高校物理 レンズの焦点距離測定—物体とスクリーンの距離から二つの結像位置を調べる｜武蔵野個別指導塾

固定した物体とスクリーンの間で結像位置が2つ現れる条件と測定誤差から求めるのは焦点距離です。

よくあるのは、物体とスクリーンを固定すると、鮮明な像を作るレンズの位置は1つだと考える場面です。レンズを物体から遠ざけながら像を探すと、ある位置で大きな倒立像が現れ、さらに進めた位置で小さな倒立像が現れることがあります。同じ焦点距離のレンズなのに、なぜ2か所でピントが合うのでしょうか。物体側と像側の距離を入れ替えても成立する関係から、2つの位置の間隔を測って焦点距離を求めます。像が見つからない条件や、2位置が近くて判別しにくい場合も考えます。

固定した両端から何を測るか

問われる型は、物体とスクリーンの距離と2つのレンズ位置から焦点距離を求める問題、2位置が存在する条件を調べる問題、測定値のずれが結果に及ぼす影響を考える問題です。まず物体からレンズまでの距離とレンズからスクリーンまでの距離を区別し、その和が固定されることを使います。次に両者を入れ替えた配置も条件を満たすと示します。最後に、求めた値で元の位置へ像が結ばれるか戻して確かめます。

扱うのは空気中の薄い単一の凸レンズです。光軸に近く、光軸となす角が小さい光線を使う近軸の範囲で考えます。物体は光軸に垂直に置き、スクリーンも光軸に垂直です。レンズの厚さや収差は理想化し、距離は薄いレンズの中心から測ります。複数のレンズを組み合わせた装置は扱いません。

距離の交換から式を導く

実物体からレンズまでを a、レンズから実像までを b、凸レンズの焦点距離を f とします。実物体の a、実像の b、凸レンズの f は正です。薄いレンズの関係式と、向きを含む倍率 m は次のように表せます。

1/a + 1/b = 1/f

m = -b/a

この関係式は a と b を交換しても変わりません。したがって、物体とスクリーンの間隔を L として a + b = L を保てば、ある結像位置での距離が a、b のとき、別の位置では b、a となります。倍率はそれぞれ -b/a、-a/b です。両者が異なれば一方は拡大、もう一方は縮小で、どちらも倒立です。

図1のようにレンズ位置を物体に近い側から x₁、x₂ とします。x₁ と x₂ は物体を原点とし、スクリーンへ向かう向きを正に測った座標です。2位置間の距離を d = x₂ − x₁ とすると、x₁ = a、x₂ = b と置けます。ただしこの段落では a < b です。

図1では、上段のレンズからスクリーンまでが b、下段の物体からレンズまでが b です。同様に残る2区間が a です。したがって L = a + b、d = b − a から、a = (L − d)/2、b = (L + d)/2 です。レンズの式を通分すると f = ab/(a + b) なので、代入して次の測定式を得ます。

f = (L² − d²)/(4・L)

この式は2位置が実際に存在し、同じ物体面とスクリーン面について距離を測った場合に使います。2つの目盛りの差 d を使うので、両位置の座標に共通する原点のずれは差を取ると消えます。一方、L に使う物体面とスクリーン面の位置の読み違いは残ります。

2位置の有無は別の方法でも調べられます。b = L − a を代入して ab = fL、つまり a・(L − a) = fL です。左辺は L²/4 − (a − L/2)² と変形できます。この値の最大は a = L/2 のときの L²/4 です。よって L > 4f なら左右対称な2位置、L = 4f なら中央の1位置、L < 4f なら実像をスクリーン上に結ぶ位置はありません。等号では2解が一致し、位置間隔は0です。光が通らないという意味ではなく、その固定距離で鮮明な実像面がスクリーンと一致しないという意味です。

基本例題：2か所を測って焦点距離へ

物体とスクリーンを光軸上で 100 cm 離して固定します。薄い凸レンズを両者の間で動かすと、物体から 20 cm と 80 cm の位置でそれぞれ鮮明な像ができました。近軸の条件を満たすものとして、焦点距離と各位置での向きを含む倍率を求めてください。答えは cm と分数で正確に表します。

図2のように物体からの座標をそろえ、2位置の差を先に取ります。レンズの位置は2つとも物体とスクリーンの間にあります。

図2から L = 100 cm、d = 80 − 20 = 60 cm です。測定式に代入すると、

f = (100² − 60²)/(4・100) = 16 cm

となります。物体に近い位置では a = 20 cm、b = 80 cm ですから、m = -80/20 = -4 です。もう一方では a = 80 cm、b = 20 cm なので m = -20/80 = -1/4 です。負号は物体に対して倒立していることを示し、絶対値が像の大きさの比です。

検算では 1/20 + 1/80 = 5/80 = 1/16 となり、焦点距離 16 cm と一致します。距離を入れ替えても和は変わらず、像の位置は物体から 20 + 80 = 100 cm です。したがって両方とも固定スクリーンに像を結びます。倍率の積も 1 となり、大きい像と小さい像の対応を確かめられます。

別解では2位置の差を使わず、どちらか一方について f = ab/(a + b) に 20 cm と 80 cm を入れます。2位置法の利点は、同じ両端について交換された位置が見つかったかを照合できる点です。2回の位置の測定から得た距離が入れ替わらなければ、物体面やスクリーン面が動いていないか、像の鮮明さの判定が同じかを見直します。

標準例題：一致する境界を判定する

焦点距離が正確に 12 cm の薄い凸レンズを使います。物体とスクリーンの距離 L が 60 cm、48 cm、40 cm の各場合について、結像位置の個数と、存在する場合の物体からの位置を cm 単位で正確に求めてください。近軸の条件を満たすものとします。

境界は 4f = 48 cm です。L = 60 cm では2位置があります。d² = L² − 4fL = 3600 − 2880 = 720 なので d = 12√5 cm です。位置は (L − d)/2 と (L + d)/2 ですから、30 − 6√5 cm と 30 + 6√5 cm です。√5 < 5 より両方とも0と60の間にあります。

L = 48 cm では中央の 24 cm に2位置が重なります。a = b = 24 cm とすると 1/24 + 1/24 = 1/12 で、スクリーンにも届きます。L = 40 cm では 40 < 48 ですから結像位置はありません。a・(40 − a) の最大は 400 cm² ですが、結像には fL = 480 cm² が必要で、条件を満たせないからです。

60 cm の場合も、2距離の和は 60 cm、積は 30² − (6√5)² = 720 cm² です。したがって積を和で割ると 12 cm となり、元のレンズに戻ります。平方根の式を途中で丸めないことが、境界付近で位置を判定するときにも役立ちます。

発展例題：像の大きさから距離を求める

薄い凸レンズについて、物体とスクリーンを 90 cm 離して固定すると、2位置で鮮明な像ができました。物体に近い位置で、倒立像の高さの絶対値は物体の高さの2倍です。近軸の条件を満たすとして、2つの結像位置と焦点距離を cm 単位の分数で正確に求めてください。

物体に近い位置の距離を a、b とすると、倍率の絶対値から b/a = 2 です。a + b = 90 cm と合わせると a = 30 cm、b = 60 cm です。位置は物体から 30 cm と 60 cm、焦点距離は f = 30・60/90 = 20 cm です。もう一方の倍率は -1/2 です。

別解として、2位置間の距離 d = 60 − 30 = 30 cm を用いれば、f = (90² − 30²)/(4・90) = 20 cm です。元の条件に戻すと、30 cm の位置ではスクリーンまで 60 cm あり、倍率は -2 です。60 cm の位置では残りが 30 cm で倍率は -1/2 です。いずれも 1/a + 1/b = 1/20 を満たします。像の高さの絶対値だけを指定したので、倒立の負号を答案で付け忘れないようにします。

測定の設計とグラフの読み方

紙上で実験を設計するときは、明るい物体の同じ面とスクリーンの受光面を基準にし、両者を固定します。光軸上にレンズを置き、近軸の条件を満たす範囲でレンズを移動して、像が最も鮮明な2位置をそれぞれ記録します。実際に光源や器具を使う実験は学校の指導の下で行い、強い光を直接見ないようにします。レンズ面からの距離の読みと、像が鮮明と判断できる位置の幅は別に記録します。

鮮明な位置が幅を持つとき、1点だけを断定せず、その幅の両端を測定の不確かさとして残します。2位置が近いと像の変化も見分けにくく、2つの範囲が重なることがあります。この場合は d が小さいと見込めても、2位置を精密に分離した値として扱えません。L を大きくして再測定すれば位置間隔は広がりますが、装置の長さや像の明るさにも制約があります。スクリーンを動かしてしまった場合は固定した L の条件が崩れるため、位置の組を測り直します。

測定式を変形すると d² = L² − 4fL、さらに d²/L = L − 4f です。横軸に L、縦軸に d²/L を同じ長さの単位で取れば、理想条件で傾き1の直線になります。縦軸切片は -4f ですが、実際の測定点は L ≥ 4f の範囲に限られます。観測していない負の縦軸切片への延長には、点のばらつきに伴う不確かさがあると考えます。横軸との交点は L = 4f で、2位置が重なる境界です。距離の単位を混ぜたり、d そのものを縦軸に取った曲線を直線として読んだりしないことが必要です。

例えば L の読みを固定して d を大きく読み違えると、式の引く項が大きくなり、求めた f は小さくなります。2位置がそれぞれ反対向きにずれれば d の誤差は広がります。反対に両位置を同じ向きに同じ量だけ読み違えれば d は変わりません。ただしこの相殺は L の測定誤差や、異なる方向の読み違いまで消すものではありません。

誤答を距離の図に戻す

基本例題で「20 cm の位置だけが答えで、80 cm はスクリーンまでの距離だから別の位置ではない」とする誤答を考えます。確かに20 cm の位置からスクリーンまでは80 cmです。しかしその80 cmを物体から測った別の位置に置くと、今度はスクリーンまで20 cmになります。2つの距離が交換されてもレンズの式は変わりません。

図3のように各レンズ位置から両端までの距離を書き込みます。上段と下段の左右の数を交換し、和がどちらも100 cmであることを確認します。

図3では両方の積も 1600 cm² です。積を和で割れば、どちらも焦点距離 16 cm に戻ります。原因は距離の数値と、その数値を測る始点を混ぜたことです。修正するときは物体からの座標とレンズからスクリーンまでの距離を別々に記入し、位置の候補が0と L の間にあるかも確認します。

もう一つの誤答は、L < 4f のとき測定式に任意の d を代入し、存在しない2位置を作ることです。測定式を逆に使うなら d² = L・(L − 4f) です。L が正で L < 4f なら右辺が負となり、実数の距離 d はありません。計算の前に結像条件を判定し、像が見つからない結果も条件と照らして扱います。

練習：位置と条件を自分で判定する

各問で空気中の薄い凸レンズと近軸の条件を仮定し、長さは指定した単位で正確に表してください。光軸上の座標は物体を0、スクリーンの方向を正とします。

1. 物体とスクリーンの距離が 72 cm で、2つの結像位置の間隔が 24 cm です。焦点距離を cm 単位の分数で求めてください。
2. 焦点距離 10 cm のレンズで、物体とスクリーンの距離を 40 cm にしました。結像位置の個数、物体からの位置、向きを含む倍率を求めてください。位置は cm 単位で表します。
3. 焦点距離 15 cm のレンズで、物体とスクリーンの距離を 50 cm にしました。両者の間を動かしてスクリーン上に鮮明な像を結べますか。理由も答えてください。
4. 物体とスクリーンの距離が 80 cm で、物体に近い結像位置での倍率が -3 です。2つの位置と焦点距離を cm 単位で求めてください。
5. 物体とスクリーンを 125 cm 離した測定で、結像位置の座標を 25 cm と 100 cm と読みました。後で後者の読みが正しくは 97 cm と判明したとします。修正前後の焦点距離を cm 単位の分数で求め、どちらが大きいか答えてください。L と前者の読みは正しいものとし、測定値には読みのずれが残るものとします。

練習の答えと確認

1. f = (72² − 24²)/(4・72) = 16 cm です。2位置は (72 − 24)/2 = 24 cm と (72 + 24)/2 = 48 cm です。24 cm と48 cm の積を和72 cmで割ると16 cmに戻り、両位置とも両端の間です。
2. L = 4f なので中央の1位置、20 cm です。a = b = 20 cm より倍率は -1 です。1/20 + 1/20 = 1/10 で、像は物体から 20 + 20 = 40 cm のスクリーンにあります。
3. 結べません。L = 50 cm は 4f = 60 cm より小さいからです。別に、a・(50 − a) の最大は 625 cm² ですが、必要な fL は 750 cm² なので一致しません。これは固定したスクリーン上で結べないという判定です。
4. 近い位置では b/a = 3、a + b = 80 cm なので a = 20 cm、b = 60 cm です。位置は20 cmと60 cm、f = 20・60/80 = 15 cmです。近い位置の倍率は -60/20 = -3、もう一方の倍率は -1/3 で、両方の距離の和は80 cmです。
5. 修正前の d は75 cmなので f = (125² − 75²)/(4・125) = 20 cmです。修正後の d は72 cmなので f = (125² − 72²)/(4・125) = 10441/500 cmです。後者が大きくなります。間隔を保って中央に対称に置いた推定距離は 53/2 cm と 197/2 cm で、和は125 cm、積を和で割ると 10441/500 cmです。正確な理想モデルでは2位置の座標の和は125 cmとなるため、25 cmと97 cmは厳密な結像位置としては両立しません。実測値としてはずれを含み、計算値は位置間隔からの推定値です。

手元に残す要点

L = a + b、d = b − a として f = (L² − d²)/(4・L) です。 L > 4f で2位置、L = 4f で1位置、L < 4f で結像位置はありません。 2位置では物体距離と像距離が交換され、倍率は互いに逆数です。 測定値は基準面と不確かさを記し、求めた距離を元の配置へ戻して照合します。

どこで止まったかを見分ける

2位置の存在が見えない場合は、固定された両端の図に a と b を書き、交換後も和と積が変わらないか説明してみます。式は作れるのに位置を誤る場合は、物体からの座標とスクリーンまでの残りの距離を別の矢印で示します。境界で迷う場合は a・(L − a) の最大値を平方完成し、等号で何が一致するか言葉にします。

個別に確認するときは、数値を代入する前の図、L と d の測り方、像が見つからない条件を順に見ます。測定値が理想の交換関係から外れたときに、そのまま厳密な2解と扱っていないかも確かめます。焦点距離の値には、位置を測った配置とその精度が映ります。