高校数学I 一次不等式の文章題—数量の制約を立式して答えを場面へ戻す｜武蔵野個別指導塾

個数の整数条件や容量の上限を式と照らし、境界の扱いから選んだ答えを元の数量で検証します。

よくあるのは、高1の自習で個数を求める式を解き、小数のまま答えにしてしまう場面です。不等式の計算が正しくても、個数は負にならず、整数でなければなりません。問題の言葉から作った条件と、数量そのものが持つ条件を最後に重ねる必要があります。

一次不等式の文章題では、式を解く前に何を文字で置くかを決めます。その文字が表す単位を添え、問題の制約を式に移し、得られた範囲から場面に合う値を選びます。答えを元の数量に戻すところまでが一続きの作業です。

どんな制約を式にするか

出方の1つは、同じ物を何個加えられるかを問う問題です。最初からある量と1個当たりの増加量を分け、合計が上限を超えないようにします。答えが最大個数なら、不等式の境界以下の整数から最大のものを選びます。

もう1つは、長さの合計から必要な長さや取り得る範囲を求める問題です。長さは連続して変わる量ですが、正の長さという条件を忘れられません。材料を余らせてもよい場合と、必ず余らせる場合では、端の値を含むかどうかも変わります。

さらに、容量の上下両方から、条件を同時に満たす個数を探すことがあります。下限を満たすだけでも、上限を守るだけでも足りません。2つの条件を別々に式にしてから共通する範囲を取ると、どちらの条件による境界かを追いやすくなります。

言葉と式の橋を作る

「以下」は等しい場合を含み、「未満」は含みません。同様に「以上」は等しい場合を含み、「より大きい」は含みません。例えば合計が10以下なら、合計 = 10も許されるので、合計 ≤ 10です。10未満なら合計 < 10と書きます。この区別は、境界が整数になったときに答えを変えます。

図1のように、まず文字と単位を決め、合計を表す式と比較先を作ります。次に不等式を解き、最後に個数や長さの条件を重ねます。矢印の途中で単位が混ざっていないかも点検します。

図1の最後にある場面への確認は、得た値を不等式に入れるだけでは終わりません。元の言葉に戻し、実際の合計が上限や下限を満たすかを計算します。最大を求めたなら、その次の候補が条件を破ることまで確かめると、最大である理由も明確です。

個数をx個と置くなら、0個が許される場面ではxは0以上の整数です。少なくとも1個必要ならxは1以上の整数です。x ≤ 4.6という計算結果だけでは答えにならず、前者では0、1、2、3、4が候補です。一方、長さをx cmと置く場合は、特に整数とは限りません。問題で長さが正とされていればx > 0も必要です。

合計を作るときは、同じ単位にそろえます。容量ならLとmLを混ぜずに換算し、長さなら本数とcmをそのまま足しません。固定部分と変わる部分を区別すれば、1個当たりの量にxを掛ける理由も見えます。不等式を負の数で割る場合には不等号の向きを逆にします。0で割る操作はできません。

基本例題：箱に入る最大個数

空の箱に、重さが合わせて140 gの仕切りを入れます。さらに1個75 gの部品を同じ箱に入れ、仕切りと部品の合計を500 g以下にします。部品は0個でもよいものとします。入れられる部品の最大個数を整数で求めてください。

部品をx個と置くと、xは0以上の整数です。部品全体は75x gであり、仕切りを加えると140 + 75x gです。図2のように、固定される仕切りと、個数によって増える部品を足して上限と比べます。

500 g以下なので、等しい場合も含めて次のように解きます。

140 + 75x ≤ 500
75x ≤ 360
x ≤ 360/75
x ≤ 24/5

1行目は合計が上限以下という条件です。2行目は両辺から140を引き、3行目は正の75で割りました。4行目は分数の分子と分母を15で割った形です。24/5 = 4.8なので、0以上の整数としての候補は0、1、2、3、4です。最大個数は4個です。

元の場面に戻すと、4個では140 + 75・4 = 440 gで、500 g以下です。次の5個では140 + 75・5 = 515 gとなり、上限を超えます。部品を増やすたびに重さは75 gずつ増えるため、5個以上も上限を超えます。したがって4個が最大です。

4.8個という答えでは、部品を丸ごと数える条件を満たしません。また、最初の140 gを引かずに500を75で割ると、仕切りの重さを入れ忘れます。計算前に「仕切り + 部品」の形を書き、計算後に4個と5個を戻すと、両方の誤りを見つけやすくなります。

標準例題：長さの範囲と端点

長さ34 cmのひもから、同じ長さのひもを3本切り取ります。切り取るひもはそれぞれ正の長さとし、切った後にひもを少なくとも4 cm残します。切り取る1本の長さの範囲を、cmを単位とする不等式で表してください。切断による損失はないものとします。

1本の長さをx cmと置きます。長さが正なのでx > 0です。切り取る合計は3x cm、残りは34 − 3x cmです。「少なくとも4 cm」は4 cm以上ですから、次のようになります。

34 - 3x ≥ 4
-3x ≥ -30
x ≤ 10

2行目は両辺から34を引きました。3行目は負の数-3で割るため、不等号の向きを逆にしました。長さの条件と合わせ、答えは0 < x ≤ 10 cmです。

x = 10なら3本で30 cm、残りは34 − 30 = 4 cmです。等号を含む下限をちょうど満たします。例えばx = 5なら残りは19 cmで条件に合いますが、x = 11なら残りは1 cmで足りません。x = 0は残りの条件だけなら満たしても、切り取るひもが正の長さという条件に反します。

ここでxを整数と決める根拠はありません。例えばx = 9.5 cmも、3本で28.5 cm、残り5.5 cmなので許されます。もし「4 cmより多く残す」なら、残り > 4からx < 10となり、10 cmは答えから外れます。言葉のわずかな差が境界の開閉に対応します。

発展例題：容量の上下を同時に満たす

容器に最初から180 mLの液体が入っています。1本につき70 mL入った小瓶から、中身を残さず何本か加えます。加えた後の量を500 mL以上、800 mL未満にしたいとき、使える小瓶の本数をすべて整数で求めてください。容器は800 mL以上を入れられるものとします。

小瓶の本数をx本とすると、xは0以上の整数です。加えた後の量は180 + 70x mLです。下限と上限を別々に書いて解きます。

180 + 70x ≥ 500
70x ≥ 320
x ≥ 32/7

正の70で割っているので不等号の向きは変わりません。32/7は4より大きく5より小さいため、整数の本数は5本以上です。次に上限を扱います。

180 + 70x < 800
70x < 620
x < 62/7

62/7は8より大きく9より小さいので、整数の本数は8本以下です。両方を同時に満たす答えは5、6、7、8本です。

5本では180 + 70・5 = 530 mL、8本では180 + 70・8 = 740 mLで、いずれも500 mL以上800 mL未満です。その間の6本と7本も70 mLずつ増えるので、530 mLと740 mLの間に入り、両方の条件を満たします。4本では460 mLで下限に届かず、9本では810 mLで上限以上です。量は本数が増えると必ず増えるため、これらより外の本数も条件を満たしません。

下限と上限を1つの三辺の不等式にしても解けます。ただし、最初に2つに分けると、500以上と800未満の等号の違いを別々に追えます。どちらの方法でも、最後には共通範囲と整数条件の両方を適用します。

誤答をたどって直す

基本例題で「140 + 75x ≤ 500だからx ≤ 4.8。最大は5個」と答えたとします。5は4.8に近い整数ですが、4.8より大きいため不等式を満たしません。最大個数を求める場面でも、近い整数に四捨五入する操作は使えません。

図3のように、境界4.8より左側にある整数のうち、最も右にあるものを選びます。4は範囲に入り、5は入りません。数直線上の位置関係が、端の候補を選ぶ根拠になります。

図3の選択を元の重さでも確かめます。4個の440 gは上限以下ですが、5個の515 gは上限を超えます。逆に「少なくとも必要な個数」を問う場合には、下限以上にある整数を選びます。小数だから常に切り捨てると覚えるのではなく、どちら側が許されるかを見ます。

もう1つの誤りは「未満」を「以下」と同じにすることです。例えば合計が800 mL未満なら800 mLちょうどは許されません。境界が整数の本数に対応するときは、等号の有無がその本数の採否を変えます。まず日本語の条件を不等号に写し、その後で整数を選ぶ順番を守ります。

練習：条件を式と場面で往復する

次の5問は、答えの単位や形も含めて求めてください。

1. 120 gの袋に、1個40 gの玉を入れます。合計を370 g以下にするとき、玉の最大個数を整数で求めてください。0個も許します。
2. 長さ46 cmのリボンから同じ長さの部分を4本取ります。各部分の長さは正で、残りを6 cmより長くするとき、1本の長さの範囲をcmを単位とする不等式で表してください。切断の損失はありません。
3. 容器に90 mLの水があり、1杯55 mLの水を整数杯加えます。合計を300 mL以上、440 mL以下にするとき、加える杯数をすべて整数で求めてください。0杯も許します。
4. 1個に8枚の紙を使う飾りを、最初にある紙7枚と追加の紙を使って6個作ります。追加の紙は1束9枚です。必要な最小の束数を整数で求めてください。余った紙は使わなくて構いません。
5. 縦が横より3 cm長い長方形があります。横は正の長さで、周の長さは30 cm以下です。横の長さの範囲をcmを単位とする不等式で表してください。

練習の解答と確認

1. 玉をx個とするとxは0以上の整数で、120 + 40x ≤ 370です。40x ≤ 250、x ≤ 25/4 = 6.25なので、最大は6個です。6個なら合計360 g、7個なら400 gです。前者は370 g以下で、後者は上限を超えます。

2. 1本をx cmとすると、x > 0かつ46 − 4x > 6です。後者から-4x > -40、負の数で割ってx < 10です。答えは0 < x < 10 cmです。例えば9 cmなら残り10 cmで条件に合います。10 cmなら残り6 cmちょうどとなり、「より長い」を満たしません。

3. x杯とすると、xは0以上の整数で、300 ≤ 90 + 55x ≤ 440です。下限からx ≥ 42/11、上限からx ≤ 70/11です。したがって答えは4、5、6杯です。順に310、365、420 mLとなり、いずれも指定範囲内です。3杯では255 mL、7杯では475 mLで、下限と上限の外です。

4. 追加をx束とすると、xは0以上の整数です。必要な紙は8・6 = 48枚なので、7 + 9x ≥ 48です。9x ≥ 41、x ≥ 41/9より、最小は5束です。5束なら7 + 45 = 52枚で48枚を用意でき、4束なら43枚で足りません。下限の問題では、境界以上の最初の整数を選びます。

5. 横をx cmとするとx > 0、縦はx + 3 cmです。周の長さは2x + 2(x + 3) cmなので、2x + 2(x + 3) ≤ 30です。4x + 6 ≤ 30、4x ≤ 24、x ≤ 6を得ます。答えは0 < x ≤ 6 cmです。横6 cmなら縦9 cm、周は2・6 + 2・9 = 30 cmで上限に等しくなります。横7 cmなら縦10 cm、周は34 cmで条件を超えます。

手元に残す要点

• 文字が表す数量と単位、整数か正の数かを先に決めます。
• 合計を式にし、以上・以下と未満・より大きいの等号を区別します。
• 不等式の範囲と場面の条件を重ね、最大や最小の候補を選びます。
• 答えを元の数量へ戻し、隣の候補が外れる理由も確かめます。

どこで止まったかを見分ける

式が作れないときは、固定された量と1個当たりの量を別々に言葉で書いてみます。式は正しいのに答えが合わないときは、個数の整数条件と等号の有無を見直します。個別指導では、解いた範囲から候補を選ぶ理由を声に出し、選んだ値と隣の値を元の場面で計算できるかを確かめます。数量の制約と答えの関係がつながれば、別の単位や数値にも同じ考え方を使えます。