高校物理 変圧器と送電損失—巻数比と電力の条件から電流と発熱を比べる｜武蔵野個別指導塾

巻数比と実効電圧を使い、同じ受電電力を異なる電圧で送る模型から、発熱の差と送電損失を読み取ります。

よくあるのは、高校生が変圧器で電圧を上げると、送電線の電流も同じ比で増えると考える場面です。電圧と電流をともに大きくすれば、送り出す電力まで増えます。変圧器は電力を無から生む装置ではありません。どの場所の電圧を比べ、どこで電力が熱に変わるかを図に書き込むと、式を選ぶ理由が見えてきます。

電圧の比だけでは終わらない

出題の第1の型は、一次コイルと二次コイルの巻数から電圧を求め、理想変圧器の電力保存で電流を求めるものです。巻数に比例するのは電圧であり、電流は負荷の条件にも依存します。理想変圧器の入力電力と出力電力が等しいという条件を使う場面では、電圧が大きい側ほど電流は小さくなります。

第2の型は、同じ電力を受電側で使うときに、受電電圧を変えて線路の発熱を比較するものです。電流を決める電圧は受電端の電圧です。送電端の電圧には線路の電圧降下も含まれます。第3の型では逆に送電端の電圧や電力が与えられます。線路の損失を差し引いてから受電側を考える必要があり、与えられた電力をそのまま負荷の電力にしてはいけません。

ここで扱う数値は計算のために作った模型の値です。実際の設備の規格や損失率を表すものではありません。学習内容は、電気と電流および電流と磁界に対応する範囲です。

磁束の変化から電力の行き先へ

図1のように、共通の鉄心に巻数 N₁ の一次コイルと N₂ の二次コイルを置きます。交流によって鉄心を通る磁束が変化すると、各巻線に電磁誘導による起電力が生じます。理想的には両コイルの各巻きを貫く磁束の変化が同じなので、誘導起電力の大きさは巻数に比例します。損失や巻線の抵抗、漏れ磁束を無視し、正弦波の定常状態を考えれば、端子電圧の実効値 V₁、V₂ は次の関係を満たします。

図1の一次と二次は導線で直接つながっていません。磁束の時間変化が二次の起電力を生み、二次に負荷をつなぐと電流が流れます。一定の磁束では誘導起電力は生じないので、直流の定常状態にこの交流用の関係をそのまま適用することはできません。

V₂/V₁ = N₂/N₁

実効値は、抵抗に同じ時間だけ流したとき、同じ熱を生む直流の値です。正弦波の最大電圧を √2 で割ったものが実効電圧です。一次と二次で同じ波形の比を取るなら、最大値の比も実効値の比も巻数比になります。ただし最大値と実効値を混ぜてはいけません。

理想変圧器では入力の平均電力と出力の平均電力が等しくなります。二次に抵抗負荷をつなぎ、力率を1とするこの模型では、実効電流を I₁、I₂ として次の式が成立します。

V₁I₁ = V₂I₂

したがって I₂/I₁ = N₁/N₂ です。電圧を3倍にすれば、同じ出力電力のもとでは電流は1/3倍です。一般の交流負荷では平均電力は実効電圧と実効電流の積に力率を掛けて求めます。単に実効値の積を常に有効電力と呼ばないことが条件です。

送電線は往路と復路を合わせて抵抗 r の抵抗器と考えます。線路の自己誘導などを無視し、抵抗負荷に正弦波電流 I が流れる定常状態では、線路の平均発熱電力は I²r です。瞬間の発熱は電流の二乗に比例し、向きが反転しても正です。実効電流を使えば、1周期の平均を直流と同じ形で表せます。

受電端の実効電圧を Vᵣ、受電電力を Pᵣ とすると、抵抗負荷では Pᵣ = VᵣI です。送電端の実効電圧 Vₛ は、同相の電圧降下 Ir を足して Vₛ = Vᵣ + Ir です。電力についても Pₛ = VₛI = Pᵣ + I²r と分かれます。ここで送電端は線路の入り口、受電端は線路の出口です。線路の抵抗を含む系のエネルギー収支を先に描いておくと、どの電圧を式に入れるか迷いにくくなります。

基本例題：同じ受電電力を2通りで届ける

抵抗負荷に 600 W を届ける模型を考えます。線路の往復の合計抵抗は 2 Ω です。正弦波の定常状態で線路は抵抗だけとし、線路と負荷の電圧・電流は同相とします。受電端の実効電圧が A では 120 V、B では 240 V です。各場合の実効電流、線路の発熱電力、送電端の実効電圧と送電電力を求めてください。答えは正確な数値で、単位を付けます。その他の損失は無視します。

図2のように、600 W は受電端で使う電力です。2 Ω は片道でなく往復の合計です。二つの場合で負荷抵抗も変えて受電電力をそろえる点に注意します。

図2の A では、受電端の条件から

I = 600/120 = 5 A

線路の発熱電力は I²r = 5²・2 = 50 W です。線路の電圧降下は Ir = 5・2 = 10 V なので、送電端は 120 + 10 = 130 V です。送電電力は 130・5 = 650 W になります。

B では I = 600/240 = 2.5 A です。発熱は 2.5²・2 = 12.5 W、電圧降下は 2.5・2 = 5 V、送電端は 240 + 5 = 245 V、送電電力は 245・2.5 = 612.5 W です。

元の条件に戻すと、A の受電電力は 120・5 = 600 W、B は 240・2.5 = 600 W です。また 650 = 600 + 50、612.5 = 600 + 12.5 となり、それぞれ電力収支も合います。受電電圧が2倍になると受電電流は半分、同じ抵抗の発熱は4分の1です。一方、送電端の電圧比は 245/130 であり、ちょうど2倍ではありません。電圧降下が場合ごとに異なるためです。

別の見方では、受電電力と線路抵抗が固定なので発熱は r(Pᵣ/Vᵣ)² と表せます。受電電圧を2倍にしたときの比は (1/2)² です。この比の方法では個々の数値を出さずに比較できますが、送電端の値まで必要なら電流を求め直します。

標準例題：巻数比と線路をつなぐ

理想変圧器の一次巻数は 200 回、二次巻数は 800 回で、一次端子には実効電圧 100 V が加わります。二次端子から往復合計 4 Ω の抵抗線を通して抵抗負荷につなぎ、受電端の実効電圧が 360 V になる定常状態を考えます。電圧と電流は同相とし、線路以外の損失を無視します。二次電圧、線路電流、受電電力、線路の発熱電力、一次電流を求めてください。正確な数値を単位付きで答えます。

二次電圧は 100・800/200 = 400 V です。二次端子が送電端なので、線路の降下は 400 − 360 = 40 V です。よって I₂ = 40/4 = 10 A となります。受電電力は 360・10 = 3600 W、発熱は 10²・4 = 400 W です。二次の出力は 400・10 = 4000 W なので、一次電流は 4000/100 = 40 A です。

二次側に戻すと 3600 + 400 = 4000 W となり、入力 100・40 = 4000 W と一致します。電流の別解は I₁/I₂ = N₂/N₁ = 4 です。巻数比の式だけを使うと、二次電流そのものはまだ決まりません。ここでは端子間の電圧降下と線路抵抗がその値を決めています。

発展例題：送電端の条件が固定されたとき

実効電圧 100 V の送電端に、往復合計 1 Ω の抵抗線と 4 Ω の抵抗負荷を直列につなぎます。正弦波の定常状態で線路と負荷は純抵抗とします。実効電流、受電端の実効電圧、受電電力、線路の発熱電力を求めてください。正確な数値を単位付きで答えます。続いて負荷を 9 Ω に変え、同じ項目と電力収支を比べてください。

最初の合成抵抗は 1 + 4 = 5 Ω なので、電流は 100/5 = 20 A です。受電端は 20・4 = 80 V、受電電力は 20²・4 = 1600 W、発熱は 20²・1 = 400 W です。送電電力 100・20 = 2000 W が両者の和に一致します。

負荷を 9 Ω にすると、電流は 100/(1 + 9) = 10 A です。受電端は 90 V、受電電力は 900 W、線路の発熱は 100 W です。送電電力 1000 W も 900 + 100 W と一致します。この比較では受電電力が変化しています。受電電圧が上がったから発熱が必ず4分の1になったと説明することはできません。電流が半分になったことが、発熱が4分の1になった直接の理由です。

受電端の電圧だけを一定にして負荷抵抗を変える場合も、電流が変わるので発熱は変わります。何を固定する比較なのかを文章で指定することが、比例関係を使う前提になります。実際の変圧器や線路では巻線の抵抗、鉄心の損失、漏れ磁束、交流による位相差などもあり、この理想模型との差が生じます。これらの損失を無視しないとき、入力と負荷の電力が等しいという式は使えません。

測定を計画し、グラフを読む

学校の指導の下で、低電圧の交流源と測定器を使う模型を考えます。一次と二次の巻数を変え、両端子の実効電圧を測ります。一次電圧を固定し、二次巻数を横軸、二次電圧を縦軸に取れば、理想模型では原点を通る直線です。傾きは一次電圧を一次巻数で割った値です。負荷の接続や測定器の影響をそろえないと、巻数の効果と別の変化を区別できません。

線路損失の模型では、同じ受電電力を保つよう負荷と受電電圧を調整し、実効電流の二乗を横軸、線路の平均発熱電力を縦軸に置きます。線路抵抗が一定なら傾きは抵抗で、原点を通る直線を予想します。電流そのものを横軸にすれば放物線なので、傾きは一定ではありません。測定点が原点からずれたときは、計器の零点や周囲への熱の出入り、線路の温度変化による抵抗変化を考えます。測定器の読みの幅が小さな損失と同程度なら、その差を断定できません。

電圧計と電流計は実効値に対応する範囲で使い、読み取る位置と単位を記録します。電流を大きくすれば発熱して抵抗が変化し、一定抵抗の模型から外れる場合があります。同じ条件で測り直し、温度や測定器の影響を検討することが、式と測定を比べる手順です。危険な高電圧や家庭用電源を使う手順は必要ありません。

間違いの形から条件を戻す

図3のように、電圧が2倍なら電流も2倍とすると、実効値の積は4倍です。理想変圧器で同じ電力を渡すという条件と食い違います。電流の比を逆にする前に、一次と二次のどちらの電力を等しいと置くのか書くと修正できます。

図3の正しい比較は、力率1、同じ受電電力、同じ線路抵抗という条件付きです。電圧を2倍にすると電流は半分、発熱は4分の1です。電流も2倍という誤答は、電力が固定されている条件を落としています。逆に、負荷抵抗を固定してその両端の電圧を2倍にしたら、オームの法則により電流も2倍です。この場合の負荷電力は4倍になり、固定されているものが違います。

もう一つの誤答は、受電電力を求めるとき送電端の電圧を電流に掛けることです。その積は線路へ入る電力で、線路の発熱も含みます。線路を挟んだ両端に別々の記号を付け、電圧差 Ir と電力差 I²r を照合してください。片道の抵抗と往復の合計抵抗を取り違えたときも、電圧降下と発熱が同時に変わります。問題文に書かれた抵抗がどの区間の値か図の線に添えると防げます。

電圧比を二乗して損失が4倍とする誤答もあります。発熱の式に入るのは線路電流です。受電電力を固定すれば電流は電圧に反比例し、発熱はその二乗に比例するので逆向きの変化です。比を暗記するより、固定条件から I を先に求める方が異なる問題にも対応できます。

練習：条件を読んでから式を選ぶ

いずれも正弦波の定常状態で、変圧器は理想的、負荷と線路は純抵抗とします。電圧と電流は実効値です。線路抵抗は往復の合計で、記載以外の損失は無視します。答えは正確な数値と単位で示してください。

1. 一次巻数 150 回、二次巻数 450 回の変圧器に一次電圧 40 V を加え、二次側に 30 Ω の抵抗を直接つなぎます。二次電圧、二次電流、一次電流を求めてください。
2. 線路抵抗 3 Ω を通して受電端に 90 V、270 W を届けます。電流、線路の発熱電力、送電端の電圧と電力を求めてください。
3. 同じ受電電力と同じ線路抵抗で、受電電圧をもとの3倍にします。電流と線路発熱はそれぞれ何倍ですか。分数で答えてください。
4. 送電端が 72 V、線路抵抗が 2 Ω、負荷抵抗が 10 Ω です。電流、受電電圧、受電電力、線路発熱を求めてください。
5. 線路抵抗が 5 Ω、電流が 4 A で、送電端の電力が 400 W です。送電端と受電端の電圧、受電電力を求めてください。

解答と照合

1. 二次電圧は 40・450/150 = 120 V、二次電流は 120/30 = 4 A です。二次電力 120・4 = 480 W から一次電流は 480/40 = 12 A です。一次と二次の電力はともに 480 W で、二次に戻しても 4・30 = 120 V です。
2. 電流は 270/90 = 3 A、発熱は 3²・3 = 27 W です。降下は 3・3 = 9 V なので送電端は 99 V、送電電力は 99・3 = 297 W です。受電側に戻すと 90・3 = 270 W、収支は 297 = 270 + 27 W です。
3. Pᵣ = VᵣI で Pᵣ が一定なので電流は 1/3 倍です。抵抗が同じなら発熱は (1/3)² = 1/9 倍です。受電電圧の3倍と電流の1/3倍を掛けると、元の受電電力に戻ります。
4. 電流は 72/(2 + 10) = 6 A です。受電電圧は 6・10 = 60 V、受電電力は 60・6 = 360 W、線路発熱は 6²・2 = 72 W です。電圧は 60 + 12 = 72 V、電力は 360 + 72 = 432 W で送電端の 72・6 と一致します。
5. 送電端電圧は 400/4 = 100 V、線路の降下は 4・5 = 20 V です。受電端電圧は 100 − 20 = 80 V、受電電力は 80・4 = 320 W です。線路発熱 4²・5 = 80 W を足すと 400 W に戻ります。

覚えておくこと

• 理想変圧器の電圧比は巻数比、力率1の電力保存では電流比はその逆です。
• 線路の発熱は実効電流の二乗と往復抵抗の積です。
• 同じ受電電力なら受電電圧を上げると電流が減ります。
• 送電電力は受電電力と線路の発熱電力の和です。

どこで止まったかを見分ける

巻数比を逆にする場合は、巻数が多い方で誘導起電力が大きい理由を、共通の磁束と1巻きあたりの起電力から説明できるか確かめます。電流比で止まる場合は、矢印を付けた一次と二次の電力をそれぞれ書き、損失を無視する条件の下で等号を置けるかを見ます。式だけ合っていても、電圧を上げたとき電力が増えるという説明なら条件の理解に戻ります。

個別指導では、送電端と受電端を生徒自身に線で囲んでもらい、各端の電圧と電流から電力を求めます。次に線路の発熱を加えて収支を照合し、固定された量を変えた別の条件でも同じ結論になるかを尋ねます。図、式、言葉が一致すれば、送電損失の比較に必要な条件を自分で選べます。