高校物理 力学 摩擦のあるエネルギー収支—往路と復路を分けて移動距離と停止位置を確かめる｜武蔵野個別指導塾

粗い水平面と滑らかな坂を往復する物体について、停止位置までの移動距離を追い、摩擦の仕事に迫ります。

よくあるのは、粗い床を進んだ小物体が滑らかな坂を上り、戻ってきた場面で、往復の摩擦の仕事を始点と終点の間の変位から求める場面です。元の位置に戻れば変位は0ですが、床との接触面は往路にも復路にも滑っています。摩擦は両方の区間で運動を妨げ、力学的エネルギーを減らします。

どこで止まるかは、坂を上り切るか、戻った後に粗い区間を渡り切るかで変わります。各区間の入口に残るエネルギーを確かめ、実際に進んだ長さを数えましょう。物体は質点とみなし、空気抵抗と接続部でのエネルギー損失は無視します。

どの区間で止まるかを先に決める

水平な粗い区間の先に滑らかな上り坂があるとします。初めの運動エネルギーが粗い区間を通過するための損失より大きければ、物体は坂に達します。坂では摩擦がないため、上昇中の運動エネルギーが重力による位置エネルギーに移ります。最高点で速度が0になった後は坂を下ります。

坂から戻ったときのエネルギーが、粗い区間を逆向きに横断するために必要な量より小さければ、途中で止まります。等しければ反対端に速度0で到達します。大きければ端を越えますが、その先の面の条件がなければ、その後の停止位置は決まりません。初めから通過に必要な量に足りない場合は、坂へ到達する前に停止します。

最初の瞬間に静止している物体を動かす条件や、静止後に再び動き出す条件には静止摩擦が関係します。以下の計算では、与えられた初速度で滑り始めた物体を追い、水平面で止まった後は外から押さないものとします。動摩擦係数は一定で、面による垂直抗力は水平区間で一定とします。

摩擦の仕事と移動距離

図1のように、水平面に対して右へ滑る間、物体が床から受ける動摩擦力は左向きです。左へ滑る間は右向きになります。力の向きは変わっても、各区間の変位と摩擦力は逆向きです。

図1の矢印は床に対する滑りの向きと、物体に働く摩擦力を表します。床は固定されているので、床に対する移動距離と地上から見た道のりは一致します。動く床ではこの一致をそのまま使えません。

質量をm、重力加速度の大きさをg、動摩擦係数をμとします。鉛直方向に加速せず、重力と垂直抗力Nがつり合うのでN = mg、動摩擦力の大きさはf = μmgです。距離sを滑ると、摩擦力の仕事は向きが反対であることからW = -fs = -μmgsです。sは正の道のりです。右を正にとると、往路は力が負、変位が正、復路は力が正、変位が負となり、どちらの積も負です。

運動エネルギーK = mv²/2と、水平面を高さの基準とする重力による位置エネルギーU = mghの和をEとします。仕事と運動エネルギーの関係から、重力の仕事を位置エネルギーの変化に移せば、Eの変化は摩擦の仕事に等しくなります。粗い水平面ではEの減少がμmgs、滑らかな坂ではEが一定です。摩擦で減った分は消滅するのではなく、接触する物体や床の内部エネルギーなどに移ります。ただし、個々の物体の温度上昇をこの式から決めることはできません。

粗い区間の長さをL、坂の入口の高さを0とし、入口でのエネルギーをK₁とすると、往路の収支はK₁ = K₀ − fLです。坂に達するにはK₀がfL以上である必要があります。等号では入口で速度が0になり、水平面上で止まる条件では坂を上りません。K₀ > fLのとき、滑らかな坂の最高点の高さはh = K₁/(mg)です。帰りの坂の入口では再びK₁が運動エネルギーとなります。

往路と復路で同じ長さLを通れば、摩擦による減少は合計2fLです。途中で止まるなら、復路にLを代入せず、停止までの距離dを用います。fが0に近づけば損失は0に近づき、fの単位Nに距離mを掛けたJはエネルギーの単位です。この符号と単位の確認は一般式の意味を支えます。

基本例題：坂から戻った後の停止点

質量2.0 kgの小物体を、長さ3.0 mの粗い水平面の左端から右向きに4.0 m/sで滑らせます。右端には滑らかな坂がつながっています。動摩擦係数を0.20、重力加速度を10 m/s²とし、接続部での損失を無視します。最高点の高さと、戻ってから右端を起点とした停止位置までの距離を、有効数字2桁で求めてください。

図2のように、往路の始点、坂の入口、最高点、復路の停止点を分けます。力学的エネルギーを比較する基準の高さは水平面です。

図2では停止点が粗い面の途中に描かれています。この位置は計算後に確かめる条件であり、初めから途中で止まると決める根拠にはしません。

動摩擦力は0.20・2.0・10 = 4.0 N、初めの運動エネルギーは2.0・4.0²/2 = 16 Jです。往路で失うエネルギーは4.0・3.0 = 12 Jなので、坂の入口には4.0 J残り、確かに坂へ進みます。最高点の高さをhとすると、2.0・10・h = 4.0よりh = 0.20 mです。

戻って入口に来たときにも4.0 Jあります。停止までの距離をdとすると4.0・d = 4.0なのでd = 1.0 mです。これは3.0 mより短く、粗い面の途中という結果と一致します。場面に戻すと、往路と復路の合計4.0 mで摩擦は16 Jを奪い、初めの16 Jがちょうど使われます。最高点でも位置エネルギーは4.0 Jです。

標準例題：往路で止まる条件

質量1.0 kgの物体が、動摩擦係数0.30の粗い水平面の左端から右へ3.0 m/sで滑ります。粗い部分は長さ2.0 mで、その右に滑らかな坂があります。g = 10 m/s²とし、停止位置を左端からの距離で有効数字2桁で求めてください。

動摩擦力は3.0 N、初めの運動エネルギーは4.5 Jです。右端までの損失は6.0 Jなので、右端に達する前に停止します。距離xについて3.0x = 4.5より、x = 1.5 mです。1.5 mは2.0 m未満で、仮定した区間に収まります。実際に進んだ距離に力を掛けると4.5 Jとなり、初めのエネルギーに戻ります。

別解では、水平右向きを正にとった運動方程式から加速度は-3.0 m/s²です。停止時の速度を0とすると、0 = 3.0² − 2・3.0・xより同じ距離を得ます。一定の加速度が使えるのは、この粗い水平区間を滑っている間です。停止後に同じ式で負の速度まで延長してはいけません。動摩擦力の向きや大きさの条件が変わるためです。

発展例題：境界に達する速さ

質量1.0 kgの物体を、長さ2.0 m、動摩擦係数0.25の粗い水平面の左端から右へ滑らせます。右端には十分長い滑らかな坂があり、坂の入口と水平面は同じ高さです。g = 10 m/s²とします。坂を上って戻り、左端に速度0で到達する初速度の大きさを、根号を用いて正確に求めてください。また初速度がその値より小さいとき、どこで止まるかを初めの運動エネルギーK₀で分類してください。

動摩擦力は2.5 Nです。1回の横断で5.0 Jを失うので、往復で10 Jを失います。左端にちょうど戻る条件はK₀ = 10 Jです。初速度をv₀とするとv₀²/2 = 10より、v₀ = √20 m/sです。速さは非負なので負の根を採りません。坂の入口では5.0 Jが残り、最高点の高さは0.50 mです。戻ると入口で再び5.0 Jとなり、2.0 mの復路でちょうど失われます。

K₀が0より大きく5.0 Jより小さければ、往路途中で停止します。K₀ = 5.0 Jなら右端に速度0で到達し、水平面で止まります。5.0 J < K₀ < 10 Jなら坂を上って戻り、復路途中で停止します。K₀ = 0なら水平面上で静止したままです。境界を含めて場合を分ければ、存在しない坂上の最高点を計算する失敗を防げます。

別の見方では、左端に戻った瞬間を終点にし、始点と終点の高さと速度が同じく0であることから、初めの運動エネルギーが往復の摩擦損失に等しいと置けます。この一式は往復できることを前提にしています。求めた初速度で入口に正のエネルギーが残ることを、上のように確認して初めて有効です。途中で止まる場合は、実際に通った長さに置き換える必要があります。

測定で収支を調べる

学校の指導の下で、水平な粗い帯と滑らかな坂をつないだ装置を考えます。小物体の発射速度を変えることを独立変数とし、入口の速さ、坂の最高点の高さ、復路の停止位置を測定量にします。物体と接触面、粗い区間の長さ、坂の形、発射方向をそろえます。帯の端や坂の接続部で引っ掛からないことも観察します。

たとえば物体が滑っている区間の位置と速さを画像から求め、横軸に進んだ距離s（m）、縦軸に運動エネルギーK（J）をとります。理想化した水平面なら、K = K₀ − fsという直線で、傾きは-f（N）です。往路と復路はそれぞれの進行方向に沿った距離で整理します。両者を符号付き座標のまま一続きの直線にすると、復路で傾きの符号が変わることを見落とします。

練習用の自作データとして、sが0、1、2 mでKがそれぞれ6、4、2 Jなら、傾きは-2 Nです。これは一定の摩擦力2 Nのモデルと整合しますが、3点だけで摩擦係数の一定性を証明することはできません。実測では繰り返して点の散らばりを見て、異なる速度でも同じ傾きが成り立つかを調べます。

距離の目盛りの取り方が全体にずれることや水平面のわずかな傾きは、結果を一方向に偏らせる系統誤差の例です。映像の位置読み取りや発射速度の揺れは、測定ごとに値を散らす偶然誤差の例です。物体が回転すれば並進の運動エネルギーだけでは収支が閉じず、接続部の衝撃も別の損失になります。滑らかさや面の水平を確認し、残差が大きければモデルの条件を見直します。測定に失敗した回を都合よく採らず、原因を記録して再測定の条件をそろえます。

変位で摩擦を数えた答案を直す

「往復して出発点に戻るので変位0、摩擦の仕事も0」という答案を考えます。図3のように、往路で右に進むと摩擦は左、復路で左に進むと摩擦は右です。力が途中で反転するので、全変位に片方の力を掛けることはできません。

図3の往路と復路をそれぞれ距離Lとすれば、仕事は-fLと-fLで、合計は-2fLです。変位が0であることは、各区間の仕事の和が0であることを意味しません。一定方向の力に全変位を掛けられる場合との違いを、力の向きが変わる位置に印を付けて確かめます。

もう1つの誤りは、最高点で速度が0だから力学的エネルギーも0とすることです。基準面より高ければ位置エネルギーが残ります。最高点と床の入口でKとUを別々に書けば、坂の往復でエネルギーが保存される理由も見えます。最後に停止距離が粗い部分の長さを超えた場合は、その式をそのまま答えにせず、面の端で区間を切って残りの運動エネルギーを求めます。

自分で区間を切る5問

以下では物体を質点とし、床は固定、坂は滑らか、接続部での損失と空気抵抗は無視します。粗い水平面の動摩擦係数は一定で、停止後は外から押しません。g = 10 m/s²です。答えは指定された形にしてください。

1. 質量1.0 kgの物体を動摩擦係数0.20の粗い水平面上で滑らせます。初速4.0 m/sのとき、停止までの距離を有効数字2桁で求めてください。面は十分長いものとします。
2. 質量2.0 kgの物体が長さ1.0 m、動摩擦係数0.10の粗い水平面を初速3.0 m/sで通過し、その先の坂を上ります。最高点の高さを有効数字2桁で求めてください。
3. 質量1.0 kgの物体が長さ2.0 m、動摩擦係数0.20の粗い水平面を初速√12 m/sで通過して坂を上り、戻ります。坂の入口から停止点までの復路の距離を正確な小数で求めてください。
4. 質量2.0 kgの物体が長さ3.0 m、動摩擦係数0.20の粗い水平面の左端から右へ滑り、坂から戻って左端に速度0で到達します。初速を根号で正確に求めてください。
5. 質量1.0 kgの物体が長さ2.0 m、動摩擦係数0.10の粗い水平面の左端から右向きに初速4.0 m/sで滑り、坂を往復します。左端に戻るときの速さを根号で正確に求めてください。左端より先の条件は問いません。

解答と確かめ

1. 動摩擦力は0.20・1.0・10 = 2.0 N、初めの運動エネルギーは8.0 Jです。2.0x = 8.0からx = 4.0 mです。4.0 mにわたる摩擦損失は8.0 Jで、初めのエネルギーと一致します。
2. 初めの運動エネルギーは9.0 J、動摩擦力は2.0 Nです。往路の損失2.0 Jを引くと入口で7.0 J残ります。20h = 7.0からh = 0.35 mです。最高点の位置エネルギー7.0 Jと摩擦損失2.0 Jの和は初めの9.0 Jです。
3. 初めの運動エネルギーは6 J、動摩擦力は2 Nです。往路の損失4 Jを引くと入口に2 J残ります。坂を往復しても入口で2 Jなので、2d = 2よりd = 1.0 mです。2.0 m未満であり、往路2.0 mと復路1.0 mの損失は合計6 Jです。
4. 動摩擦力は4.0 N、往復6.0 mの損失は24 Jです。初速をvとすれば2.0v²/2 = 24よりv = √24 m/sです。往路後に12 J残るため坂に達し、復路でその12 Jを失って左端に止まります。
5. 初めの運動エネルギーは8 J、動摩擦力は1 Nです。往路と復路の損失はそれぞれ2 Jなので、左端で4 J残ります。v²/2 = 4よりv = √8 m/sです。往路後の6 Jは正で、復路開始時にも6 Jあり、2 Jを失うと4 Jとなります。

持ち帰る視点

摩擦力の向きは滑る向きと反対です。 粗い区間の損失は動摩擦力の大きさと道のりの積です。 滑らかな坂では運動エネルギーと位置エネルギーを合わせて比べます。 各境界に到達できるかを調べ、停止した区間で計算を終えます。

式が立たないときは、床の端と坂の最高点を紙に記し、それぞれのKとUを書いてみてください。矢印を往路と復路で描き直し、摩擦が働いた距離の合計を指でたどります。個別指導で確かめるなら、停止点が床の途中にある場合と端を越える場合を描き分け、その判断をエネルギーの残量で説明できるかが手掛かりです。往復の収支は、通った距離を数えることでつながります。