高校数学A 円の接線の作図—直径に対する円周角から二つの接点を見つける｜武蔵野個別指導塾

外部の点と中心を結ぶ線分を直径とする円から接点を作り、円周角が直角になる理由と接線の本数を確かめます。

よくあるのは、円の外にある点から円へ直線を引くとき、接点を目分量で決めてしまう場面です。見た目には円に触れていても、わずかに円を横切っているかもしれません。接点を先に正確に決めるには、接線と半径が垂直になることを利用します。外部の点と中心を直径の両端とする円を補うと、必要な直角を作れます。

何を求める作図か

まず、中心が示された円とその外部の点が与えられ、そこを通る接線を引く問題があります。完成した線だけでなく、接点をどの円の交点として求めたか、なぜその直線が接するかを説明します。円が紙に描かれているだけで中心が示されない場合は、先に弦の垂直二等分線を使って中心を求めます。

次に、与えられた点が円周上か内部かによって、作図の方法と接線の本数を分ける問題があります。外部用の補助円を機械的に描く前に、点と中心の距離を半径と比べることが必要です。点が中心に一致する場合も内部に含めます。

さらに、半径と中心から点までの距離が与えられたとき、作図の後に接線の長さを求める問題もあります。直角三角形で三平方の定理を使いますが、長さが計算できただけでは作図の成立や本数の証明にはなりません。接点を得る操作と、得た点が条件を満たす理由を分けて書きます。

接点を直角から探す

中心 O、半径 r の円で接点を T とすれば、そこで接線と半径 OT が作る角は直角になります。作図ではこの性質を逆向きにも使えます。円周上の T で OT への垂線を引くと、その直線と円との共有点は T だけとなり、接線が得られます。実際、その直線上の T と異なる点 Q に対し、直角三角形 OTQ から OQ² = OT² + TQ² > r² となります。したがって Q は円の外部にあります。

図1のように、円の外部の点 P からの接点を T とすると、∠OTP は直角です。そこで OP を直径とする円を考えます。直径に対する円周角は直角なので、この補助円と元の円の交点は接点の候補です。逆に、接点は直角をはさむ三角形 OTP の直角の頂点なので、OP の中点から O、P、T までの距離が等しく、補助円上にあります。直角の頂点から斜辺の中点までの距離が斜辺の半分であることは、三角形を斜辺の中点について点対称に移して長方形を作ると示せます。

図1の2つの交点 T、U はいずれも元の円上にあり、OT と PT、OU と PU はそれぞれ垂直です。よって PT、PU は接線です。図で接線らしく見えることではなく、円周角と半径の垂直を根拠にします。

作図には目盛りのない定規とコンパスを使います。直線はすでに定まった2点を通して引き、コンパスでは定まった点を中心に、定まった長さを半径とする円や円弧を描きます。中点は垂直二等分線で作れます。たとえば O、P を中心に、OP の半分より大きい同じ半径の円弧を描き、その2交点を結びます。この直線と OP の交点が中点 M です。有限回の操作なので、接点を探して描き直し続ける必要はありません。

作図した後は、補助円の交点が元の円にも乗っていることを確認します。片方の円だけに乗る点では半径に垂直と示せても、元の円の接点とは限りません。2つの条件が同時に成立する場所を交点として取ることが、この方法の要です。

基本例題：外部の点から引く

中心 O、半径 3 cm の円と、OP = 5 cm となる外部の点 P が与えられています。P を通る接線をすべて作図し、接点から P までの長さを cm 単位の整数で求め、接線の本数も説明してください。

図2のように、まず O と P を結びます。次に OP の垂直二等分線を作り、中点 M を取ります。M を中心、MO を半径とする円を描き、元の円との交点を T、U とします。定規で P と T、P と U をそれぞれ結べば作図は終了です。

補助円は OP を直径とします。図2で T、U はこの円周上にあり、O、P とは異なるので、∠OTP = ∠OUP = 90°です。T、U は元の円周上でもありますから、PT、PU は接線です。接線長は直角三角形 OTP に三平方の定理を使うと、次のようになります。

PT² + OT² = OP²
PT² + 3² = 5²
PT² = 25 - 9
PT² = 16
PT = 4

長さは正なので PT = 4 cm です。同様に PU = 4 cm です。元の条件に戻すと、3² + 4² = 5² で、接点への半径と接線が直角になる配置に合います。

本数も確かめます。OP > OT なので P は外部にあり、補助円と元の円は OP の両側で1点ずつ交わります。実際、OT = 3、MT = MO = 5/2 の2円の中心間距離 OM = 5/2 は、半径の差 1/2 より大きく和 11/2 より小さいため、交点は2個です。どんな接点も先に述べた逆の理由で補助円上にあるので、接線はこの2本で尽くされます。

標準例題：中心が示されない円

中心の印がない円と、その外部の点 P が与えられています。目盛りのない定規とコンパスで P を通る接線をすべて作図し、操作の成立と本数を説明してください。

円周上に異なる3点 A、B、C を取ります。円周上の異なる3点は一直線上にないので、弦 AB と BC の垂直二等分線は1点で交わります。この交点を O とします。円の中心は A、B から等距離なので AB の垂直二等分線上にあり、同様に BC の垂直二等分線上にもあります。したがって交点 O が求める中心です。

各垂直二等分線は、弦の両端を中心とする同じ半径の円弧の交点を結んで作れます。中心が得られたら OP を結び、その中点 M を作り、M を中心に MO の半径の円を描きます。元の円との2交点を T、U として PT、PU を引きます。外部の点なので交点は2個です。

∠OTP と ∠OUP は直径 OP に対する円周角で、どちらも直角です。よって各直線は半径に垂直であり接線です。逆に任意の接点は直角三角形の斜辺の中点の性質から補助円に乗るため、他に接線はありません。円周上の点を3つ選ぶ際に同じ点を重ねると弦が定まらないので、異なる点を選ぶことが操作の条件です。

発展例題：点の位置と長さを分ける

中心 O、半径 5 cm の円と点 P について、OP が 13 cm、5 cm、3 cm のそれぞれの場合を考えます。P を通る接線の本数と作図法を述べ、接線があるときの P から接点までの長さを cm 単位の整数で求めてください。

OP = 13 cm の場合、P は外部です。OP の中点を中心とする直径 OP の円を描き、元の円との交点を T、U として PT、PU を引きます。接点 T で直角なので、次を得ます。

PT² + 5² = 13²
PT² = 169 - 25
PT² = 144
PT = 12

同様に PU = 12 cm です。5² + 12² = 13² と戻して確認でき、接線は2本です。補助円の半径は 13/2 cm、中心間距離も 13/2 cm であり、半径の差 3/2 cm と和 23/2 cm の間にあるので交点は2個です。

OP = 5 cm の場合、P 自身が円周上にあります。OP に P で垂直な直線を1本作ります。具体的には直線 OP 上で P をはさんで等距離の2点をコンパスで取り、その2点から同じ半径の円弧を描いて垂直二等分線を作ります。この線は半径 OP に垂直なので接線です。別の接点を持つ接線が P を通るなら、直角三角形で斜辺 OP が半径より長くなるはずですが、OP は半径そのものなので不可能です。接点は P で、長さは 0 cm、接線は1本です。

OP = 3 cm の場合、P は内部です。P を通る任意の直線上には、P から十分遠い円の外部の点が両方向に取れます。直線と円は P をはさんで2点で交わるため、その直線は接線ではありません。したがって接線は0本で、接点までの長さも定まりません。P = O の場合も同じ結論です。

接線の本数を決める境界

半径を r > 0、OP を d とします。d > r なら2本、d = r なら1本、0 ≦ d < r なら0本です。外部では OP の中点 M を使う補助円と元の円が2点で交わります。d/2 と r を半径とする2円の中心間距離は d/2 で、d > r から半径の差より大きく、和より小さいからです。等号のときは交点が P に重なり、内部では補助円を描いても接点は得られません。d = 0 では OP の中点を中心とする半径0の円を通常の円として扱えないので、内部として別に判定します。

円周上の点では、その点の半径に垂直な直線を直接作ります。外部用の方法を使うと交点が重なるため、2本あると数えないようにします。内部の点に対しては接点がないという結論も答えです。存在しないものを無理に図に入れず、なぜ存在しないかまで説明してください。

誤答をほどく：見た目で決めた接点

誤答は、図3のように外部の P と円周上の適当な点 S を結び、円に近く見えるから接線とすることです。S を通ることは確かでも、OS と PS が垂直という条件は得られていません。図では直線 PS は円の内部を通り、S のほかにも円と交わります。

原因は、接点の条件を「円周上にある」だけで済ませたことです。修正するときは S を消し、OP の中点を取って直径 OP の円を描きます。その円と元の円の交点 T を選び、PT を引きます。図3の T では円周角が直角なので、OT と PT の垂直が保証されます。もう一方の交点からも接線が引けます。

別の誤りとして、補助円の中心を O にして半径 OP の円を描く場合があります。その円は元の円と同心で半径が異なるので交わりません。必要なのは中心 O の円ではなく、O と P の両方を通る、中心 M の円です。交点が得られなかったら、まず中点と半径を作図の手順に戻って確認します。

自分で試す5問

1. 中心 O、半径 5 cm の円の外に OP = 13 cm の点とは別の設定として、半径 8 cm、OP = 17 cm の点 P を取ります。P からの接線を作図し、接線長を cm 単位の整数で求めてください。
2. 半径 7 cm の円の中心 O から 7 cm 離れた点 Q を通る接線を作図し、本数と Q から接点までの長さを答えてください。
3. 中心 O、半径 10 cm の円の内部に OP = 6 cm の点 P があります。P を通る接線の本数を理由とともに答えてください。
4. 中心 O、半径 6 cm の円の外部の点 P からの接線の長さが 8 cm です。OP を cm 単位の整数で求め、接点を得る補助円の半径も cm 単位の整数で答えてください。
5. 中心 O の円の外部の点 P に対し、OP を直径とする円と元の円の交点を A、B とします。PA、PB が接線であることと、他に接線がないことを証明してください。

5問の解答と確認

1. OP の中点を中心とする直径 OP の円を描き、元の円との交点を T、U として PT、PU を引きます。∠OTP = 90°なので、PT² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225 です。正の長さを取って PT = 15 cm、PU も 15 cm です。8² + 15² = 17² と元の距離に戻ります。
2. OQ が半径に等しいので Q は円周上です。Q で OQ に垂直な直線を作ると接線が1本得られます。接点は Q 自身で、距離は 0 cm です。別の接点なら直角三角形の斜辺 OQ が半径より長くなるため、もう1本はありません。
3. 6 < 10 なので P は内部です。P を通る直線は P の両側で円を横切りますから、接線は0本です。半径と距離を入れ替えると外部と誤認するので、中心からの距離を先に比べます。
4. 接点を T とすると、OT と PT は垂直です。OP² = 6² + 8² = 100 なので OP = 10 cm です。直径 OP の補助円の半径は 10/2 = 5 cm です。6² + 8² = 10² で条件に戻り、10 > 6 も外部という条件に合います。
5. A、B は直径 OP の円周上なので ∠OAP = ∠OBP = 90°です。両点は元の円上でもあるので、PA、PB は半径に垂直な接線です。別の接点 C があるとすると ∠OCP = 90°です。直角三角形の斜辺の中点は3頂点から等距離なので、C も直径 OP の円上にあります。2円の交点は A、B の2個ですから、C はそのどちらかです。よって他の接線はありません。

要点を残す

外部の点と中心を直径の両端とする円を描き、その交点から接線を引きます。 円周角で直角を示し、半径との垂直から接線と判定します。 点が外部、円周上、内部の順に接線は2本、1本、0本です。

作図が止まるときは、最初に点の位置を判定できたか、中点を作る対象を OP と言えるかを確かめます。個別に説明するときは、交点が接点である理由に加えて、他の接点が補助円から漏れない理由も言葉にしてみてください。接線の本数まで、直角を手がかりに決まります。