が途中で止まるときは、数字の横に「溶質」「溶媒」「溶液」と書いてみてください。単位が正しくても量の名前が違えば、別の濃度を求めている可能性があります。個別指導では、本人が選んだ基準量から溶質と溶媒を分ける説明、密度を使う対象、最後に元の条件へ戻す計算を順に確かめます。分母の意味を説明できれば、初めて見る換算にも同じ試料を使って向き合えます。