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高校数学A 2つの円の共通弦—中心を結ぶ直線への垂線から弦の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

共通弦の中点から2つの中心までの距離を三平方で求め、足の位置に応じて中心間距離を和と差に分けます。

よくあるのは、2つの円の交点を結ぶ線分が、2つの中心を結ぶ線分も必ず二等分すると考える場面です。二等分されるのは共通弦のほうです。中心間の線分については、垂線の足が中点になる場合もあれば、端の外側に来る場合もあります。半径と中心間の距離を使って位置を定め、直角三角形を取り出しましょう。

何を求める形で現れるか

第一の型は、2つの半径と中心間の距離から共通弦の長さを求めるものです。共通弦の中点を通る直角三角形を2つ作り、同じ高さの二乗を比較します。半径の異なる円では、それぞれの中心から中点までの距離も異なります。

第二の型は、弦の長さと半径から中心間の距離を求めるものです。このとき、2つの中心が共通弦の直線の反対側にあるか、同じ側にあるかで、距離は和にも差にもなります。数値が合っても配置の条件に戻す必要があります。

第三の型は、与えられた数値から円が実際に2点で交わるかを調べるものです。計算で共通弦の半分の二乗が正にならなければ、異なる2交点を持つ図は作れません。図に見える位置を前提とせず、最後の正値まで確かめます。

共通弦を二等分するのはどの線か

異なる2つの円が異なる2点 A、B で交わり、中心をそれぞれ O、P とします。線分 AB は両方の円の弦なので、共通弦と呼びます。2つの円が異なり、2点を共有するので、中心 O と P は一致しません。

図1のように、A と B はどちらの中心からもそれぞれ等距離にあります。OA = OB、PA = PB です。2点 A、B から等距離にある点は線分 AB の垂直二等分線上にあるため、O と P はともにその直線上にあります。したがって直線 OP は AB の垂直二等分線です。交点を H とすれば、AH = BH、OP と AB は垂直です。

図1のように H は AB の中点ですが、一般には OP の中点ではありません。OH と PH の大小を決めるのは、同じ高さ AH を持つ直角三角形の斜辺 OA、PA の長さです。OA が PA より長いときは OH が PH より長くなります。

なぜ垂直二等分線を使えるのでしょうか。AB の中点を M とすると、OA = OB、AM = BM、OM は共通ですから、三角形 OAM と OBM は3辺がそれぞれ等しく合同です。∠OMA と ∠OMB は等しく、一直線上の隣り合う角なのでどちらも90°です。P についても同じです。O または P が M に一致する場合も、その点は垂直二等分線上にあります。

H が O と P の間にあれば OH + PH = OP です。H が線分 OP の外にあり、O、P、H の順なら OH = OP + PH です。P、O、H の順なら PH = OP + OH です。H が片方の中心と一致する場合は、その中心からの距離が0であり、共通弦はその円の直径になります。直角三角形の斜辺にあたる半径と、弦の半分を混同しないことも大事です。

基本例題：中心の間に足があるとき

半径がそれぞれ 13 cm、15 cm の2つの円が2点 A、B で交わっています。中心をそれぞれ O、P とし、OP = 14 cm とします。共通弦 AB の長さを整数で求めてください。

図2のように、直線 OP と AB の交点を H とします。まず中心間の距離について、半径の差 2 cm より14 cm は大きく、半径の和 28 cm より小さいので、2点で交わる条件に合います。図の H が中心間にあるかは、計算で確かめます。

図2のように AH = BH で、AH は OP に垂直です。OH を x cm とすると、仮に H が O と P の間にある場合、PH は (14 − x) cm です。三平方の定理から次の2式を得ます。

AH² + x² = 13² = 169
AH² + (14 - x)² = 15² = 225

後の式から前の式を引きます。

(14 - x)² - x² = 225 - 169
196 - 28x = 56
28x = 140
x = 5

5 は 0 より大きく14より小さいので、仮定した位置に合います。PH = 14 − 5 = 9 cm です。高さを求めます。

AH² = 169 - 5²
AH² = 144
AH = 12
AB = 2・12 = 24

よって答えは 24 cm です。長さ AH は正なので平方根は正の値を取ります。元の図に戻すと、5² + 12² = 13²、9² + 12² = 15²、5 + 9 = 14 です。両方の半径と中心間の距離を満たし、AB は中点 H を挟んで 12 cm ずつあります。

標準例題：足が中心間の外にあるとき

半径 10 cm の円の中心を O、半径 17 cm の円の中心を P とします。2つの円は2点 A、B で交わり、OP = 9 cm です。共通弦 AB の長さを整数で求めてください。

半径の差は 7 cm、和は 27 cm です。7 < 9 < 27 なので2点で交わります。直線 OP と AB の交点を H とします。半径の大きい円の中心 P から H までの距離のほうが長いので、H は P の外側にはありません。まず O、P の間に H があると仮定し、OH = x cm とすると、PH = 9 − x cm です。

AH² + x² = 100
AH² + (9 - x)² = 289
(9 - x)² - x² = 189
81 - 18x = 189
x = -6

距離として負の値は取れないので、この仮定は成り立ちません。今度は H、O、P の順に並ぶとして OH = y cm と置けば、PH = y + 9 cm です。

AH² + y² = 100
AH² + (y + 9)² = 289
(y + 9)² - y² = 189
18y + 81 = 189
18y = 108
y = 6

正の値なので位置に合います。PH = 6 + 9 = 15 cm として、次のように求まります。

AH² = 100 - 6²
AH² = 64
AH = 8
AB = 2・8 = 16

答えは 16 cm です。実際に 6² + 8² = 10²、15² + 8² = 17² であり、中心間の距離も 15 − 6 = 9 cm です。最初の負の値を長さとして採用せず、足の位置を置き直したことがポイントです。別の位置の可能性を数値と照らして消したので、図の見た目だけで外側と決めてはいません。

発展例題：弦から中心間距離を逆算する

半径 13 cm と 20 cm の2つの円が、長さ 24 cm の共通弦 AB を持ちます。2つの中心 O、P は直線 AB の反対側にあります。中心間の距離 OP を整数で求め、同じ側にあるという条件に変えたときの距離も求めてください。

AB の中点を H とします。中心は共通弦の垂直二等分線上にあるので、O、H、P は一直線上です。AH = 24/2 = 12 cm として、半径 13 cm の円から次を得ます。

OH² + 12² = 13²
OH² = 169 - 144
OH² = 25
OH = 5

同様に半径 20 cm の円については次のとおりです。

PH² + 12² = 20²
PH² = 400 - 144
PH² = 256
PH = 16

中心が AB の反対側にあるとき、H は O と P の間です。したがって OP = 5 + 16 = 21 cm です。中心が同じ側にあるときは O、P が H から同じ向きにあり、OP = 16 − 5 = 11 cm です。

どちらも 5² + 12² = 13²、16² + 12² = 20² を満たし、弦は 12 + 12 = 24 cm です。また、中心間距離 21 cm と 11 cm はどちらも半径の差 7 cm より大きく、和 33 cm より小さいので2交点を持てます。条件を読まずに和だけを書くと、同じ側の場合を落とします。反対に、反対側と指定された問題に両方を答えるのも条件の読み落としです。

成り立つ条件と場合分け

2つの円の半径を r、s、中心間距離を d とします。半径はいずれも正、中心は異なるものとします。異なる2点で交わるには、半径の差の絶対値より d が大きく、半径の和より d が小さいことが必要です。交点と2中心を結ぶと、辺の長さが r、s、d の三角形ができるからです。逆にこの不等式を満たせば、その3辺の三角形を作れ、中心を結ぶ直線の両側に対称な交点ができます。

等号の場合は2円が接し、交点は1点です。2点を結ぶ正の長さの共通弦として扱うことはできません。さらに外れていれば交点がなく、共通弦もありません。中心が一致し半径も等しければ2円は重なり、交点は2点に限られず、中心を結ぶ直線も定まりません。中心が一致して半径が異なれば交点はありません。

足の位置は半径の大小だけで確定しません。中心間にあると置いて負の距離が出たら、その値をそのまま長さにせず、外側の配置を調べます。ちょうど0なら足と一方の中心が一致します。求めた AH² が0なら接する境界、負なら実際の長さを作れないため、問題の2交点という条件を満たしません。

誤答をほどく：二等分される対象

図3のように、半径 13 cm と 15 cm、中心間距離 14 cm の基本例題で、H は OP の中点だから OH = PH = 7 cm とする誤答を考えます。そこから AH² = 13² − 7² と計算しても、もう一方の円の半径を使えば AH² = 15² − 7² となり、一致しません。2つの円に共通な AH に異なる値を与えてしまいます。

図3のように、定理が保証するのは AH = BH です。OH = PH とする根拠はありません。修正するときは、OH を x、PH を 14 − x と置き、2つの直角三角形で共通の AH² を消します。すると OH = 5 cm、PH = 9 cm となり、両方の半径と矛盾しません。

もう1つの誤りは AB = AH として、半分の長さを答えることです。H が弦の中点であることを最後に使い、AB = AH + HB = 2AH と戻します。また、直角三角形の式で半径を引かれる側に置き忘れると AH² が負になり得ます。斜辺が半径であることを図に書いてから式を立ててください。

練習問題

各問で円は異なり、長さの単位は cm とします。必要な答えは整数、既約分数または根号を用いて正確に表してください。

半径 5 と 5 の2円の中心間距離は 6 です。共通弦の長さを求めてください。
半径 5 と 10 の2円の中心間距離は 5√5 です。共通弦の長さを根号を用いて求めてください。
半径 5 と 13 の2円の共通弦は長さ 8 です。2中心が弦の直線の反対側にあるときと同じ側にあるとき、それぞれ中心間距離を求めてください。
半径 7 と 12 の2円の中心間距離が 5 のとき、異なる2点を結ぶ共通弦があるか判定し、理由を述べてください。
半径 5 と 8 の2円が2点で交わり、中心間距離は 7 です。小さい円の中心から共通弦の中点までの距離を求めてください。

練習の解答と確かめ

共通弦の中点を H、中心を O、P とします。同じ半径なので OH = PH、また H は中心間にあります。OH = 6/2 = 3 ですから、AH² = 5² − 3² = 16、AH = 4 です。よって共通弦は 2・4 = 8 cm です。戻すと 3² + 4² = 5²、中心間距離は 3 + 3 = 6 cm です。
共通弦の中点を H、小さい円の中心を O、大きい円の中心を P とします。OH = x、H が中心間にあると仮定すると PH = 5√5 − x です。半径の二乗を引きます。

(5√5 - x)² - x² = 10² - 5²
125 - 10√5x = 75
10√5x = 50
x = √5

0 < √5 < 5√5 なので位置に合います。AH² = 25 − 5 = 20、AH = 2√5 です。したがって共通弦は 4√5 cm となります。正確な値を根号で表しています。PH = 4√5 と戻すと、(√5)² + (2√5)² = 25、(4√5)² + (2√5)² = 100、中心間の和は 5√5 です。

弦の半分は 4 です。小さい円の中心から中点までの距離は √(5² − 4²) = 3、大きい円では √(13² − 4²) = 3√17 です。反対側なら和の 3 + 3√17 cm、同じ側なら差の 3√17 − 3 cm です。いずれも正確な長さを根号で表しています。3² + 4² = 5²、(3√17)² + 4² = 13² と、弦の全長 4 + 4 = 8 を確かめます。
半径の差が 12 − 7 = 5 で中心間距離に等しいため、2円は内接します。交点は1点で、異なる2点を端とする共通弦はありません。中心と接点を同一直線に置くと、大きい円の半径は 5 + 7 = 12 となり、与えられた長さに戻ります。
小さい円の中心を O、大きい円の中心を P、共通弦の中点を H とします。H が中心間にあると仮定して OH = x と置きます。

AH² + x² = 25
AH² + (7 - x)² = 64
49 - 14x = 39
14x = 10
x = 5/7

0 < 5/7 < 7 なので位置に合います。答えは 5/7 cm です。PH = 44/7、AH² = 25 − 25/49 = 1200/49 です。戻すと 25/49 + 1200/49 = 25、1936/49 + 1200/49 = 64、5/7 + 44/7 = 7 です。AH² は正なので異なる2交点という条件にも合います。

要点

共通弦の中点を通り、弦に垂直なのは中心を結ぶ直線です。中心間の距離は、足の位置に応じて2つの距離の和または差になります。直角三角形の共通の高さを消し、最後に弦の全長と配置を確かめます。

説明が止まった場所を探す

OH と PH を無条件に等しくしたときは、何が等距離だからどの直線上に中心があるのかを、A と B を指して説明してみてください。式が立っても負の距離が出たときは、足を中心間に置いた仮定まで戻ります。個別指導では、図に H を置く前にあり得る位置を言葉にし、正の高さと元の半径に答えを戻せるかを確かめます。共通弦を二等分する線と、中心間の線分を二等分する点は別々に判定できます。