高校物理 力学 斜めの衝突と成分—接触面の向きを使って保存する運動量を選び分ける｜武蔵野個別指導塾

滑らかな壁に円盤が斜めに当たるとき、接線速度と壁からの力積を分けて考える斜めの衝突。

よくあるのは、壁に斜めに当たる円盤を見て、跳ね返るなら壁に沿う速度も反転すると考える場面です。壁が滑らかなら、壁から円盤への衝撃力は接触面に垂直です。壁に沿って進む成分を反転させる力積はありません。

一方、円盤同士が衝突するときは、片方に作用する力積をもう片方が反対向きに受けます。どの物体をまとめるかによって、保存を使える量が変わります。接触時の方向を先に描けば、斜めの運動も成分ごとの短い式に分けられます。

要点（結論から）

• 固定壁からの力積は円盤にとって外力です。
• 滑らかな接触では接線方向の力積は0です。
• 反発係数は法線方向の相対的な離反と接近の速さを結びます。

どの衝突を見ているか

固定壁に当たる問題では、円盤を系に取ると壁からの力積は外力の力積です。壁に垂直な方向の円盤の運動量は通常変わります。滑らかな壁なら接線方向の外力の力積は0なので、その方向の運動量は保存します。反発係数は壁に垂直な接近と離反の速さの比に使います。

平面上の2円盤では、両方を系に取ります。衝突中の水平外力の力積を無視できれば、全運動量の2成分が保存します。滑らかな円盤同士なら接触力は接触点での共通法線方向であり、各円盤の接線速度も変わりません。反発係数を適用するのは共通法線方向の相対速度です。以下では円盤は回転の影響を考えず、衝突は短時間で、接触点で摩擦が働かないとします。

逆に壁や円盤の面が粗ければ、接線方向にも力積があり得ます。衝突中の外力の力積が無視できない場合も、以下の保存式をそのまま使えません。式を選ぶ前に、対象と力の向きを確かめます。

法線と接線を軸にする

図1のように壁から円盤へ向かう向きを法線の正、壁に沿う上向きを接線の正とします。衝突直前の速度を v（ベクトル）、直後を v′（ベクトル）とし、それぞれの成分を vₙ、vₜ と v′ₙ、v′ₜ と書きます。入射中は vₙ < 0 です。速度の矢印全体を反転するのでなく、この2成分を別に見ます。

図1では壁が円盤に及ぼす力積は法線の正向きです。衝突時間中の重力などの力積を無視すると、質量 m の円盤について運動量と力積の関係は次のようになります。

m(v′ₙ - vₙ) = J
m(v′ₜ - vₜ) = 0

J は壁からの法線方向の力積で、押す力なので0以上です。固定壁に対する接近の速さは -vₙ、離反の速さは v′ₙ です。反発係数 e を0以上1以下として、離反の速さを接近の速さで割れば、v′ₙ = -e vₙ です。接線成分は v′ₜ = vₜ です。したがって J = -m(1 + e)vₙ となり、入射時の vₙ < 0 と合わせると J > 0 です。力積の単位は kg・m/s、すなわち N・s です。

この関係は速さ全体の比ではありません。e = 1 なら法線成分の大きさが保たれ、接線成分も変化しないので速さ全体が保たれます。e = 0 なら直後の法線方向の相対速度は0ですが、接線方向の運動は残り得ます。一般には円盤の運動エネルギーの減少は m(1 − e²)vₙ²/2 です。失われた分を消滅と呼ばず、変形や熱などに移ると考えます。

2円盤では接触時に中心を結ぶ向きを法線に取ります。円盤 A から B へ向かう向きを正とし、衝突前の法線速度を u₁、u₂、衝突後を w₁、w₂ とします。接近条件は u₁ > u₂ です。衝突直後にめり込まず離れる条件は w₂ − w₁ ≥ 0 で、反発係数の定義は w₂ − w₁ = e(u₁ − u₂) です。

A から B への力積の大きさを J とすると、作用反作用から A は -J、B は +J を受けます。両円盤の質量を m₁、m₂ として、成分ごとの運動量変化を足すと内力の力積が消えます。

m₁(w₁ - u₁) = -J
m₂(w₂ - u₂) = J
m₁w₁ + m₂w₂ = m₁u₁ + m₂u₂

さらに相対速度の式へ代入すると J = (1 + e)(u₁ − u₂)m₁m₂/(m₁ + m₂) です。単位は質量と速度の積であり、接近条件の下で J > 0 です。片方の質量を大きくすると、その物体の速度変化 J/m₂ は小さくなります。固定壁の近似と比べる際も、壁を含む系と円盤単独の系を混同しないことが必要です。

基本例題：壁に沿う動きを残す

質量 2 kg の円盤が滑らかな固定壁に衝突します。壁から円盤側への法線を正、壁に沿う向きを接線の正とします。直前の速度成分はそれぞれ -3 m/s、4 m/s、反発係数は 1/2 です。衝突直後の2成分と壁からの力積を、整数または分数と単位で求めてください。重力などの衝突中の力積は無視します。

図2のように接線方向は衝撃を受けません。法線方向は接近の速さ 3 m/s に反発係数を掛け、正向きに離れます。

v′ₙ = -(1/2)(-3) = 3/2 m/s
v′ₜ = 4 m/s
J = 2{3/2 - (-3)} = 9 N・s

図2の矢印の向きと成分を照合すると、入射時は壁へ近づき、直後は壁から離れます。元の場面に戻して、法線方向の運動量は -6 から 3 kg・m/s へ変化し、差は壁の力積 9 N・s です。接線方向は前後とも 8 kg・m/s です。壁による外力を含めたため、法線方向の変化と矛盾しません。

エネルギーでも確認します。衝突前は 2(3² + 4²)/2 = 25 J、衝突後は 2{(3/2)² + 4²}/2 = 73/4 J で、減少は 27/4 J です。一般式に代入しても同じ値になります。接線速度を -4 m/s にすると接線力積が必要となり、滑らかな壁という条件に反します。

標準例題：2円盤を一つの系にする

滑らかな水平面上の円盤 A、B の質量はそれぞれ 1 kg、2 kg です。接触時に A から B へ向かう法線を正、その垂直方向を接線の正とします。衝突直前の速度成分は A が (4, 2) m/s、B が (1, -1) m/s です。反発係数を 1/2 とし、衝突中の水平外力の力積を無視します。衝突直後の両円盤の成分を分数または整数で求めてください。

法線方向の接近速度は 4 − 1 = 3 m/s です。接線方向の力積は各円盤に働かないので、その成分は A が 2、B が -1 m/s のままです。直後の法線成分をそれぞれ w₁、w₂ とすると、全運動量と反発係数から次を得ます。

w₁ + 2w₂ = 1・4 + 2・1 = 6
w₂ - w₁ = (1/2)(4 - 1) = 3/2
w₁ = 1 m/s
w₂ = 5/2 m/s

答えは A が (1, 2) m/s、B が (5/2, -1) m/s です。法線方向の全運動量は前後とも 6 kg・m/s、接線方向も 1・2 + 2・(-1) = 0 kg・m/s です。A は法線方向に -3 N・s、B は +3 N・s の力積を受け、互いに反対です。直後は B の法線速度が大きく、離反条件を満たします。

別の解き方は力積を先に求める方法です。J = (1 + 1/2)・3・1・2/(1 + 2) = 3 N・s とし、各質量で割った速度変化を加えれば同じ答えになります。全体系の保存式は力積を消したいときに便利で、力積の式は各円盤に働く衝撃を問うときに便利です。いずれも水平外力の力積を無視できるという同じ条件に立っています。

発展例題：反発係数の境界を調べる

滑らかな水平面上で、質量 2 kg の円盤 P が、質量 1 kg の円盤 Q に衝突します。接触時の P から Q への法線方向を正とし、直前の法線速度を P は 3 m/s、Q は -3 m/s とします。接線速度は P が 1 m/s、Q が 2 m/s です。水平外力の力積は無視でき、反発係数 e は 0以上1以下です。衝突後の速度成分を e の式で求め、P の法線速度が0となる e を分数で求めてください。

法線方向の全運動量は 2・3 + 1・(-3) = 3 kg・m/s です。直後の法線速度を p、q とすれば、次の2式を連立します。

2p + q = 3
q - p = 6e
p = 1 - 2e m/s
q = 1 + 4e m/s

接線成分はそれぞれ 1、2 m/s のままです。P の法線速度は e = 1/2 で0になり、e < 1/2 では正、e > 1/2 では負です。e = 0 では両者の法線速度はともに 1 m/s、e = 1 では P が -1、Q が 5 m/s です。0の場合は直後の法線相対速度が0で、直ちに離れるとは限りません。以後の接触の継続は別の力や形状の条件が必要です。

力積による別解では J = 2・(3 − p) = 4(1 + e) N・s です。Q についても q − (-3) = 4(1 + e) となり、同じ大きさです。場面に戻すと直前の接近速度は 6 m/s、直後の離反速度は 6e m/s なので、指定した反発係数を再現します。運動量は 2(1 − 2e) + (1 + 4e) = 3 です。

接線成分は変わらないため、そのエネルギーは前後で同じです。法線方向のエネルギーは衝突前 27/2 J、衝突後 3/2 + 12e² J なので、減少は 12(1 − e²) J です。範囲内で負にならず、e = 1 で0になります。e > 1 を代入して得た負の減少は、この問題で指定した範囲の答えではありません。

観察を設計し、グラフを読む

学校の指導の下で、滑らかな面を備えた固定壁と円盤の衝突を安全に観察することを考えます。壁からの飛び出しを防ぐ囲いを用い、装置の操作は指導者の管理下で行います。壁の法線を座標の基準として撮影し、衝突の直前と直後の別々の数コマから円盤中心の位置変化を測ります。接触中のコマを速度の区間に混ぜると、前後の値が平均されます。

独立に変える量を入射時の法線方向の接近速度、測る量を離反速度とします。円盤、壁の材料、接触位置、接線速度の条件をそろえ、各条件で繰り返します。横軸を接近速度 m/s、縦軸を離反速度 m/s とすれば、一定の e というモデルでは傾きが e の原点を通る直線です。たとえば練習用の自作データ (2, 1)、(4, 2)、(6, 3) は e = 1/2 の直線上にあります。これは測定結果ではなく、グラフの読み取り用の値です。

点が直線から外れたら、直ちに反発係数の変化と決めません。時間間隔が粗いと短い衝突の前後を分けにくくなり、位置の読み取り誤差は速度差を通じて拡大します。壁の方向を誤って設定すると、本来の接線成分が法線成分に混ざり、同じ向きのずれが反復して残る系統誤差になり得ます。画像ごとの中心の読み取りのばらつきは偶然誤差の一因です。

実際の点の散らばりや切片を先に見て、原点を通すモデルが妥当か考えます。摩擦や回転が無視できないと接線速度が変わり、単純なモデルの適用自体が崩れます。測定が途切れた場合や画像が不鮮明な場合は速度を補って作らず、その試行を判定不能として記録し、原因を確かめて条件を整えます。接触前後の区間が取れないほど時間分解能が足りない場合も、傾きから e を結論できません。

間違いを力積から直す

図3のように入射速度の両成分を反転させる答えは、壁に沿う向きにも運動量の変化を作ります。原因は、跳ね返るという言葉を速度の矢印全体に適用したことです。壁からの力積を法線向きに描き、接線方向の運動量変化が0であることから直します。

図3の正しい矢印は接線方向の向きを保ちます。もう一つの誤りは円盤単独の法線運動量を保存することです。固定された壁が円盤に力積を与えるため、円盤単独では外力の力積が0ではありません。壁を含めるなら壁を固定する支持物からの力積まで検討する必要があります。

2円盤の場合に各円盤の法線運動量をそれぞれ保存するのも誤りです。互いに力積を受けるため各値は変化しますが、両者の変化を足すと0です。また、衝突前の接近が確認できない符号の組に反発係数の式を当てはめても、衝突が実現するとは限りません。解が出たら接近、離反、力積の向きを場面に戻します。

練習問題

いずれも接触面は滑らかで、衝突中の水平外力の力積は指定した壁の力積以外は無視します。速度は m/s、力積は N・s で、答えは整数または分数で示してください。

1. 質量 1 kg の円盤が固定壁へ法線成分 -6、接線成分 2 で入射します。e = 1/3 のとき直後の2成分と壁からの力積を求めてください。法線正方向は壁から円盤側です。
2. 質量 3 kg の円盤が同じ向きに取った法線成分 -2、接線成分 -5 で固定壁に当たり、直後の法線成分が 1 でした。e と壁からの力積を求めてください。
3. 水平面上で質量 1 kg の円盤 C と質量 1 kg の円盤 D が衝突します。C から D への法線成分は直前に C が 5、D が -1、接線成分は C が -2、D が 3 です。e = 1 として直後の各成分を求めてください。
4. 水平面上で質量 3 kg の円盤 E と質量 1 kg の円盤 F が衝突します。E から F への法線成分は直前に E が 2、F が 0、接線成分はともに0です。e = 0 として直後の法線成分と各円盤への力積を求めてください。
5. 質量 2 kg の円盤が固定壁へ法線成分 -4、接線成分 3 で入射し、e = 1/2 で衝突します。衝突前後の運動エネルギーとその減少を J 単位で求めてください。法線正方向は壁から円盤側です。

練習の答えと照合

1. 法線成分は -(1/3)(-6) = 2、接線成分は 2 です。力積は 1{2 − (-6)} = 8 N・s です。接近速度6に対して離反速度2で、比は1/3です。法線運動量は -6 から 2 に変わり、差は8です。接線成分が変化しないことも条件に戻して確認できます。

2. 接近速度2、離反速度1なので e = 1/2 です。力積は 3{1 − (-2)} = 9 N・s です。法線運動量は -6 から 3 に変わり、差は9です。接線成分 -5 は変わらず、壁に沿う負向きに進み続けます。

3. 直後の法線成分を c、d とすると c + d = 5 + (-1) = 4、d − c = 5 − (-1) = 6 です。連立して c = -1、d = 5 です。答えは C が (-1, -2)、D が (5, 3) m/s です。法線運動量の和は4、接線運動量の和は1で前後一致します。接近速度と離反速度はともに6で、C と D が逆向きの6 N・sを受けます。

4. 直後は法線相対速度が0なので共通速度を V とすると、3V + V = 3・2 = 6 です。V = 3/2 m/s です。E の力積は 3(3/2 − 2) = -3/2 N・s、F は 1・(3/2 − 0) = 3/2 N・s です。和は0、全運動量は前後とも6です。接近速度は2、直後の相対速度は0で、e = 0 に合います。直後に離れるとは限らず、以後の運動は追加条件が必要です。

5. 直後の法線成分は2、接線成分は3 m/sです。衝突前のエネルギーは 2(4² + 3²)/2 = 25 J、直後は 2(2² + 3²)/2 = 13 J、減少は12 Jです。法線速度の大きさは4から2となり、反発係数1/2を再現します。壁の力積は 2{2 − (-4)} = 12 N・sで正向きです。接線運動量は前後とも6 kg・m/sです。

要点を持ち帰る

• 固定壁からの力積は円盤にとって外力です。
• 滑らかな接触では接線方向の力積は0です。
• 反発係数は法線方向の相対的な離反と接近の速さを結びます。
• 2円盤をまとめた運動量保存には外力の力積の条件が必要です。
• 最後に接近、離反、力積、エネルギーを照合します。

式を立てる前に壁から円盤への力積を矢印で描けるか、自分で確かめてください。次に接線成分が変わると仮定した式を書き、その変化を生む力が条件中にあるか探します。説明が止まる場合は、個別指導の場でも図と成分表を使い、対象を円盤単独から2円盤の系へ切り替えたときの外力を言葉にしてみます。接触面の向きが、保存を選ぶ出発点です。