高校数学I 絶対値と距離—数直線の基準点から式の意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

|x + 3| の基準点がどこかを数直線で読み、符号と距離の関係から式の意味をたどります。読み解く鍵は絶対値と距離です。

よくあるのは、高1の自習で |x + 3| の距離の基準点を 3 に置いてしまう場面です。括弧の中に見える符号と、数直線上の点の符号は、そのまま同じにはなりません。何から何を引いているかを確かめれば、点の位置は式から決まります。距離は向きを含まない量なので、左側にある点についても負にはなりません。基準点を読み取るところから始め、式と数直線を行き来しましょう。

要点（結論から）

• 絶対値は原点からの距離で、0 以上です。
• |x − a| は座標 x と a の2点間の距離です。
• |x + b| の基準点は -b で、中身を 0 にしても確かめられます。

どんな読み取りが求められるか

1つ目は、数の絶対値を原点からの距離として読む型です。例えば -5 は原点の左にありますが、原点からの距離は 5 です。点の座標と距離は異なる量ですから、負の座標をそのまま距離の答えにしません。

2つ目は、|x − a| の基準点を特定する型です。x と a は数直線上の2点の座標で、その間の距離が |x − a| です。|x + 3| は |x − (-3)| と書き直すと、基準点が -3 と読めます。式の中の + だけを見て判断するのではなく、引く数を括弧で示します。

3つ目は、点が基準点の左右どちらにあるかを使って、距離を絶対値記号のない式で表す型です。距離は右の座標から左の座標を引いて求めます。点が重なるときは距離が 0 です。ここでは距離の意味と式の対応を中心に扱い、絶対値を含む方程式や不等式の一般的な解法には立ち入りません。

原点から2点間へ

実数 t の絶対値 |t| は、t が 0 以上なら t、t が 0 未満なら -t と定義します。0 の絶対値は 0 です。t が負のときは -t が正になるので、絶対値はいつも 0 以上です。この定義は、数直線上で t を表す点と原点との距離に一致します。

例えば |4| = 4、|-4| = 4 です。2点は原点の反対側にありますが、原点までの距離は等しくなります。一方、|0| = 0 は、点が原点と重なっていることを表します。絶対値が 0 になるのは、中身が 0 の場合です。

原点以外を基準にするには、2点の座標の差を考えます。図1のように、座標 a と x の点を置きます。x が a より右なら距離は x − a、左なら距離は a − x です。x = a ならどちらの差も 0 です。したがって、どの位置関係でも2点間の距離は |x − a| です。

図1では、左側と右側で引く順序が変わります。x − a は基準点から見た符号つきの差ですが、|x − a| はその向きを取り除いた距離です。順序を逆にした |a − x| も同じ距離になります。2つの中身は互いに符号が逆で、絶対値は等しいからです。

この考えを式に戻すと、|x − a| の中身が 0 になる x = a が基準点です。|x + b| なら x − (-b) と書き直せますので、基準点は -b です。b 自体が負の場合も同じ規則が働きます。例えば b = -2 なら x + b = x − 2 で、基準点は 2 です。文字の前にある記号だけでなく、引かれる数の値まで確認します。

距離から点の位置を考える

距離が同じでも、点の位置が同じとは限りません。基準点 a から正の距離 d だけ離れた点は、左に進んだ a − d と右に進んだ a + d です。2点の間隔はそれぞれ d で、左右という向きが異なります。d = 0 なら2つの表現はどちらも a になり、点は重なります。距離は負にならないため、負の数を距離として指定した場合には、それを満たす点はありません。

この区別は、式を読むときにも役立ちます。|x − a| の値が正なら、x は a の左右いずれかにあります。中身 x − a の符号までわかれば、右か左かも決まります。絶対値の値だけを見て右側と決めることはできません。逆に、点が右にあるとわかっても、その距離の具体的な数は座標の差を計算するまで決まりません。

距離は座標の原点の取り方を変えても変わりません。例えば両方の座標に同じ数 c を加えると、差は (x + c) − (a + c) = x − a です。2点を同じ向きに同じだけ移したことに相当し、間隔は保たれます。この性質からも、2点間の距離にはそれぞれの座標の絶対値ではなく、座標の差を使う理由が見えます。原点からの距離と、任意の2点間の距離を取り違えないようにします。

基本例題：基準点を置いて測る

数直線上の点 P の座標を x とします。|x + 2| が表す距離の基準点を答え、x = 3 と x = -5 のときの距離をそれぞれ整数で求めてください。

まず中身を引き算の形にします。

x + 2 = x - (-2)

したがって基準点の座標は -2 です。図2のように基準点と2つの候補を置くと、3 は右、-5 は左にあります。距離はそれぞれ右の座標から左の座標を引きます。

x = 3 のとき  3 - (-2) = 5
x = -5 のとき  (-2) - (-5) = 3

答えは基準点 -2、距離は順に 5、3 です。式に戻しても |3 + 2| = 5、|-5 + 2| = |-3| = 3 です。左の点では中身が負ですが、距離を負にはしません。基準点自身 x = -2 を代入すると |-2 + 2| = 0 となり、点が重なることとも一致します。

図2の2本の区間は長さも目盛りに対応しています。式から基準点を出した後、実際に数直線に置き直すと、符号の取り違えを見つけやすくなります。

標準例題：同じ式を位置ごとに読む

点 P の座標を x とします。|x − 4| を、x < 4、x = 4、x > 4 のそれぞれで絶対値記号を使わない式として表してください。また x = 1 と x = 7 の距離を整数で求めてください。

基準点は 4 です。x < 4 では P は基準点の左にあり、右の座標から左の座標を引くので距離は 4 − x です。定義でも x − 4 < 0 なので、次のようになります。

|x - 4| = -(x - 4)
        = 4 - x

x = 4 では2点が重なり、距離は 0 です。x > 4 では P が右にあり、x − 4 > 0 ですから |x − 4| = x − 4 です。境界を左右どちらかに含める書き方もできますが、ここでは重なる場合を独立させて点検しました。

x = 1 は左側なので 4 − 1 = 3、x = 7 は右側なので 7 − 4 = 3 です。元の式でも |1 − 4| = 3、|7 − 4| = 3 となります。両点は基準点から反対方向に 3 ずつ離れています。基準点を足したり引いたりすると、4 − 3 = 1、4 + 3 = 7 と元の座標に戻ります。

負の中身に対して括弧を外すとき、先頭の x の符号だけを変える方法は使えません。負号は括弧全体に掛かるからです。また、x − 4 が正か負かを調べずに常に x − 4 とすることもできません。例えば x = 1 では -3 となり、距離として不適切です。まず境界 x = 4 を見つけ、位置を判定してから差の向きを決めます。

発展例題：動く2点の間隔

数直線上の点 A、B の座標をそれぞれ 2t + 1、t + 5 とします。2点間の距離を t を使った絶対値の式で表し、t < 4、t = 4、t > 4 の各場合に絶対値記号のない式で答えてください。さらに t = 1 と t = 6 の距離を整数で求めてください。

どちらの点も動きますが、距離は座標の差の絶対値です。A の座標から B の座標を引くと、

(2t + 1) - (t + 5) = 2t + 1 - t - 5
                      = t - 4

よって距離は |t − 4| です。ここで 4 は t の数直線上で2点が重なる値です。元の座標の数直線で固定された点 4 から測っている、という意味ではありません。2つの数直線が表すものを区別します。

差 t − 4 の符号を見ると、t < 4 なら A の座標が B より小さく、距離は -(t − 4) = 4 − t です。t = 4 なら A、B の座標はともに 9 で、距離は 0 です。t > 4 なら A の座標が B より大きく、距離は t − 4 です。左右が入れ替わる境目を先に求めたので、どちらを引くかが決まります。

検算します。t = 1 では A が 3、B が 6 なので距離は 6 − 3 = 3 です。式でも |1 − 4| = 3 です。t = 6 では A が 13、B が 11 なので距離は 13 − 11 = 2、式でも |6 − 4| = 2 です。境界の前後で左右が入れ替わっても距離が負にならず、境界では 0 になることを確かめました。

座標の差を求めず、各座標の絶対値の差を取る方法は一般には使えません。例えば t = 1 では偶然 |6| − |3| = 3 ですが、点が原点の反対側にある場合には一致するとは限りません。必要なのは原点までの距離の差ではなく、2点の座標の差の絶対値です。

この例では差の係数が正なので、t が 4 を通過すると A が左から右へ移ります。係数が負なら入れ替わる向きは逆になりますが、座標の大きい方から小さい方を引く考えは変わりません。差が常に 0 なら2点は常に重なります。差が 0 以外の定数なら左右の順序は変わらず、距離も一定です。文字を含む式では、境界が存在するかどうかも確かめてから位置関係を整理します。

誤答を点の位置から直す

|x + 3| を「点 x と点 3 の距離」と読み、x = 1 で距離を 2 としたとします。この読み方では |x − 3| を計算しています。元の式は |x − (-3)| ですから、図3のように基準点は -3 です。

図3では x = 1 から -3 までは 4、3 までは 2 です。元の式に代入すると |1 + 3| = 4 なので、正しい距離は 4 です。誤答が生じた理由は、見えている + 3 を基準点の座標だと読んだことにあります。中身が 0 になる x を試せば、-3 で距離 0 となることからも基準点を確かめられます。

もう1つの誤りは、x = -5 のとき |x + 3| = -2 とすることです。中身は -2 ですが、絶対値は 2 です。-5 は -3 の左にあり、右の -3 から左の -5 を引くと 2 です。中身の符号と距離の符号を別々に書き、最後に数直線で長さを確かめると修正できます。

練習問題

各点の座標は実数とします。距離は整数または指定された式で答えてください。

1. 点 P の座標が -8 のとき、原点から P までの距離を整数で求めてください。
2. |x − 6| が表す距離の基準点の座標と、x = 2 のときの距離を整数で求めてください。
3. |x + 7| を x < -7、x = -7、x > -7 の各場合に絶対値記号のない式で表してください。
4. 座標 -4 の点から距離 5 にある点の座標を、整数ですべて求めてください。
5. 点 C、D の座標がそれぞれ 3s − 2、s + 4 です。2点の距離を絶対値を使う式で表し、s = 2 の距離を整数で求めてください。

解答と解き方

1. |-8| = 8 なので 8 です。原点から左に 8 進むと -8 に戻ります。座標は負でも距離は正です。

2. |x − 6| は点 6 から点 x までの距離です。基準点は 6、x = 2 では右の 6 から左の 2 を引いて 4 です。元の式でも |2 − 6| = 4 で、2 + 4 = 6 と基準点へ戻れます。

3. 基準点は -7 です。x < -7 では x + 7 < 0 なので -(x + 7) = -x − 7、x = -7 では 0、x > -7 では x + 7 > 0 なので x + 7 です。例えば左右の -8 と -6 ではどちらも距離 1 となり、境界では距離 0 です。負号を括弧全体に掛けていることも点検します。

4. 基準点 -4 から左に 5、右に 5 動くので、座標は -4 − 5 = -9 と -4 + 5 = 1 です。どちらも元の条件に戻すと |-9 − (-4)| = 5、|1 − (-4)| = 5 です。数直線上で基準点の左右にそれぞれ1点ずつあり、他の位置は距離が異なります。

5. 座標の差は (3s − 2) − (s + 4) = 2s − 6 なので、距離は |2s − 6| です。s = 2 では C が 4、D が 6 となり、距離は 2 です。式への代入でも |4 − 6| = 2 です。差が 0 になる s = 3 では両点とも 7 となり、重なる場合も一致します。

要点

• 絶対値は原点からの距離で、0 以上です。
• |x − a| は座標 x と a の2点間の距離です。
• |x + b| の基準点は -b で、中身を 0 にしても確かめられます。
• 絶対値を外す前に中身の符号を調べ、距離は右の座標から左の座標を引きます。

手が止まったときに確かめること

基準点を間違える場合は、中身を x − a の形に書き換え、x = a で距離が 0 になるかを見ます。距離が負になる場合は、座標の差と距離を別の行に書いて、どちらが右にあるかを数直線で確認します。個別指導では、基準点の左右と重なる点の3か所を自分で選んで式に代入し、図と計算の両方が一致するかを確かめます。計算が合っていても、どの点から測った距離かを言葉で答えられるか確認します。基準点が動く問題では、何を座標とする数直線かを言葉にすると混同を見分けられます。