高校物理 力学 単振り子の周期測定—長さと周期の二乗の関係から誤差の原因を見分ける｜武蔵野個別指導塾

支点からおもりの中心までの長さと多周期の計時を比べ、直線の切片から測定のずれに迫る単振り子の周期測定。

振り子の長さを定規で測るとき、糸の終わりで目盛りを読んでしまう場面があります。例えば高校生が支点から球形のおもりの上端までを長さとして記録すると、周期を決める長さより短くなります。周期の二乗を長さに対して並べたとき、こうしたずれはグラフにどんな形で表れるのでしょうか。

周期の式に数値を入れる前に、何を測り、何を近似し、直線のどの部分を読むのかを順に考えます。理想的な単振り子と小さい振れ角を用い、振幅が大きい場合の厳密な周期は扱いません。

測定から生まれる3つの問い

1つ目は、長さから周期を求める問いです。軽く伸びない糸の先に小さいおもりをつけ、固定された支点の周りに鉛直面内で小さく振れるとします。支点からおもりの重心までの距離を長さとし、空気抵抗や支点の摩擦は無視します。球が一様なら重心は球の中心です。

2つ目は、複数回の往復を計時して周期に直す問いです。端から反対側の端へ行って戻るまでが1周期です。同じ位置を通っても進行方向が逆なら半周期しかたっていません。開始と終了の位置と向きをそろえ、数えた周期数で経過時間を割ります。

3つ目は、長さと周期の二乗のグラフから傾きや切片を読む問いです。理想式が有効で長さが正しく測れていれば原点を通る直線が予想されます。ただし測定点にばらつきがあることと、原点からの系統的なずれがあることは別です。原点を通る直線を先に決めてしまうと、長さの測り方のずれを見落とすことがあります。

支点から中心までを変位と結びつける

図1のように、支点Oから重心Pまでの長さをL、鉛直下向きからの角をθとします。おもりの質量をm、重力加速度の大きさをgとし、角度はラジアンで表します。鉛直下向きの位置をつり合いの位置とし、そこから円弧に沿って測った符号つき変位をsとすれば、s = Lθです。右側を正に選ぶと、右にあるおもりを左へ戻す重力の接線成分は負になります。

図1の糸の張力は支点方向であり、円弧の接線方向には成分を持ちません。重力mgの接線成分は -mg sin θです。したがって接線方向の加速度をaとすると、運動方程式は ma = -mg sin θ です。張力と重力はおもりに働く力であり、復元力という別の力を追加するわけではありません。

角度の絶対値が十分小さいとき、ラジアンで測れば sin θ は θ に近くなります。この近似を用いると、

ma ≒ -mgθ
a ≒ -(g/L)s

となります。加速度が変位に比例し、その向きが常に変位と反対なので、近似的に単振動です。単振動の角振動数をωとすると a = -ω²s ですから、ω² = g/L、周期Tは次の式になります。

T = 2π√(L/g)
T² = (4π²/g)L

これは小角近似と理想化の下での式です。質量mは運動方程式の両辺から消えるため、この模型では周期に現れません。長さを4倍にすると周期は2倍、重力加速度を4倍にすると周期は半分です。L/gの単位はs²なので、平方根の単位はsとなり、周期の次元とも合います。

球の上端までの距離を糸の長さとして読んだ場合、支点と結び目の位置に加え、球の半径分を足して重心まで測る必要があります。実際のおもりが大きかったり糸に質量があったりすると、全体を一点に質量が集中した模型で表す近似にも限界があります。長さの読みの修正と模型そのものの適用範囲を区別しましょう。

基本例題：複数回の往復を測る

小さく振れる単振り子で、支点から一様な球のおもりの中心までの長さを1.00 mとします。重力加速度は計算用に9.80 m/s²、πは3.14とします。理想式による周期を有効数字3桁で求め、20周期にかかる時間も有効数字3桁で求めてください。途中では丸めません。

図2のように、左端から出発して右端を経て左端へ戻ると1周期です。同じ状態への戻りを20回数えるという条件を先に固定します。

周期の式に代入します。

T = 2 × 3.14 × √(1.00/9.80) s
T ≒ 2.01 s
20T ≒ 40.1 s

正確には途中の値を保持して20倍しています。表示した2.01 sを先に20倍すると40.2 sとなり、最後の桁が変わります。答えを戻して確かめると、丸め前の周期の二乗は 4 × 3.14²/9.80 s²であり、長さ1.00 mに対する式と一致します。20周期は同じ状態への帰着を20回数えた時間で、半往復を20回数えた時間ではありません。

標準例題：直線の傾きから求める

小角近似が成り立つ自作の練習用データとして、長さLと周期の二乗T²がそれぞれ (0.50 m, 2.0 s²)、(1.00 m, 4.0 s²) の2点を通る直線上にあるとします。π² = 10と近似し、傾きをs²/m、重力加速度をm/s²で求めてください。答えは整数とします。

横軸をL、縦軸をT²とすれば傾きAは縦の増加量を横の増加量で割ったものです。

A = (4.0 - 2.0)/(1.00 - 0.50) s²/m
A = 4 s²/m
A = 4π²/g
g = 40/4 m/s²
g = 10 m/s²

傾きの逆数に4π²を掛ける点に注意します。答えを式に戻すと T² = 4L となり、0.50 mで2.0 s²、1.00 mで4.0 s²を再現します。切片もこの2点から0と求まります。単位のない数値だけで割り算すると、傾きとその逆数を取り違えたままになりがちです。

別の求め方として、この直線が原点を通ることを確認してから、1点について T²/L = 4 s²/m としても同じです。しかし切片があるデータでは、1点のT²/Lは直線の傾きとは一般に一致しません。2点間の増加量から傾きを求める方法は、切片があっても直線なら使えます。

発展例題：上端を測ったときの切片

同じ一様な球を使い、支点から球の上端までの距離をxと記録しました。球の半径は一定で、真の長さは L = x + r です。小角近似の下で、練習用の直線が (x, T²) = (0.40 m, 2.4 s²)、(0.90 m, 4.4 s²) を通ります。π² = 10と近似し、球の半径rをm、gをm/s²で求めてください。答えは小数または整数で表します。上端の位置は支点と球の中心を結ぶ線上にあるものとします。

傾きAと切片Bを求めます。

A = (4.4 - 2.4)/(0.90 - 0.40) = 4 s²/m
B = 2.4 - 4 × 0.40 = 0.8 s²
T² = 4x + 0.8

一方、真の長さを使う式は T² = A(x + r) です。よって B = Ar となり、r = 0.8/4 = 0.20 mです。また g = 4π²/A = 10 m/s²です。x = 0.40 mでは中心まで0.60 mなのでT² = 4 × 0.60 = 2.4 s²、x = 0.90 mでは1.10 mなので4.4 s²です。両方の与えられた点に戻りました。

別解は直線を横軸まで延長する方法です。T² = 0となる横座標は -0.20 mで、その絶対値が半径に相当します。ただし実際にxが負の装置を作るという意味ではありません。測定範囲外への直線の延長が、一定の長さのずれという模型に基づく推定であることに注意します。

正の切片を見ただけで、必ず球の半径が原因だとは決められません。支点の位置の読み違い、振れ角の違い、計時の偏りなどもデータを変えます。一定の長さの不足が唯一のずれだと仮定した場合に、切片を半径に結びつけられます。球を替えて半径と切片の関係を見る、中心まで直接測り直すなど、別の確かめが必要です。

測る手順とグラフの失敗を切り分ける

独立に変える量は支点から重心までの長さです。長さごとに同じ小さい振れ角から押さずに放し、同じ側の端に戻る回数を数えて、例えば20周期分の時間を測ります。測定量は長さとその経過時間であり、周期は経過時間を20で割って得ます。おもり、支点、振れの面、振れ角、周期の数え方をそろえ、長さごとに複数回測定して平均とばらつきを記録します。装置の設置や観察は学校の指導の下で安全を確かめて行います。

1周期だけを測ると、開始と停止の操作に伴う時間のずれが周期そのものに効きます。20周期の総時間に同程度の開始・停止のずれが含まれるなら、それを20で割った周期への影響は小さくなります。ただし数え間違いや、測定中に振幅が変わる影響まで消えるわけではありません。測定回数を増やせば必ずよいと決めず、数えられる範囲と振れの減衰を確かめます。

横軸にL m、縦軸にT² s²を取り、各点の散らばりを見て直線を引きます。縦軸をTにすると平方根の関係なので、同じ理想式でも直線にはなりません。傾きの単位はs²/m、切片の単位はs²です。原点を固定せずに得た傾きと切片を観察し、長さの測り方を検討してから原点を通る模型との整合を調べます。

同じ向きに繰り返し現れるずれを系統誤差、測るたびに変動するずれを偶然誤差として考えます。球の上端を毎回中心と誤認すれば前者の候補で、反応時間の揺れは後者の候補です。反応時間に一定の偏りがあれば系統的にもなります。複数回の平均は偶然の揺れを小さくする助けになりますが、共通の長さの読み違いは平均しても残ります。

計時器が止まった場合や表示が読み取れない場合、その回を推測値で埋めず、装置を点検して同じ条件で測り直します。途中で数を見失った回も記録にその理由を添え、採用せず再測定します。長さが不明確な場合は中心の位置を確認してから記録し、測定条件がそろわなかった回は他の回と同列に平均しません。こうした失敗の記録は、点が直線から外れた原因を調べる手掛かりになります。

上端を長さにした答案を直す

図3のように、球の上端を中心と取り違えると、横軸に記録した値は真の長さより半径分だけ小さくなります。誤答は「上端までの長さをLとしてT² = (4π²/g)L」と置くことです。原因は周期式のLを定規で読んだ任意の距離とみなし、模型の重心までの距離という定義を確かめていないことです。

図3の上端までをx、半径をrと書けばL = x + rです。この式を周期式に代入し、横軸がxなら縦切片が (4π²/g)r となることを示して修正します。中心まで測り直したデータを横軸にすれば、この一定の不足による切片は取り除かれるはずです。残る切片があれば別の要因も検討します。

もう1つの誤りは、20回の片道の時間を20で割ることです。片道は半周期なので、得た値は周期の半分です。開始時と終了時の位置だけでなく進行方向も確認し、往復数に対応する時間を使います。周期を半分とすれば二乗は4分の1となり、傾きから求めたgは4倍になるため、単なる数え方の違いでは済みません。

練習：条件を整理してから解く

各問は小角近似と理想的な単振り子を仮定します。長さは支点から重心までです。答えの形を指定したもの以外の途中計算は丸めません。

1. 長さ0.25 m、重力加速度9.0 m/s²の振り子の周期を、πを含む正確な式で秒単位で求めてください。
2. 15周期に30.0 sかかった振り子の周期とその二乗を、小数で単位を付けて求めてください。
3. 同じ場所で振り子Aの長さが0.36 m、Bが1.44 mです。周期の比Tᴀ : Tʙを整数の比で求めてください。
4. T²とLの直線が (0.20 m, 1.2 s²)、(0.70 m, 3.2 s²) を通ります。傾きと縦切片を小数で単位を付けて求めてください。
5. 球の上端までの距離を横軸xとした直線が T² = 5x + 0.5 です。xはm、T²はs²で表した数値です。一定の不足が球の半径だけに由来するとして、半径を小数でm単位で求めてください。

練習の答えと道筋

1. T = 2π√(0.25/9.0) = π/3 sです。これを二乗するとπ²/9 s²で、4π²L/g = 4π² × 0.25/9.0 と一致します。正の周期を取ります。
2. T = 30.0/15 = 2.00 s、T² = 4.00 s²です。2.00 sを15倍すれば30.0 sに戻ります。二乗した量の単位は秒ではなく秒の二乗です。
3. 同じgでは Tᴀ/Tʙ = √(0.36/1.44) = 1/2 です。したがって1 : 2です。周期比を二乗すると1 : 4で、長さの比0.36 : 1.44に戻ります。
4. 傾きは (3.2 − 1.2)/(0.70 − 0.20) = 4.0 s²/mです。切片は 1.2 − 4.0 × 0.20 = 0.4 s²です。式T² = 4.0L + 0.4に両方の長さを入れると、1.2 s²と3.2 s²に戻ります。
5. 傾き5 s²/mと切片0.5 s²の比が半径なので、r = 0.5/5 = 0.1 mです。真の長さをx + 0.1 mとすると、T² = 5(x + 0.1) = 5x + 0.5となり、与えられた直線に戻ります。切片を長さと直接読むことはできません。

持ち帰る要点

• 単振り子の長さは支点からおもりの重心までです。
• 小角近似では T² = (4π²/g)L です。
• 往復の回数と経過時間から周期を求めます。
• T²と長さの直線では傾きと切片を別々に読みます。
• 繰り返しのばらつきと共通のずれを分けて調べます。

式を覚えていても、球の上端を指して長さだと説明していれば測定の段階でつまずいています。支点、重心、半径を図に書き込み、中心までの距離を自分の言葉で示せるか確認してください。個別指導で扱うなら、往復の数え方を実物の動きに合わせて説明し、T²の縦切片が何を意味するか、他の原因も含めて話し合うと理解の位置が見えます。長さの定義を図に戻すことが、周期測定の出発点です。