高校物理 電池の端子電圧—放電と充電で内部抵抗の電位差を考える｜武蔵野個別指導塾

放電と充電での内部抵抗の電位差やグラフの傾きから、符号の違いが見えてくる電池の端子電圧です。

よくあるのは、充電中の電池を含む回路で、高校生が端子電圧を起電力から内部抵抗の電圧を引いて求める場面です。放電の式を覚えていても、電流が逆向きになった事実を式に反映しなければ、電位の上がり下がりが逆になります。電池の両端を同じ向きに測り、内部をたどる道筋と電流の向きを図に書き込んでみましょう。

要点（結論から）

• 端子電圧は正極と負極の電位差で、起電力とは測る対象が異なります。
• 放電方向を正に取れば、符号付き電流についてV=E-rIです。
• 開放ではV=E、充電ではIが負なのでVはEより大きくなります。

どの向きで電位を数えるか

問題の出方は大きく3通りあります。1つ目は外部の抵抗につながれた電池の電流と端子電圧を求める問題です。2つ目は別の電源によって電池に電流を押し込み、充電中の端子電圧を求める問題です。3つ目は電流と電圧のグラフから起電力や内部抵抗を読む問題です。いずれも電流の向き、電位差の向き、電池をどの範囲で見るかが判断の焦点です。

電池の正極をP、負極をNとし、端子電圧を常にV=V(P)-V(N)とします。電流Iは電池の内部をNからPへ流れる向きを正に取ります。放電ではIが正、充電ではIが負です。この取り決めを先に書けば、式の符号をその場の印象で選ばずに済みます。電池の模型は起電力と内部抵抗が一定の直列回路です。実際の電池では状態や温度によって模型の値が変化し得るので、一定とする範囲を確認します。

起電力と端子電圧の違い

起電力Eは、理想的な電源の内部で単位電荷あたりに与えられるエネルギーです。単位はVです。端子電圧Vは外から測るPとNの電位差であり、電流が流れると内部抵抗rの電位差の分だけEと異なります。起電力を抵抗にかかる電圧と同一視しないことが出発点です。

図1のようにNからPへ内部をたどります。理想電源では電位がE上がり、抵抗では正向き電流Iに沿ってrI下がります。したがって、電流を符号付きで扱えば次の式が放電と充電に共通です。

V = E - rI

図1の抵抗で逆向きに進む場合は、電位が上がります。例えば充電電流の大きさをJとするとI=-Jなので、V=E+rJです。正極に電流が流れ込むには、外部から正極を起電力より高い電位に保つ必要があります。I=0の開放時は抵抗での電位差が零なのでV=Eです。開放していても端子間の電位差が零とは限りません。

この式はエネルギーからも確かめられます。放電中に時間tで正電荷Itを内部で送ると、理想電源が与えるエネルギーはEIt、内部抵抗の発熱はrI²t、外部へ渡すエネルギーはVItです。EIt=VIt+rI²tをItで割ると同じ式が出ます。充電では外部からVJtを受け取り、そのうちEJtが理想電源に蓄えられる側のエネルギー、rJ²tが発熱です。VJt=EJt+rJ²tとなり、V=E+rJです。抵抗の発熱は電流が逆でも正です。

基本例題：負荷をつないだ端子

起電力E=12 V、内部抵抗r=1 Ωの一定の電池に、抵抗R=5 Ωを接続します。導線の抵抗は無視し、定常状態とします。負極Nを0 Vとし、放電電流と端子電圧をそれぞれ整数と単位で求めてください。数値は学習用に設定したものです。

図2のように外部抵抗を流れる電流と電池内部を流れる電流は同じ大きさです。閉回路を電流方向に回ると、電源で12 V上がり、内部と外部の抵抗でそれぞれ電位が下がります。

12 - 1I - 5I = 0
I = 2 A
V = 12 - 1・2 = 10 V

図2のPはNより10 V高く、外部抵抗についてもV=5・2=10 Vです。電池の内部で1 Cあたり12 Jを受け取った電荷は、内部で2 J、外部で10 Jを渡します。電力でも24 W=4 W+20 Wです。負荷の両端が10 Vで、2 A流れるという元の場面に答えを戻して確かめられます。

別解では外部抵抗の関係V=RIと電池の関係V=E-rIを連立します。両者のVは同じ端子間の電位差なので、5I=12-Iです。この方法は回路を一周する代わりに、同じ2点の電位差を2通りで表します。どちらも接続が直列で定常という条件が必要です。

電流を逆転させる例題

起電力9 V、内部抵抗2 Ωの電池を、起電力15 Vの理想電源と抵抗4 Ωにつなぎます。両電源の正極が抵抗を介して向かい合い、負極同士は理想導線でつながれています。定常状態で、電池に入る電流の大きさと電池の端子電圧を整数と単位で求めてください。

15 V側が電池に電流を押し込みます。充電電流の大きさをJとすると、一周の電位差は15-4J-2J-9=0です。よってJ=1 A、電池の端子電圧は9+2・1=11 Vです。外部の抵抗の電圧は4 Vなので、15 Vの電源から抵抗を通って11 Vの電池端子へ下がる場面にも一致します。

エネルギーの見方では、1秒あたり外部電源の15 Jのうち、外部抵抗が4 J、電池内部の抵抗が2 Jを熱に変え、残り9 Jが理想電源に渡ります。電池の端子で受け取るのは11 Jです。起電力9 Vと端子電圧11 Vとの差は、充電を押し込むための内部抵抗の電位差です。

もし外部電源を9 Vに替えれば、この模型では電流が零となり、端子電圧は9 Vです。さらに外部電源が9 Vより小さければ、元の仮定と逆に電池が放電します。電流の向きを決めずに充電用の式へ正の値を入れ続けると、この境目を見落とします。向きを仮定して負の答えが出た場合は、仮定を逆転させて大きさを読み直します。

直線から内部抵抗を読む例題

一定の模型について、放電方向を正とする電流Iが0.50 Aのとき端子電圧は7.0 V、Iが1.5 Aのときは5.0 Vでした。値は自作の模型データです。Eとrを有効数字2桁で求め、I=-0.50 AのときのVを同じ桁数で求めてください。I-Vの関係がこの範囲で直線とします。

電圧の変化を電流の変化で割ると、傾きは(5.0-7.0)/(1.5-0.50)=-2.0 V/Aです。縦軸をV、横軸をIとした直線の傾きは-rなので、r=2.0 Ωです。切片はE=7.0+2.0・0.50=8.0 Vです。充電側はV=8.0-2.0・(-0.50)=9.0 Vです。

答えを2点へ戻すと、8.0-2.0・0.50=7.0 V、8.0-2.0・1.5=5.0 Vです。負の電流では抵抗による上昇が1.0 Vとなり、9.0 Vになります。傾きを正と誤読したり、軸を入れ替えたグラフからそのまま抵抗を読んだりしないよう、縦の変化量を横の変化量で割ります。Iを縦軸にすると傾きは-1/rであり、rそのものではありません。

測定を設計するなら、学校の指導の下で安全な教材を用い、電流と端子間電圧を同時に複数点記録します。開放時の電圧に近い切片と、離れた複数点の傾きとを照合します。電圧計にわずかな電流が流れる影響、接触部分の抵抗、温度や電池の状態の変化は、求めた傾きを模型の内部抵抗と一致させにくくします。点が直線から系統的に外れる場合は、値を無理に1本の直線に押し込めず、一定のrという前提を見直します。測定値の散らばりが大きい場合も、差の小さい2点だけで傾きを決めると相対的な誤差が大きくなります。

引き算をいつ使うか

図3のように、同じ電池でも放電と充電では内部抵抗を通る電流の向きが逆です。NからPへ進むとき、放電では抵抗で電位が下がり、充電では上がります。端子電圧の向きは両方でPからNの差として固定しています。

誤答の一例は、充電電流の大きさJを正のままV=E-rJに代入するものです。この式のIは放電向きを正とした符号付き電流なので、充電ならI=-Jを入れます。修正するとV=E+rJです。図3の電位の上昇をたどり、結果がEより大きいことも確認します。

別の誤りは、開放時に電流が零だから電圧も零とすることです。零なのは内部抵抗の電位差rIであり、理想電源による電位の上昇Eは残ります。また、端子電圧がEより大きいことを電池がエネルギーを作り出した証拠と考えるのも誤りです。充電では外部電源がエネルギーを渡し、内部抵抗で一部が熱になります。

正負を間違えた答案を直す際は、まずPとN、V(P)-V(N)、正の電流方向を余白に書きます。次に抵抗では実際の電流方向へ進むと電位が下がることを記します。電源では負極から正極へ進むとEだけ上がります。この2つをたどってから式を書くと、公式の符号を丸暗記する必要がありません。

練習：条件を変えた5問

以下はすべて一定の起電力と内部抵抗を持つ模型です。導線の抵抗を無視し、定常状態とします。電流の正方向は電池内部の負極から正極、端子電圧は正極の電位から負極の電位を引いた値です。答えは整数または指定された小数と単位で表してください。

1. 起電力18 V、内部抵抗3 Ωの電池に6 Ωの抵抗をつなぎます。放電電流と端子電圧を整数で求めてください。
2. 起電力4 V、内部抵抗0.5 Ωの電池に、正極から2 Aを流し込んで充電します。端子電圧を整数で求めてください。
3. 開放した電池の端子電圧が6 Vでした。内部抵抗が2 Ωの模型として、外部抵抗4 Ωをつないだときの電流と端子電圧を整数で求めてください。
4. 電流が放電向きに1 Aのとき端子電圧が13 V、3 Aのとき9 Vの電池があります。起電力と内部抵抗を整数で求めてください。
5. 起電力10 V、内部抵抗1 Ωの電池の正極と、起電力7 Vの理想電源の正極を2 Ωの抵抗でつなぎ、負極同士を導線でつなぎます。電池の電流の向きと大きさ、端子電圧を整数で求めてください。

解答と照合

1. 18=(3+6)IからI=2 Aです。V=18-3・2=12 Vです。外部抵抗でも6・2=12 Vであり、電源の36 Wは内部の12 Wと外部の24 Wに分かれます。
2. 充電なのでI=-2 Aです。V=4-0.5・(-2)=5 Vです。1秒あたり端子から10 Jを受け、理想電源へ8 J、内部抵抗の熱へ2 Jが渡ります。合計は元の端子電圧と電流に合います。
3. 開放時はI=0なのでE=6 Vです。接続後はI=6/(2+4)=1 A、V=6-2・1=4 Vです。外部抵抗の4 Ωに1 Aを流す電圧も4 Vであり、開放時と接続後の状態の違いを確認できます。
4. 電流が2 A増えると電圧が4 V下がるのでr=4/2=2 Ωです。E=13+2・1=15 Vです。もう一方にも戻すと15-2・3=9 Vで、両方の条件に合います。
5. 大きい起電力の電池が放電します。I=(10-7)/(1+2)=1 A、V=10-1・1=9 Vです。端子から2 Ωの抵抗で2 V下がると、相手の正極の7 Vに一致します。1秒あたり10 Jは内部の1 J、外部抵抗の2 J、相手の理想電源へ渡る7 Jに分かれます。

要点

• 端子電圧は正極と負極の電位差で、起電力とは測る対象が異なります。
• 放電方向を正に取れば、符号付き電流についてV=E-rIです。
• 開放ではV=E、充電ではIが負なのでVはEより大きくなります。
• Vを縦軸、放電方向のIを横軸にした直線は切片E、傾き-rです。
• 抵抗の発熱と電源が渡すエネルギーを含め、場面へ答えを戻して照合します。

答えのどこで迷ったかを見る

式が立たない場合は、電池内部を負極から正極へたどる矢印を描き、電源と抵抗のどちらで電位が上がるかを口に出して確認します。式は立つのに充電の符号が合わない場合は、正方向と実際の電流方向が一致しているかを見ます。計算結果が正しくても説明が曖昧なら、端子で受け取るエネルギーと抵抗の発熱を分けて表せるかを確かめます。

個別指導では、まず同じ端子電圧を外側の抵抗からも電池内部からも表せるかを見ます。次に電流を逆向きにした図を渡し、どの項の符号が変わるかを説明してもらいます。グラフでは軸の向きと単位を先に指し、切片と傾きを式と結び付けます。電位をたどる向きを固定すれば、充電と放電の境目も同じ図の上で読めます。

電池の模型が使えるかどうかは、計算前にも確認できます。電流が一定でない切替直後や、電池の状態が測定中に大きく変わる場合には、一定のEとrから得た直線をそのまま長い時間にわたって当てはめられません。問題で定常状態と一定の値を指定しているのは、電流と端子電圧を同じ時点の関係として比較するためです。電流の大きさを2倍にしたとき端子電圧そのものが2倍になるわけでもありません。増えるのは内部抵抗の電位差の大きさであり、起電力という切片が残るためです。

グラフの延長にも注意します。放電側の直線を端子電圧が零になるまで延ばすと、模型上の横軸との交点はE/rです。しかし、測定した範囲の直線がそこまで成立するとは限りません。これは式の読み取りであって、実際に端子を直接つなぐ操作の指示ではありません。値の推定と現実の操作を区別し、測定範囲内の点で模型を検討します。