高校数学I 実数の分類—分数表示と小数表示を結んで数の種類を判定する｜武蔵野個別指導塾

循環前の数字を含む小数を既約分数に直し、0の列が伸び続ける小数が循環しない理由まで考えます。

よくあるのは、高1の自習で小数が終わらないと気づき、その数をすべて無理数にしてしまう場面です。例えば 0.333… はどこまでも続きますが、1/3 と同じ数です。終わるかどうかに加え、同じ数字の並びが繰り返されるかを見なければなりません。分数と小数を行き来しながら、判定の理由を確かめましょう。

要点（結論から）

• 有理数は分母が0でない整数同士の分数で表せます。
• 有限小数と循環小数は有理数で、循環しない無限小数は無理数です。
• 循環小数は循環する部分をそろえて引き、分数に直します。

どの情報から種類を決めるか

出方の1つは、分数や根号を含む数を有理数と無理数に分ける問題です。見た目が分数でも分母に文字や根号がある場合、整数同士の分数に直せるかを調べます。整数も分母を1とすれば有理数です。根号があるから必ず無理数という判断もできません。

2つ目は、小数の並びから分類する問題です。有限小数と循環小数は有理数ですが、無限小数という情報だけでは分類が決まりません。循環しないことが条件や証明によって確定して初めて無理数と判定できます。途中までの数字が似ているだけでは、先の並びを決められない点にも注意します。

3つ目は、循環小数を分数に直す問題です。循環する部分の長さに合わせて10倍、100倍などを選び、同じ無限の部分を引き算で消します。循環の前に繰り返さない数字がある場合は、その位置をそろえる操作が必要です。分数を約分し、元の小数へ戻すところまでが解答の点検です。

数の集合と小数の対応

整数 m、0でない整数 n を用いて m/n と表せる数を有理数といいます。有理数でない実数を無理数といいます。実数は有理数と無理数に分かれ、同じ数が両方に入ることはありません。負の数や0も対象です。例えば 0 = 0/1、-4 = -4/1 なので、どちらも有理数です。分母を0にしてはいけません。0で割る操作には値が定まらないからです。

有限小数は、適当な10の累乗を分母とする分数に直せます。例えば 0.125 = 125/1000 = 1/8 です。小数点以下が終わっていても、末尾に0を続ければ 0.125000… と書けます。この表し方では0が繰り返されますが、有限小数として扱って差し支えありません。

循環小数とは、ある位から先で同じ数字の並びが繰り返される無限小数です。繰り返す並びを循環節と呼びます。例えば 0.272727… の循環節は27です。0.1666… では最初の1は循環に入らず、その後の6が循環節です。循環が小数点の直後から始まるとは限りません。

図1のように、分数で表せる数と小数の形は対応します。有限小数も循環小数も有理数で、循環しない無限小数が無理数です。

図1の対応の理由を見ます。整数同士の割り算では、分母を正の整数に直すと、各段階の余りは0以上、分母未満の整数です。余りが0になれば小数は終わります。0にならずに割り算を続けると、取り得る余りは有限個なので、いずれ同じ余りが再び現れます。同じ余りからは同じ商の数字と次の余りが生じるため、その先は繰り返されます。負の分数も符号を外して同じように考えられます。

逆に、循環小数を10の累乗倍して引けば整数同士の分数に直せます。この後の例題で計算を示します。したがって有理数の小数表示は有限小数か循環小数です。表示の末尾に9を無限に並べる場合には 0.999… = 1 のように同じ数に別の表示もあります。この等式は、x = 0.999… として 10x − x = 9 を用いて確かめられます。有限小数が9の循環表示も持つことは、分類の矛盾にはなりません。

基本例題: 循環する場所をそろえる

次の数を既約分数で表し、有理数か無理数かを答えましょう。

0.1 363636…

ここでは小数第1位の1の後に36が繰り返されます。x = 0.1363636… と置きます。循環する2桁分だけずらしても、小数点の直後の1が残るので、そのまま100x − xとすると小数部分は消えません。まず10倍して循環の始点を小数点の直後に置き、さらに100倍したものと引きます。

x = 0.1363636…
10x = 1.363636…
1000x = 136.363636…
1000x - 10x = 136.363636… - 1.363636…
990x = 135
x = 135/990
x = 3/22

最初の2行は定義と10倍です。次の行は10xを100倍し、同じ36の列をそろえています。小数部分が一致するため、引き算で残るのは整数部分の差135です。990は0でないので割ることができ、分子と分母を45で割って既約分数にしました。

図2のように、小数点以下の列をそろえてから引くと、消える部分を確かめられます。3/22は整数同士の分数で分母も0でないため、有理数です。

図2の結果を元に戻します。3を22で割ると、最初の小数の数字は1、余りは8です。次は3、余りは14、次は6、余りは8です。以後は余り8と14が交互に現れるため、商の数字36が繰り返され、問題の小数に戻ります。答えを代入するだけでなく、循環の始点も一致しています。

標準例題: 分母から小数の形を見る

分数 21/160 を既約分数として調べ、有限小数か循環小数かを答え、小数で表しましょう。

21と160に共通する正の整数の因数は1だけです。また 160 = 2⁵・5 です。分母の因数が2と5だけなので、分子と分母に適切な整数を掛ければ分母を10の累乗にできます。

21/160 = (21・625)/(160・625)
= 13125/100000
= 0.13125

160・625 = 100000 であり、掛けた625は0ではありません。分数の値は変わらず、有限小数になりました。逆に 0.13125 を 13125/100000 と戻して約分すると 21/160 です。小数点の位置まで確認できます。

既約分数の分母に2と5以外の素因数があれば、有限小数にはなりません。もし有限小数なら分母が10の累乗の分数として表せますが、既約分数と等しいとき、その分母は10の累乗を割り切る必要があるからです。そのような素因数は10の累乗には含まれません。ただし有限でないことだけで無理数とはいえません。元の分数は有理数なので、余りの議論により小数は循環します。

約分する前に分母だけを見ると判定を誤る場合があります。例えば 6/15 は分母に3を含みますが、約分すると 2/5 = 0.4 です。分母の因数を調べる方法は、まず既約分数に直して使います。0も 0/1 として有限小数です。

発展例題: 繰り返しのない理由を示す

小数点以下を、1、01、001、0001、……の順につなげた数を考えます。つまり、各1の直前に並ぶ0の個数が順に0個、1個、2個、3個、……と増える小数です。この数が有理数か無理数かを答え、理由を示しましょう。

小数は 0.1010010001… と始まります。並びの規則によって1はどこまでも現れ、隣り合う1の間の0の個数は限りなく増えます。単に「不規則に見える」とするのではなく、この2点を使います。

仮にこの小数が有理数なら、無限に続くので、ある位から先は一定の桁数の循環節を繰り返します。その長さを正の整数 k とします。循環部分に1がなければ、その先に1は現れません。しかし規則から1はどこまでも現れるので矛盾します。

循環部分に1があるとすると、同じ循環節が続くため、循環開始後の任意の連続する k 桁には1が含まれます。ところが規則によれば、循環開始位置より後にも k 個以上の0が連続する箇所があります。これは連続する k 桁に必ず1が含まれることに反します。どちらの場合も矛盾するので、この小数は循環せず、無理数です。

この議論では、有限個の数字を眺めた結果を証明にしていません。循環の長さ k がいくつであっても、それ以上の長さの0の列が後に現れることを使いました。また、0が長く続くという事実だけでは不十分です。例えば途中から0だけになる有限小数の表示も長い0の列を持ちます。1がいつまでも現れることを併せて使うのが要点です。

誤答をほどく: 終わらないことと循環しないこと

「0.454545… は終わらないので無理数」と答えたとします。この小数は45を繰り返しており、終わらないという観察自体は正しいものの、分類の理由が足りません。図3のように、終わらない場合にも循環する道と循環しない道があります。

図3の循環する側を分数で確かめます。y = 0.454545… とすると、循環節は2桁なので100倍します。

100y = 45.454545…
100y - y = 45
99y = 45
y = 5/11

分母11は0でなく、整数同士の分数です。実際に5を11で割ると余りは順に6、5と戻り、商の数字45が繰り返されます。よって有理数です。誤答を直すには、まず終わるか、次に終わらない場合は循環するかを調べます。

反対方向の誤りにも注意します。「たくさん数字を見ても繰り返しが見つからないから無理数」とは限りません。例えば非常に長い並びがその先で繰り返される可能性が残ります。問題に並びの規則が示されていないときは、有限個の数字から先を勝手に決めないことです。循環を確認できない場合と、循環しないと証明できた場合を区別します。

練習問題

次の5問を解きましょう。分数は既約分数、小数は省略記号を使って循環の仕方が伝わる形で答えます。分類を求める問では有理数か無理数かを答え、理由も書きます。

1. -0.375 を既約分数で表し、分類してください。
2. 0.727272… を既約分数で表し、分類してください。
3. 0.258888… を既約分数で表し、分類してください。8が繰り返されます。
4. 14/45 を小数で表し、有限小数か循環小数かを答えてください。
5. 小数点以下に 2、03、002、0003、00002、000003、……と並べます。各まとまりは0を順に0個、1個、2個、3個、……並べた後に、2と3を交互に置いたものです。この数を分類し、理由を示してください。

練習の解答と点検

1. -0.375 = -375/1000 = -3/8 です。分母は0でない整数なので有理数です。逆に -3/8 = -0.375 と戻り、符号と小数第3位までが元の数と一致します。

2. x = 0.727272… と置くと、循環節は72なので 100x = 72.727272… です。差を取って 99x = 72、したがって x = 72/99 = 8/11 です。分母は0でなく有理数です。8を11で割ると余りが3、8と繰り返され、商は0.727272… に戻ります。

3. x = 0.258888… と置きます。循環しない25を小数点の左に移すと 100x = 25.8888… です。さらに10倍した 1000x = 258.8888… との差から 900x = 233、x = 233/900 です。整数同士の分数なので有理数です。233を900で割れば小数第1位は2、次は5、以後は余りが800のままで8が続き、元の位置から循環します。

4. 14を45で割ります。商の小数第1位は3で余りは5、第2位は1で余りは5に戻ります。よって 14/45 = 0.31111… で、1を循環節とする循環小数です。逆に x = 0.31111… とすれば、10x = 3.111…、100x = 31.111… なので 90x = 28、x = 14/45 となり、元の分数に戻ります。分母45に5以外の奇素因数3が残ることも、有限小数でないことと一致します。

5. 無理数です。2と3はいずれも後のまとまりまで交互に現れ、0の連続する個数は限りなく増えます。仮にある位から長さ k の循環節が続くなら、その循環節に0以外の数字がなければ、以後2も3も現れません。これは規則に反します。一方、0以外の数字が循環節にあれば、循環開始後の連続する k 桁には必ず0以外の数字があります。規則による k 個以上の連続した0は、十分後にも現れるので矛盾します。したがって循環しない無限小数であり、無理数です。数字の列挙だけでなく、任意の循環節の長さについて矛盾を示しています。

要点を手元に残す

• 有理数は分母が0でない整数同士の分数で表せます。
• 有限小数と循環小数は有理数で、循環しない無限小数は無理数です。
• 循環小数は循環する部分をそろえて引き、分数に直します。
• 既約分数の分母が2と5以外の素因数を持てば、小数は循環します。

どこで判断が止まったか

「無限」という語だけで判定した答案には、繰り返しの有無を確認する問いを重ねます。循環節を示せても分数化で止まる場合は、どの2つの倍数の小数部分が一致するかを先に書き出すと、引き算の意味を追えます。個別指導では、循環しない部分がある例とない例を並べ、ずらす桁数を本人の言葉で説明できるかを確かめます。無理数の証明では、どんな長さの循環節も排除したかまで見ます。数の形を見た目だけで決めず、表示を結ぶ根拠が実数の分類を支えます。