高校数学I 絶対値不等式—距離の内側と外側から解の範囲を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

基準点からの距離を使い、外側の2つの範囲や右辺が0以下の場合まで、絶対値不等式の解を選び分けます。

高1の自習で、絶対値がある値より大きいという条件を解き、数直線の外側の範囲を一続きにしてしまう場面があります。たとえば基準点から十分に離れる点を探すなら、右側だけでなく左側にも候補があります。2つを1本の区間で結ぶと、基準点の近くまで答えに含まれてしまいます。距離の意味と端点の扱いを結びつけて、式と数直線を行き来しましょう。

要点（結論から）

• 右辺が正のとき、小さい条件は内側、大きい条件は外側です。
• 外側の左右は「または」、内側の左右は「かつ」で結びます。
• 等号の有無で境界を含むか決めます。

どの範囲を探す問題か

出方の1つは、|x − a| < r のように、ある点からの距離が指定値より小さい範囲です。基準点 a に近い点を探すので、両側の境界の間を取ります。等号があると境界も含み、ないと含みません。

もう1つは |x − a| > r のように、距離が指定値より大きい範囲です。このときは左右に離れた2つの部分を「または」で結びます。左右の端点の間を取ると条件が逆になるため、基準点を代入して解に入るか確かめると間違いを見つけやすくなります。

さらに、絶対値の右辺が文字を含むと、指定された距離が正、0、負のどれかで答えの形が変わります。別の不等式と同時に満たす条件もあります。いずれもまず距離として可能かを見て、その後で必要な範囲を取ります。

距離の定義から内側と外側へ

実数 t の絶対値 |t| は、t ≥ 0 なら t、t < 0 なら -t です。したがって常に |t| ≥ 0 です。|x − a| は数直線上で x に対応する点と a に対応する点との距離を表します。a より左にある点でも、距離は負になりません。

r > 0 とします。a から距離 r の2点は a − r と a + r です。図1のように、距離が r より小さい点はその間にあります。一方、距離が r より大きい点は両端の外側にあります。等しい場合を含めるかは不等号で決まります。

図1では、上の線が内側、下の線が外側を表します。白い丸は端点を含まない印です。r > 0 のとき、この関係は次のように書けます。

|x - a| < r  ⇔  a - r < x < a + r
|x - a| ≤ r  ⇔  a - r ≤ x ≤ a + r
|x - a| > r  ⇔  x < a - r または x > a + r
|x - a| ≥ r  ⇔  x ≤ a - r または x ≥ a + r

内側は左右の条件を同時に満たすため「かつ」です。外側は左か右のいずれかを満たせばよいため「または」です。数直線の色が付いた部分が、それぞれ条件を満たす範囲です。

式でも理由を確認しましょう。|t| < r は -r < t < r と同値です。実際、t ≥ 0 なら |t| = t なので t < r であり、-r < t も成り立ちます。t < 0 なら |t| = -t なので -t < r、すなわち -r < t であり、t < r も成り立ちます。逆向きも符号別に同じ定義を使えば示せます。等号を含む場合も同様です。外側は内側と境界を除いた部分として考えられます。

右辺が0以下なら、この4行を機械的に使う前に調べます。|t| は負にならないので、|t| < 0 と |t| ≤ 負の数 は解なしです。|t| ≤ 0 の解は t = 0、|t| > 0 の解は t ≠ 0 です。|t| ≥ 0 はすべての実数で成り立ちます。右辺が負なら |t| > その数 と |t| ≥ その数 はどちらもすべての実数です。

基本例題：外側の2つの部分

例題1　実数 x について |x − 2| > 3 を解き、不等式で範囲を表してください。

右辺の3は正です。2からの距離が3より大きい点を探します。境界は 2 − 3 = -1 と 2 + 3 = 5 です。図2のように、左の境界より左か、右の境界より右を取ります。

図2の白い丸は、距離がちょうど3となる -1 と5を含まないことを示します。式では次のように変形できます。

|x - 2| > 3
⇔ x - 2 < -3 または x - 2 > 3
⇔ x < -1 または x > 5

最初の変形は距離の外側、次は各不等式の両辺に2を加えたものです。答えは x < -1 または x > 5 です。例えば x = -2 では距離が4、x = 6 でも距離が4なので条件を満たします。間の x = 2 では距離が0で、条件を満たしません。境界 -1 と5では距離が3であり、厳密な不等号なので除きます。左と右をつなぐ表現にすると、条件に合わない2まで入ることに注意します。

同じ式でも不等号を変えると、境界の扱いが変わります。たとえば例題1で不等号を ≥ にすれば、-1 と5では距離がちょうど3なので、両方とも加えます。逆に < にすれば、2を中心とする内側を選びます。そのとき -1 < x < 5 となり、両端は含みません。境界を計算することと、その境界のどちら側を取ることは別の判断です。

絶対値の中に係数がある場合も、距離の基準を読み違えないようにします。たとえば |2x + 1| は、2倍した x に1を足した数の絶対値です。まず中身全体を1つの数とみて不等式を作り、それから x について整理できます。係数が負であれば、その数で割るときに不等号が反転することも必要です。数直線に移す前に、整理した左右の端点の順序と不等号を見直します。

標準例題：別の条件と重ねる

例題2　実数 x が |2x + 1| ≤ 5 と x > -2 を同時に満たす範囲を、不等式で表してください。

5は正なので、絶対値の中身を -5 以上5以下にします。両辺を正の2で割るため、不等号の向きは変わりません。

|2x + 1| ≤ 5
⇔ -5 ≤ 2x + 1 ≤ 5
⇔ -6 ≤ 2x ≤ 4
⇔ -3 ≤ x ≤ 2

これと x > -2 の共通範囲を取ります。-2 は前者には含まれますが、後者には含まれません。2は両方を満たします。よって答えは -2 < x ≤ 2 です。

境界を元の条件に戻します。x = -2 では |2x + 1| = 3 ですが、x > -2 に等号がないので除きます。x = 2 では絶対値が5で、もう一方の条件も満たします。例えば x = -1 は両方を満たし、x = -5/2 は絶対値の条件を満たしても x > -2 を満たしません。どちらか一方の範囲を採用するだけでは連立の答えにならないことが見えます。

発展例題：右辺の符号で答えが変わる

例題3　実数 a について、不等式 |x − 1| ≥ a を解き、a の範囲ごとに x の範囲を不等式で表してください。

まず左辺は常に0以上です。a が負なら左辺は必ず a より大きく、a = 0 でも等号を含めて常に成立します。この2つをまとめると、a ≤ 0 のとき解はすべての実数です。

次に a > 0 とします。1からの距離が a 以上なので、境界 1 − a、1 + a を含む外側を取ります。

|x - 1| ≥ a
⇔ x - 1 ≤ -a または x - 1 ≥ a
⇔ x ≤ 1 - a または x ≥ 1 + a

したがって、a > 0 のときの答えは x ≤ 1 − a または x ≥ 1 + a です。境界ではどちらも距離が a で、等号があるため含みます。x = 1 は距離が0なので、この場合は含まれません。一方 a = 0 なら x = 1 も含みます。0を正の場合に紛れ込ませるより先に、左辺の非負性を使うと端の扱いを説明できます。

なお、a < 0 のときに 1 − a と 1 + a を距離 a の境界と呼ぶことはできません。距離が負になる点は存在しないからです。数式だけを覚えて境界を並べ替える方法では、この意味を見落としやすくなります。

例題3で等号を含まない |x − 1| > a に変えた場合も、0を別に調べる価値があります。a < 0 ならすべての実数が解ですが、a = 0 では x = 1 の左辺が0となり条件を満たしません。a > 0 なら境界を含まない外側です。等号1つの違いが、a = 0 における基準点の採否に現れます。

誤答を直す：外側を間にしない

|x + 1| ≥ 4 を解くとき、「-5 ≤ x ≤ 3」としたとします。境界の数自体は -1 − 4 = -5 と -1 + 4 = 3 で正しいものの、選んだのは距離が4以下の内側です。

図3のように、基準点 -1 はこの誤答に含まれます。しかし元の左辺は |-1 + 1| = 0 で、0 ≥ 4 は成り立ちません。基準点を1つ戻すだけで、この範囲が正解ではないと判定できます。ただし1点の確認は誤りの発見には使えても、範囲全体の正しさの証明にはなりません。

正しくは距離が4以上なので、左端以下または右端以上です。4は正であり、次の変形が成り立ちます。

|x + 1| ≥ 4
⇔ x + 1 ≤ -4 または x + 1 ≥ 4
⇔ x ≤ -5 または x ≥ 3

両端では距離が4なので黒塗りの点として含めます。例えば -6 と4は距離が5で条件を満たし、0は距離が1で満たしません。図3で2本の線を比べると、端点の内側と外側の違いがわかります。

連立で外側が現れた場合は、左右を別々に重ねると見落としを防げます。たとえば x < -1 または x > 5 という範囲に x ≤ 7 を重ねると、左側はすべて残り、右側は 5 < x ≤ 7 になります。答えは x < -1 または 5 < x ≤ 7 です。5では距離の条件が成立せず、7では両方の条件が成立するため、丸の種類が異なります。

一方、同じ外側に -1 ≤ x ≤ 5 を重ねると共通部分はありません。左右の境界は後者に含まれますが、前者に含まれないからです。数直線で線が接して見えても、接点の両方が塗られていなければ、その点は共通部分に入りません。条件が両方成立する点を実際に探すと、空集合になる理由を説明できます。

右辺が負のときも、記号の向きを個別に読みます。絶対値が負の数より小さいという条件は満たせませんが、負の数より大きいという条件は常に満たします。0との比較では、等号を含むかどうかによって、基準点が残るか消えるかも変わります。正の数の場合の図をそのまま使う前に、この例外を調べる習慣をつけます。

練習：条件と端点を見分ける

次の5問は、いずれも x を実数とします。答えは不等式、すべての実数、または解なしで表してください。

1. |x − 4| < 2 を解いてください。
2. |x + 3| ≥ 2 を解いてください。
3. |3x − 2| ≤ 4 と x < 1 を同時に満たす範囲を求めてください。
4. |x + 5| < -1 を解いてください。
5. |x − 6| > 0 を解いてください。

答えと解き方

1. 右辺は正なので、距離2未満の内側を取ります。

-2 < x - 4 < 2
2 < x < 6

答えは 2 < x < 6 です。端点2と6の距離はどちらも2なので含みません。4では距離が0で条件を満たし、1と7では距離が3で満たしません。

2. -3から距離2以上の外側です。

x + 3 ≤ -2 または x + 3 ≥ 2
x ≤ -5 または x ≥ -1

答えは x ≤ -5 または x ≥ -1 です。両端では距離が2で等号が成立し、基準点 -3 では距離が0なので除かれます。-6と0では距離が3で条件を満たします。

3. まず絶対値の条件を解きます。

-4 ≤ 3x - 2 ≤ 4
-2 ≤ 3x ≤ 6
-2/3 ≤ x ≤ 2

これと x < 1 の共通部分は -2/3 ≤ x < 1 です。左端では |3x − 2| = 4 で、もう一方の条件も満たします。右端1では絶対値は1ですが x < 1 を満たしません。0では両条件を満たし、2では後者を満たしません。

4. 左辺は0以上なので、負の数 -1 より小さくなることはありません。答えは解なしです。基準点 -5 で左辺が最小の0になっても、0 < -1 は成り立ちません。

5. 左辺が0になるのは x − 6 = 0、つまり x = 6 の場合です。それ以外では距離が正なので、答えは x < 6 または x > 6 です。6を代入すると0 > 0 は成り立たず、5と7では左辺が1となり条件を満たします。

要点

• 右辺が正のとき、小さい条件は内側、大きい条件は外側です。
• 外側の左右は「または」、内側の左右は「かつ」で結びます。
• 等号の有無で境界を含むか決めます。
• 右辺が0以下なら絶対値の非負性から先に調べます。
• 連立では各条件の共通範囲を取ります。

手が止まる場所を見分ける

境界を正しく出せても基準点を答えに入れてしまうなら、まず基準点で距離が0になることを口に出して確認します。境界の丸だけが違う場合は、その点を元の不等式へ代入して等号の意味に戻ります。右辺が文字の場合は、正の値だけを代入して一般化していないか、0と負の値でも点検します。

個別指導では、数直線に選んだ部分を指しながら「どの点が、どの点から、どれだけ離れるか」を説明できるか確かめます。連立なら各条件を別々に描いてから重なりを選び、その端点を元の両条件へ戻します。距離と不等号の対応が、範囲を選ぶ根拠です。境界を含むかどうかまで、自分の言葉で説明してみましょう。