高校数学I ドモルガンの法則—領域と条件の否定を往復して括弧を外す｜武蔵野個別指導塾

共通部分の外側を有限集合と不等式で調べ、ドモルガンの法則で入れ子の括弧をほどく変形をたどれます。

よくあるのは、高1の自習で「AにもBにも属する」の否定を書こうとして、「属さない」を付けながら「かつ」をそのまま残す場面です。両方に属することが失敗するには、片方でも外れていれば足ります。図の領域と条件の言葉を行き来し、この違いを確かめます。

括弧の外にある否定を読む

出方の1つは、共通部分や和集合の補集合を別の演算で表す問題です。記号を機械的に交換する前に、要素がどの領域にあれば元の条件を満たすかを考えます。もう1つは、不等式などの条件を否定して範囲を求める問題です。端点を含むかどうかまで、元の条件との対応を調べます。

さらに、演算が入れ子になった式では、外側の括弧から順に否定を運びます。内側だけを先に変えると、何を否定しているかを見失います。全体集合を固定し、補集合の対象を括弧で囲むことが出発点です。

4つの領域で法則を作る

全体集合を U、その部分集合を A、B とします。A の補集合 Aᶜ は、U の要素のうち A に属さないものの集合です。A ∩ B は両方に属する要素の集合、A ∪ B は少なくとも一方に属する要素の集合です。「または」には両方に属する場合も含みます。

図1のように、要素の位置は A と B への所属によって4通りに分けられます。左から「両方」「Aのみ」「Bのみ」「どちらにも属さない」の順に考えます。区分の中に要素が存在しない場合があっても、場合分け自体は成り立ちます。

図1で共通部分 A ∩ B に入るのは両方に属する区分です。その補集合には残る3区分が入ります。一方、Aᶜ ∪ Bᶜ は、Aに属さないか、Bに属さない要素を集めます。片方だけ外れる2区分と両方外れる区分なので、同じ3区分になります。

したがって (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ です。これを要素で証明するには、任意の x ∈ U について、次の両方向を示します。

まず x ∈ (A ∩ B)ᶜ とします。x が A と B の両方に属すると仮定すると、x ∈ A ∩ B となり、補集合に属することと矛盾します。よって x は A に属さないか、B に属さないので、x ∈ Aᶜ ∪ Bᶜ です。

逆に x ∈ Aᶜ ∪ Bᶜ とします。x は少なくとも一方の集合に属しません。したがって両方には属さず、x ∉ A ∩ B です。x は U の要素なので x ∈ (A ∩ B)ᶜ です。両方向の包含から2つの集合は等しくなります。

同様に (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ です。和集合に入らないとは、AにもBにも入らないことです。逆にどちらにも入らなければ和集合に入らないので、こちらも両方向が成立します。2つの等式をドモルガンの法則といいます。

補集合を2回取ると元の集合に戻り、(Aᶜ)ᶜ = A です。これは U の各要素について、属さないことをさらに否定すると属することになるためです。法則は A や B が空集合でも U 全体でも有効です。ただし補集合を取るたびに別の全体集合を使うことはできません。

条件の言葉から集合へ戻す

ある対象について条件 p、q を考え、p を満たす対象の集合を A、q を満たす対象の集合を B とします。「p かつ q」を満たす対象は A ∩ B にあります。その否定は「p でない、または q でない」です。「または」は片方だけでなく両方とも満たさない場合も含みます。反対に「p または q」の否定は「p でなく、かつ q でない」です。

例えば「赤いカードで、かつ丸いカード」を選ぶ条件なら、赤くない丸いカードも、赤い四角いカードも、どちらの性質も持たないカードも、その条件を満たしません。色と形の両方を変えなければ否定にならない、と考える必要はありません。条件の一方が失敗するだけで、両方を要求する条件は失敗します。

空集合の場合も調べます。A が空集合なら A ∩ B は空集合で、その補集合は U です。右辺でも Aᶜ = U なので Aᶜ ∪ Bᶜ = U です。反対に A = U なら A ∩ B = B で、左辺は Bᶜ です。右辺も Aᶜ が空集合なので Bᶜ となります。図に領域を塗る場合でも、空の領域に要素があると決めつけず、所属の条件で読み取ります。

基本例題：要素を残らず照合する

全体集合 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}、A = {1, 2, 4, 7}、B = {2, 3, 4, 8} とします。(A ∩ B)ᶜ を集合の要素を並べて求め、法則の右辺とも照合してください。

まず共通する要素を拾い、全体から除きます。

A ∩ B = {2, 4}  （両方にある要素）
(A ∩ B)ᶜ = {1, 3, 5, 6, 7, 8}  （U から 2, 4 を除く）

図2のように4つの所属区分を並べると、2と4の区分以外が答えです。5と6はどちらにも入らないため、忘れずに補集合へ入れます。

図2を右辺からも読みます。Aに属さない数とBに属さない数をそれぞれ拾い、その和集合を取ります。

Aᶜ = {3, 5, 6, 8}
Bᶜ = {1, 5, 6, 7}
Aᶜ ∪ Bᶜ = {1, 3, 5, 6, 7, 8}

両方に属さない要素だけを選ぶと {5, 6} となり、片方だけに属する1、3、7、8を除いてしまいます。元の問いは「両方に属すること」の否定です。要素1を戻すと、1はAに属しますがBには属さず、確かに共通部分の外にあります。

標準例題：不等式の両端を残す

全体集合を実数全体とし、A = {x | x > -2}、B = {x | x ≤ 5} とします。(A ∩ B)ᶜ を不等式を用いて表してください。

A ∩ B は、2つの条件を同時に満たす範囲です。まず直接、元の範囲から考えます。

x ∈ A ∩ B ⇔ -2 < x ≤ 5
x ∈ (A ∩ B)ᶜ ⇔ x ≤ -2 または x > 5

左端 -2 は元の範囲に入らないので補集合に入り、右端 5 は元の範囲に入るので補集合には入りません。例えば -2 と 5 自身を代入すると、この開閉を点検できます。

法則を使う場合も同じ結果です。x > -2 の否定は x ≤ -2、x ≤ 5 の否定は x > 5 です。したがって Aᶜ ∪ Bᶜ は x ≤ -2 または x > 5 となります。ここで「かつ」を残すと、1つの実数が -2 以下かつ 5 より大きい必要があり、該当する数がありません。例えば -3 は元の共通部分の外にあるので、空集合では不適切です。

この問題では「実数全体」が補集合の基準です。もし全体集合を -4 以上 7 以下の実数に変えるなら、答えも -4 ≤ x ≤ -2 または 5 < x ≤ 7 に限られます。元の集合が変わらなくても、基準の外にある数を補集合に含めることはできません。

発展例題：内側の括弧まで否定を届ける

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}、A = {1, 2, 3, 4, 5}、B = {2, 4, 6, 8}、C = {3, 4, 7, 8} とします。{A ∩ (B ∪ C)}ᶜ を Aᶜ、Bᶜ、Cᶜ と ∩、∪ で表し、要素を並べて求めてください。

外側では A と (B ∪ C) の共通部分を否定しています。B ∪ C をひとまとまりと見て法則を使い、次に残った括弧に使います。

{A ∩ (B ∪ C)}ᶜ = Aᶜ ∪ (B ∪ C)ᶜ
                       = Aᶜ ∪ (Bᶜ ∩ Cᶜ)

最初の行では共通部分の補集合を和集合にし、次の行では和集合の補集合を共通部分にしました。A の補集合をさらに否定する操作はありません。括弧を残すのは、Bᶜ と Cᶜ の共通部分を作ってから Aᶜ と合わせるためです。

元の式から要素を計算して答えを確認します。

B ∪ C = {2, 3, 4, 6, 7, 8}
A ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4}
{A ∩ (B ∪ C)}ᶜ = {1, 5, 6, 7, 8, 9}

右辺でも Aᶜ = {6, 7, 8, 9}、Bᶜ ∩ Cᶜ = {1, 5, 9} なので、その和集合は同じ6要素です。例えば1はAには属しますがBにもCにも属しません。元の共通部分には入らず、答えに入ることが条件からも確かめられます。4は3集合に属するので元の集合に入り、答えには入りません。

無条件にすべての記号を一度に入れ替える方法では、どの括弧に補集合が掛かっているかを検証しにくくなります。1段ずつ進めれば、途中の集合を要素で確かめて誤りの位置を特定できます。

誤答を1要素で直す

「AかつB」の否定を「Aでない、かつBでない」としたとします。図3のように、Aにだけ属する要素を選ぶと、元の「AかつB」は成り立ちません。しかし誤答の「Aでない、かつBでない」も成り立ちません。元の条件が偽なのに否定も偽になるので、この書き換えは誤りです。

図3の要素はBに属さないため、「Aでない、またはBでない」なら条件を満たします。修正後は、両方に属する要素では偽、残りの3区分では真です。元の条件と真偽がちょうど逆転しています。

逆の誤りにも気をつけます。「AまたはB」の否定にまたはを残すと、片方だけに属する要素まで含みます。その要素は元の和集合に入るので、補集合には入れません。「または」の否定は、どちらにも属さないという「かつ」です。4区分を順に確認すれば、成功する区分と失敗する区分の両方を見比べられます。

練習：否定の対象を囲む

次の5問は、それぞれ指定された形で答えてください。補集合の基準は各問の U です。

1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}、P = {1, 3, 5}、Q = {3, 4, 5} とします。(P ∩ Q)ᶜ を要素を並べて表してください。
2. U = {a, b, c, d, e, f}、P = {a, b, d}、Q = {b, c, e} とします。(P ∪ Q)ᶜ を要素を並べて表してください。
3. U を実数全体、P = {x | x ≥ 1}、Q = {x | x < 6} とします。(P ∩ Q)ᶜ を不等式で表してください。
4. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}、P = {1, 2, 3}、Q = {2, 4, 6}、R = {3, 5, 6} とします。{P ∪ (Q ∩ R)}ᶜ を補集合と ∩、∪ を使って表し、要素も並べてください。
5. U を整数全体とし、P を偶数の集合、Q を3の倍数の集合とします。(P ∪ Q)ᶜ に属する条件を言葉で表し、-6 から 6 までの整数のうち属するものを列挙してください。

練習の解答と戻し方

1. P ∩ Q = {3, 5} です。U からこの2要素を除くので、答えは {1, 2, 4, 6} です。1はPに属しますがQには属さず、4はQに属しますがPには属しません。両方に属さない2と6も答えに入り、元の条件を満たす3と5は入りません。

2. P ∪ Q = {a, b, c, d, e} なので、答えは {f} です。Pᶜ = {c, e, f}、Qᶜ = {a, d, f} の共通部分からも同じ答えを得ます。f は両方に属さず、他の文字は少なくとも一方に属することを元の一覧で確かめられます。

3. P ∩ Q は 1 ≤ x < 6 です。その外側は x < 1 または x ≥ 6 です。1は元の条件を満たすので答えに入らず、6は x < 6 を満たさないので答えに入ります。Pᶜ の x < 1 と Qᶜ の x ≥ 6 を合わせても同じです。

4. 外側の和集合、内側の共通部分の順に法則を使います。

{P ∪ (Q ∩ R)}ᶜ = Pᶜ ∩ (Q ∩ R)ᶜ
                       = Pᶜ ∩ (Qᶜ ∪ Rᶜ)
Q ∩ R = {6}
P ∪ (Q ∩ R) = {1, 2, 3, 6}
{P ∪ (Q ∩ R)}ᶜ = {4, 5, 7}

4と5はPには属さず、QとRの両方に属することもありません。7はどの集合にも属しません。逆に6はQとRの両方に属するため、Pの外でも答えから除かれます。

5. 条件は「偶数でなく、かつ3の倍数でない」です。指定された範囲では {-5, -1, 1, 5} です。-6から6まで順に調べると、残る整数は偶数または3の倍数です。0は偶数であり3の倍数でもあるため、答えには入りません。列挙は指定された範囲の確認であり、整数全体の集合を列挙したものではありません。

要点

共通部分の補集合は、各補集合の和集合です。 和集合の補集合は、各補集合の共通部分です。 否定は括弧の外側から1段ずつ運びます。 不等式の端点と補集合の基準を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

答えが狭すぎるときは、片方にだけ属する要素を試してください。端点だけが違うときは、その値を元の不等式に代入して所属を決めます。個別指導では、式を変形する前に否定する条件を声に出し、4区分のどれを残すかを説明できるか確かめます。括弧と所属を対応させれば、複雑な否定も1段ずつ追えます。元の条件に戻す点検が、符号や端点の取り違えを見つけます。