高校物理 直流回路の電力収支—電源の供給と抵抗の発熱を各枝で確かめる｜武蔵野個別指導塾

負荷を変えたときの発熱と内部損失を比べ、最大値と効率の違いを追う電力収支。

よくあるのは、負荷の電力が最大になる条件を見つけた高校生が、そのとき電池の内部損失も零だと考える場面です。負荷が受け取る電力と、電源が送り出す電力は、同じ回路の中でも別の量です。内部抵抗にも電流が流れるなら、そこでの発熱を収支に入れなければなりません。負荷を変えた表を作り、どこに何 W が移ったかを追ってみましょう。

どの量を比べる問題か

直流回路の電力には、大きく分けて3つの問いがあります。各抵抗の発熱を足して電源の供給と照合する問い、内部抵抗を含む電池の端子電圧を求める問い、負荷を変えたときに負荷の電力が最大となる条件を探す問いです。いずれも最初に、電流が通る部品とその両端の電圧を対応させます。

電池の起電力と端子電圧を混同すると、外部に届く電力を過大に数えます。また、最大の電力と最大の効率は、分子だけを見るか割合を見るかという違いがあります。どちらを求めるかを問題文で確かめてから式を選びます。

電力の行き先を描く

電圧 V の両端を電荷 q が通るとき、電気的なエネルギーの移動は qV です。時間 t あたりの電荷は I=q/t なので、電力は P=VI となります。単位は V・A=W です。受け取る側では、電流が入る端の電位が高いとき VI が受け取る電力です。電源については電流が低電位側から高電位側へ進む場合、起電力による供給を正として数えます。

抵抗 R がオームの法則 V=IR に従うとき、同じ抵抗の V と I を使えば P=I²R=V²/R です。直列では電流が共通ですが電圧は一般に異なり、並列では両端電圧が共通ですが電流は一般に異なります。別の部品の電圧と電流を掛けても、その部品の電力にはなりません。抵抗が一定でない素子では、条件なしに V=IR を代入できません。

図1のように、起電力 E、内部抵抗 r、外部負荷 R を直列に置きます。導線の抵抗は無視し、電池の内部抵抗を一定とする定常状態です。電流は電池の正極から外部負荷を通る向きを正とします。電池内の理想的な起電力部分が EI を供給し、内部抵抗が I²r、負荷が I²R を熱に変えます。

閉路を一周すると E=I(r+R) です。これに I を掛ければ EI=I²r+I²R となり、1秒あたりの収支が得られます。端子電圧は V=E-Ir=IR です。電池全体の外へ出る電力 VI は、起電力部分が供給する EI から内部の発熱を引いたものです。図1の矢印はエネルギーの行き先を表し、電流の経路そのものを表す図ではありません。

基本例題：負荷を順に変える

起電力 12 V、内部抵抗 2 Ω の電池に抵抗 R をつなぎます。R を 1 Ω、2 Ω、4 Ω に変え、それぞれの電流、端子電圧、電源の供給電力、内部と負荷の発熱を求めてください。一定抵抗、理想導線、定常状態を仮定し、答えは整数または分数で単位を付けます。計算用の物理定数は必要ありません。

図2のように、3通りは別々の接続です。負荷を取り替えても起電力と内部抵抗は変わらないという模型で計算します。

一周の電位差から、各場合の電流は I=12/(2+R) A です。端子電圧は IR、各発熱はそれぞれ I²r と I²R で求めます。

例えば R=2 Ω では 12=3×(2+2) V と一周の電圧が戻り、36=18+18 W とエネルギーも戻ります。負荷の電力が3通りの中で最大のとき、内部発熱は零ではなく 18 W です。R=4 Ω では電圧が上がっても電流が減るため、負荷電力は下がります。電圧か電流の片方だけでは大小を決められません。

別解として、負荷の電力は端子電圧と電流の積でも求まります。R=4 Ω の行は 8 V×2 A=16 W で、抵抗の式と一致します。両式が合わないときは、端子電圧に起電力を代入していないか、同じ抵抗の値を使ったかを見直します。

標準例題：枝ごとの帳尻

起電力 10 V、内部抵抗 1 Ω の電池に、6 Ω と 3 Ω の抵抗を並列につなぎます。理想導線で定常状態とし、電池から外へ出る向きを電流の正方向とします。各枝の電流と発熱、内部発熱、供給電力を整数または分数で単位付きで求めてください。計算用定数は不要です。

並列部分の合成抵抗は 2 Ω なので、全電流は 10/3 A です。端子電圧は 20/3 V、6 Ω の枝は 10/9 A、3 Ω の枝は 20/9 A です。節点では 10/9+20/9=10/3 A となり、流入と流出が一致します。

発熱は順に 200/27 W、400/27 W、内部は 100/9 W です。供給は 100/3 W であり、200/27+400/27+100/9=100/3 W です。電圧についても内部の 10/3 V と外部の 20/3 V を足せば起電力に戻ります。並列の各枝に全電流を使う誤りは、この節点の確認で見つけられます。

別に、外部全体の電力を端子電圧と全電流の積 200/9 W で求め、枝の発熱の和と照合できます。ただし外部全体の電力だけでは各枝の内訳は決まりません。各枝に共通する電圧を使って分ける必要があります。

発展例題：最大電力と効率

起電力 18 V、内部抵抗 3 Ω の電池に正の可変抵抗 R を接続します。内部抵抗と起電力は一定、導線は理想、回路は定常とします。負荷の電力が最大となる R とその電力、内部発熱、供給電力、効率を整数または分数で単位付きで求めてください。効率は負荷電力を起電力部分の供給電力で割った値です。計算用定数は不要です。

負荷電力を変形します。R と r は正です。

P=E²R/(R+r)²

(R+r)²=(R-r)²+4Rr

(R+r)²≧4Rr

P≦E²/(4r)

等号は R=r のときです。したがって R=3 Ω、I=3 A、負荷電力は 27 W です。内部発熱も 27 W、供給は 54 W、効率は 1/2 です。実際に内部と外部の電圧は各 9 V で、電圧の和は 18 V に戻ります。供給 54 W は2か所の発熱の和にも一致します。

別解として、R/r を x と置くと P=(E²/r)・x/(1+x)² です。x と 1/x は同じ値を与え、x=1 を挟んで負荷を小さくしても大きくしても電力が減ります。最大であることの証明は、対称性だけでなく上の平方の非負を使うと明確です。

効率は I²R/(EI)=R/(R+r) です。R を大きくすると効率は1に近づきますが、電流は小さくなり、負荷電力は零に近づきます。最大電力の条件は、限られた供給量の中で最も無駄が少ない条件という意味ではありません。r=0 の理想電池にはこの有限の最大条件をそのまま使えません。R を零に近づけたとき模型の電流は大きくなり、実際の電源や抵抗の限界も考慮する必要があります。

測定とグラフで模型を確かめる

実験を計画するなら、学校の指導の下で、安全な定格の電源と抵抗を選び、電流計を直列、電圧計を負荷に並列につなぎます。複数の負荷について定常時の端子電圧と電流を測り、各組の積を計算します。抵抗の交換時には電源を切り、機器の許容範囲を超える接続を避けます。ここに挙げた数値は計算用であり、測定結果ではありません。

横軸を R、縦軸を負荷電力 P とするグラフは、正の R で増加して山を作り、再び減少します。軸に Ω と W を付け、原点と測定点を示します。離散的な測定点のうち最大のものが、そのまま真の最大値とは限りません。山の近くで間隔を細かく取ることが、位置を絞るための設計です。

電圧計や電流計は理想的とは限らず、接続によって回路を変えることがあります。抵抗の温度上昇による抵抗値の変化、電池の状態による起電力や内部抵抗の変化、読み取りの揺れも模型との差を生みます。繰り返し測ってばらつきを見て、電源が変化していないか接続順を変えて調べます。測定が不安定なら値をそのまま最大と断定せず、接触や定格を確認します。測定器の故障や時間切れで組が欠けた場合は、欠けた点を推測値で埋めず、残った範囲と未測定の範囲を区別します。

誤答を収支に戻す

図3のように、負荷の電力が最大なら内部発熱が零だと考える誤答は、電力が最大という条件を、損失が最小という別の条件に置き換えています。正の内部抵抗に電流が流れる限り I²r は正です。最大条件 R=r では、同じ電流が等しい抵抗を通るので発熱も等しくなります。

もう1つの誤りは、負荷の抵抗を大きくすれば I²R も必ず増えるとする考えです。この式で R を変えると I も変わります。逆に V²/R を見て R を小さくすれば必ず増えると考える場合も、負荷の V が一定ではない点を見落としています。図3の比較に進む前に、一周の式で I と V を求め直すと、変化する量を取り落としません。

端子電圧を E と置く誤りもあります。内部抵抗での電圧降下 Ir があるため、放電中は V=E-Ir です。E と I の積は起電力部分の供給であり、負荷の発熱とは異なります。どの両端の電圧かを回路図に書き込むと修正できます。

自分で試す5問

いずれも抵抗は一定、導線は理想、電池は定常状態です。電池から外部へ流れる向きを電流の正方向とします。答えは整数または分数と単位で表し、割合は分数にしてください。計算用定数は不要です。

1. 起電力 9 V、内部抵抗 1 Ω の電池に 2 Ω の負荷をつなぎます。電流、端子電圧、内部と負荷の電力、供給電力を求めてください。
2. 理想電源 8 V に 4 Ω と 12 Ω の抵抗を並列につなぎます。各枝の電流、各発熱、電源の供給電力を求めてください。
3. 起電力 20 V、内部抵抗 4 Ω の電池につなぐ正の負荷の電力を最大にします。負荷抵抗、負荷電力、内部発熱、効率を求めてください。
4. 起電力 15 V、内部抵抗 2 Ω の電池に 3 Ω と 5 Ω を直列につなぎます。電流と各抵抗の発熱、端子電圧を求めてください。
5. 起電力 6 V、内部抵抗 1 Ω の電池につなぐ負荷を 2 Ω から 5 Ω に変えます。両方の負荷電力と効率を求め、どちらが大きいかそれぞれ比べてください。

答えと途中の確認

1. I=9/(1+2)=3 A、端子電圧は 6 V です。内部は 9 W、負荷は 18 W、供給は 27 W です。内部の電圧 3 V と端子の 6 V を足すと 9 V、発熱の和も供給に戻ります。
2. 枝の電流は 2 A と 2/3 A です。発熱は 16 W と 16/3 W、供給は 64/3 W です。節点の全電流 8/3 A に 8 V を掛けると、枝の発熱の和と一致します。
3. 負荷抵抗は 4 Ω、電流は 20/8=5/2 A です。負荷電力と内部発熱はともに 25 W、供給は 50 W、効率は 1/2 です。各抵抗の電圧は 10 V で、一周して 20 V に戻ります。
4. I=15/(2+3+5)=3/2 A です。内部、3 Ω、5 Ω の発熱は順に 9/2 W、27/4 W、45/4 W です。端子電圧は 12 V です。内部の 3 V と外部の 12 V の和は 15 V、発熱の和は供給 45/2 W と一致します。
5. 2 Ω では電流 2 A、負荷電力 8 W、効率 2/3 です。5 Ω では電流 1 A、負荷電力 5 W、効率 5/6 です。負荷電力は前者、効率は後者が大きくなります。それぞれ内部発熱を加えると 12 W、6 W となり、各供給電力に戻ります。電圧降下の和もそれぞれ 6 V です。

覚えておくこと

電力 VI は同じ部品の電圧と電流を対応させます。 抵抗では I²R と V²/R も使えます。 電源の供給は内部発熱と外部への供給に分かれます。 内部抵抗が正で一定なら、負荷電力は R=r で最大です。 最大電力と効率の最大化は異なる問いです。

式が止まった場所を見分ける

数値を入れる前に、負荷の両端と電池の起電力部分を図に指せるか確認します。図は描けるのに枝の電流が合わない場合は、節点で流入と流出を並べます。式が立っていても電力の和が合わなければ、どの電圧と電流を掛けたかを部品ごとにたどります。

個別指導では、負荷を変えた後も一定の量と変わる量を、本人の言葉と式の両方で説明できるかを確かめます。最大の理由を平方の非負から述べ、最後に得た値を電圧と電力の収支へ戻せれば、計算結果の意味まで点検できます。電力の行き先を数えれば、最大という言葉の中身が見えてきます。