武蔵野個別指導塾の特徴

高校物理原子光電子の最大運動エネルギー—光子の収支から電子の速さを求め直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる原子

光子のエネルギーから仕事関数を引き、最大の速さと分布の上端を考える主役は光電子です。

よくあるのは、金属に当たる光子のエネルギーを計算した高校生が、その全部を飛び出した電子の運動エネルギーにする場面です。光子から受け取った分はどこへ行ったのでしょうか。電子が金属の外へ出るにはエネルギーが必要です。その最低分を収支に入れてから、外へ出た電子の最大の速さを求めます。金属を変えたときの違いや、最大値と個々の電子の値の違いも確かめます。

最初に分ける3つの問い

光電効果の問題では、まず何を答えるかに線を引きます。1つ目は、与えられた光で電子が外へ出られるかという問いです。光子1個のエネルギーが金属の仕事関数より小さければ、ここで扱う光電効果では放出できません。負の運動エネルギーを答えるのではなく、放出条件を満たさないと判断します。

2つ目は、放出される電子の最大運動エネルギーを求める問いです。放出できる場合に、光子のエネルギーから仕事関数を引きます。3つ目は、最大運動エネルギーに対応する速さや、異なる金属の最大値を比較する問いです。同じ光でも、仕事関数が違えば余るエネルギーが変わります。

数を代入する前に、光の振動数を与えられたのか、光子1個のエネルギーを与えられたのかを確認します。光全体のエネルギーを光子1個の分に取り違えると、収支の出発点がずれます。以下では1個の光子が1個の電子にエネルギーを与える高校のモデルを使います。光子数や光電流の詳しい比較、グラフからの定数推定は扱いません。

光子から外に出る電子までの収支

振動数をν、プランク定数をhとすると、光子1個のエネルギーはhνです。金属の仕事関数Wは、金属内の電子を外へ取り出すために必要な最小のエネルギーです。光を吸収した電子が表面に到達するまでにエネルギーを失うことや、電子がもともと異なる状態にあることを考えると、飛び出す電子の運動エネルギーは同じ値にそろうとは限りません。

図1のように、最も大きい運動エネルギーを持つ場合の収支を考えます。外に出るために必要な最小分Wを差し引いた残りが最大値Kmaxです。これは出てきた電子がすべてKmaxを持つという意味ではありません。図の下段のように、別の電子が余分にエネルギーを失った場合は、その分だけ外での運動エネルギーは小さくなります。

図1で同じ長さの横棒全体は同じ光子エネルギーを表します。上段の残りが最大値、下段の残りがそれより小さい値です。余分な損失をDと書けば、放出された電子に対するモデルの収支は次のようになります。

hν = W + D + K
D ≥ 0
K = hν - W - D
K ≤ hν - W
Kmax = hν - W

ここでKは金属の外で測る電子の運動エネルギーです。最大値の式は、放出可能で最小の取り出しエネルギーに対応する電子を考える式です。実際の表面の状態などによって観測値が理想的な式からずれる場合もあります。Wは電子が外に出るための最小分であり、外へ出るまでの経路ごとの損失をすべて同じ値として表したものではありません。

hνがWより大きければ、理想モデルでは正のKmaxを持つ電子が出られます。hν = Wは境界で、理想的には最大運動エネルギーが0です。境界付近の観測には表面状態や測定の不確かさが関わるので、実測で鋭く判定できると決めつけません。hν < Wなら、式の右辺は負になりますが、運動エネルギーが負の電子が出るという意味ではありません。放出条件を満たさないため、放出電子の最大値としてその負の数を使えないのです。

電子の質量をmₑ、最大の速さをvmaxとし、速さが光速に比べて十分小さい場合は、Kmax = mₑvmax²/2です。したがってvmax = √(2Kmax/mₑ)です。光子にこの電子の式を使うのではなく、光子にはhν、電子には運動エネルギーの式を使います。Jで計算するときはmₑをkgで入れ、速さの単位はm/sです。eVで与えられたエネルギーは、Jに換算してからkgと組み合わせます。

光を強くすることと、光子1個のエネルギーを大きくすることも別です。同じ振動数の単色光なら光子1個のエネルギーは同じです。光の強さを増しても、ここで使う1光子の収支の右辺は変わりません。放出される数や捕集される割合を知るには、別の条件が必要です。

基本例題：差し引いた後の速さ

自作の条件です。金属Aの仕事関数を1.60×10⁻¹⁹ J、入射光子1個のエネルギーを4.80×10⁻¹⁹ Jとします。電子の質量を計算用に9.11×10⁻³¹ kg、光速を3.00×10⁸ m/sとします。最大運動エネルギーをJで、対応する速さをm/sで、それぞれ有効数字3桁で求めてください。電子は非相対論的に扱います。

図2のように、光子の分を仕事関数と最大運動エネルギーに分けます。まず4.80×10⁻¹⁹ Jは1.60×10⁻¹⁹ Jを上回るので、理想モデルで放出できます。エネルギーをJでそろえ、途中では丸めずに進めます。

Kmax = hν - W
Kmax = 4.80×10⁻¹⁹ J - 1.60×10⁻¹⁹ J
Kmax = 3.20×10⁻¹⁹ J
mₑvmax²/2 = 3.20×10⁻¹⁹ J
vmax² = 2×3.20×10⁻¹⁹/(9.11×10⁻³¹) m²/s²
vmax = 8.38×10⁵ m/s

答えをもとの場面へ戻すと、1.60×10⁻¹⁹ Jと3.20×10⁻¹⁹ Jの和は入射光子の4.80×10⁻¹⁹ Jです。速さと光速の比は約0.00279なので、非相対論式を用いる条件にも合います。図2の各数はこの収支に対応します。電子の速さは正の平方根を選びますが、運動の向きまではこの式から決まりません。

もし仕事関数を引かずに光子エネルギーを全部運動エネルギーにすると、外へ出すための分を別に用意したことになります。その答案では入力より出力の合計が大きく、エネルギーの収支が合いません。式を覚えた後も、出した値にWを足して光子の値へ戻す点検が有効です。

標準例題：同じ光で金属を比べる

別の自作条件として、1個の光子のエネルギーが6.40×10⁻¹⁹ Jの光を金属Pと金属Qにそれぞれ当てます。仕事関数はPが2.40×10⁻¹⁹ J、Qが4.80×10⁻¹⁹ Jです。両方で放出できるかを判定し、最大運動エネルギーをそれぞれJで有効数字3桁にして求めてください。また最大速度の比vP/vQを根号のままで求めます。両電子の質量は同じで、非相対論式が使える条件とします。

6.40×10⁻¹⁹ J > 2.40×10⁻¹⁹ J
6.40×10⁻¹⁹ J > 4.80×10⁻¹⁹ J
KP = (6.40 - 2.40)×10⁻¹⁹ J
KP = 4.00×10⁻¹⁹ J
KQ = (6.40 - 4.80)×10⁻¹⁹ J
KQ = 1.60×10⁻¹⁹ J
vP²/vQ² = KP/KQ
vP²/vQ² = 4.00/1.60
vP/vQ = √(5/2)

両方とも放出できます。速さの比を5/2としない理由は、運動エネルギーが速さの2乗に比例するためです。2つの速さは正なので、比も正の平方根を取ります。検算では、Pで2.40 + 4.00 = 6.40、Qで4.80 + 1.60 = 6.40となり、いずれも単位は10⁻¹⁹ Jです。

別の見方では、同じ光子エネルギーからそれぞれの仕事関数を引くので、最大運動エネルギーの差は仕事関数の差に等しくなります。Pの値がQより2.40×10⁻¹⁹ J大きく、これはQの仕事関数がPより大きい分と一致します。ただし、この差の比較は両方で放出可能な場合に限ります。一方が放出しないとき、負の値を最大運動エネルギーとして比に入れてはいけません。

エネルギーを縦軸、金属の種類を横軸にした棒グラフなら、同じ入射エネルギーの高さから各仕事関数を差し引いた高さが最大値です。横軸は金属の種類であり、振動数の連続した目盛りではありません。棒の高さを比べるだけで、傾きから定数を求めるグラフにはしません。

発展例題：振動数と測定の揺れ

自作の条件です。ある金属の仕事関数を3.20×10⁻¹⁹ J、光の振動数を1.00×10¹⁵ Hzとします。計算用にh = 6.63×10⁻³⁴ J sとします。放出を判定し、最大運動エネルギーをJで有効数字3桁で求めてください。また振動数を半分にしたときも判定してください。仕事関数と表面の状態は変わらないものとします。

hν = (6.63×10⁻³⁴ J s)(1.00×10¹⁵ Hz)
hν = 6.63×10⁻¹⁹ J
6.63×10⁻¹⁹ J > 3.20×10⁻¹⁹ J
Kmax = (6.63 - 3.20)×10⁻¹⁹ J
Kmax = 3.43×10⁻¹⁹ J

放出でき、最大値は3.43×10⁻¹⁹ Jです。戻して確かめると3.20 + 3.43 = 6.63で、単位は10⁻¹⁹ Jです。Hzは1/sなので、hνの単位はJになります。振動数を半分にした場合は次のようになります。

ν' = 5.00×10¹⁴ Hz
hν' = 3.315×10⁻¹⁹ J
hν' > 3.20×10⁻¹⁹ J
Kmax' = (3.315 - 3.20)×10⁻¹⁹ J
Kmax' = 1.15×10⁻²⁰ J

半分の場合も、この条件では放出できます。答えを戻すと3.20×10⁻¹⁹ Jと1.15×10⁻²⁰ Jの和は3.315×10⁻¹⁹ Jです。光子エネルギーが半分でも最大運動エネルギーは半分になりません。引く仕事関数が同じだからです。さらに振動数を下げ、hνが3.20×10⁻¹⁹ Jを下回れば放出しません。境界を先に調べることが、比例の誤用を防ぎます。

別解として、最初の最大値から光子エネルギーの減少分を引いても、放出条件を満たす範囲なら同じ値を得ます。減少分は3.315×10⁻¹⁹ Jなので、3.43×10⁻¹⁹ Jから引くと1.15×10⁻²⁰ Jです。結果が正でも、もとの光子エネルギーとWを直接比べて条件を確認します。

測定を考えるときは、同一の金属表面で振動数を変える系列と、同じ振動数で金属を変える系列を分けます。光源の波長幅、表面の変化、測定器の読みの不確かさは、見積もった最大値に影響します。境界近くでは小さなエネルギーの差が判定を左右します。測定値を比較するときは、それぞれの不確かさと条件を記録し、計算値との差を直ちに新しい法則の証拠としないことが必要です。実験は学校の指導の下で行い、紫外線や装置の操作はここでは模式的に考えます。

間違いを収支へ戻す

図3のように、基本例題の光子エネルギー4.80×10⁻¹⁹ Jをそのまま電子の最大運動エネルギーとする答えを調べます。この答えに仕事関数1.60×10⁻¹⁹ Jを加えると、出力側が6.40×10⁻¹⁹ Jになり、入射側より大きくなります。原因は、外へ電子を取り出すためのエネルギーを収支から落としたことです。

図3の修正後は、仕事関数と最大運動エネルギーの和が入射分に戻ります。別の間違いとして、Kmaxが電子全員の値だと考える場合があります。最大は分布の上端を指す言葉です。たとえば余分な損失があれば、その電子のKは上端より小さくなります。損失が大きすぎて外に出られない電子は、放出電子の分布には入りません。

また、放出条件を満たさないときに右辺の負値をそのまま速さの式へ入れると、平方根の中が負になります。計算の故障ではなく、放出を前提とした式を条件外に使ったことが原因です。最初にhνとWを比べ、放出できる場合に限ってKmaxと速さへ進みます。

練習：5つの条件を読み分ける

以下はすべて自作の条件です。エネルギーの数値は指定した桁で答えます。速さを求める問題では非相対論式が使えるものとします。

光子1個のエネルギーが7.20×10⁻¹⁹ J、仕事関数が2.70×10⁻¹⁹ Jです。放出を判定し、最大運動エネルギーをJで有効数字3桁で求めてください。
光子1個のエネルギーが2.50×10⁻¹⁹ J、仕事関数が3.10×10⁻¹⁹ Jです。放出を判定し、最大運動エネルギーを数値で答えられるか説明してください。
光子1個のエネルギーを5.00 eV、仕事関数を2.00 eVとします。1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ J、mₑ = 9.11×10⁻³¹ kg、光速3.00×10⁸ m/sを計算用に使います。最大運動エネルギーをeVとJで、速さをm/sでそれぞれ有効数字3桁で求めてください。
同じ光子エネルギー8.00×10⁻¹⁹ Jの光を金属RとSに当てます。仕事関数はRが3.00×10⁻¹⁹ J、Sが6.00×10⁻¹⁹ Jです。両者の放出を判定し、最大運動エネルギーの比KR/KSと最大速度の比vR/vSを根号を使って求めてください。
同じ金属に光を当て、光子1個のエネルギーが9.00×10⁻¹⁹ Jのとき、最大運動エネルギーは5.50×10⁻¹⁹ Jでした。仕事関数をJで有効数字3桁で求め、光子エネルギーを3.00×10⁻¹⁹ Jに変えたときの放出も判定してください。

練習の答えと戻し方

7.20 > 2.70なので放出できます。単位を10⁻¹⁹ Jとして、Kmax = 7.20 − 2.70 = 4.50です。答えは4.50×10⁻¹⁹ Jです。2.70 + 4.50 = 7.20と戻るので収支も合います。
2.50 < 3.10なので放出条件を満たしません。差の-0.60×10⁻¹⁹ Jは、放出された電子の最大運動エネルギーではありません。光子のエネルギーが必要な最小分に0.60×10⁻¹⁹ J足りないことを示します。2.50 + 0.60 = 3.10と戻して不足分を確かめます。
5.00 eV > 2.00 eVなので放出できます。最大値は3.00 eVです。

Kmax = (5.00 - 2.00) eV
Kmax = 3.00 eV
Kmax = 3.00×1.60×10⁻¹⁹ J
Kmax = 4.80×10⁻¹⁹ J
vmax = √(2×4.80×10⁻¹⁹/(9.11×10⁻³¹)) m/s
vmax = 1.03×10⁶ m/s

2.00 eV + 3.00 eV = 5.00 eVと戻ります。速さと光速の比は約0.00342で、非相対論式を用いる条件にも合います。電圧の単位Vとエネルギーの単位eVを混同せず、Jへの換算を挟みます。

8.00は両仕事関数より大きく、両方で放出できます。単位を10⁻¹⁹ Jとすると、KR = 8.00 − 3.00 = 5.00、KS = 8.00 − 6.00 = 2.00です。したがってKR/KS = 5/2、vR/vS = √(5/2)です。3.00 + 5.00 = 8.00、6.00 + 2.00 = 8.00と両方の入射分に戻ります。
W = hν − Kmax = (9.00 − 5.50)×10⁻¹⁹ J = 3.50×10⁻¹⁹ Jです。3.50 + 5.50 = 9.00と戻ります。変更後は3.00×10⁻¹⁹ J < 3.50×10⁻¹⁹ Jなので放出しません。0.50×10⁻¹⁹ J不足し、3.00 + 0.50 = 3.50と必要なエネルギーに戻ります。

答案の最後に残す確認

光子1個のエネルギーと仕事関数を同じ単位にそろえて比べます。
放出可能ならKmax = hν − Wで上端を求めます。
最大値は個々の電子の運動エネルギーと区別します。
非相対論の範囲でKmax = mₑvmax²/2を使います。
求めた最大値に仕事関数を足し、入射光子へ戻します。

式が立たないときは、まず光子、金属の外へ出す分、外での運動という3つを言葉で書き分けます。引き算はできるのに速度の比で迷うなら、2乗の関係を両辺に書いてから平方根を取ります。個別指導で確かめるときは、放出しない条件と放出する条件を並べ、生徒自身がどちらに速度の式を使えるか理由とともに説明できるかを見ます。エネルギーの行き先を追えば、最大という言葉の意味も答案の中で明確になります。