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高校数学A 内角の二等分線と辺の比—対応する辺をそろえて分点の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

分点の長さを辺の和から求め、面積比で対応を裏づけて内角の二等分線を使いこなします。

よくあるのは、高1が三角形の角を二等分したのに、向かい側の辺の比を逆に書いてしまう場面です。図に数字を入れて式を作るとき、二等分した頂点から見て左側の辺と右側の辺のどちらが、分点の左側に対応するかを見失うことがあります。

内角の二等分線は、角を等しくする線であると同時に、向かい側の辺を両隣の辺の長さに応じて分ける線です。その関係を面積から導き、辺の全体と部分を行き来する計算に使います。外角の二等分線による外分はここでは扱いません。

問いの形を見分ける

最初の型は、二等分線が向かいの辺と交わる点を求める問題です。左右の辺の長さと向かい側の辺の全長があれば、比の和を使って2つの部分の長さを出せます。比が2 : 3なら、全体を等しい5つ分と見て、2つ分と3つ分に分けます。

次の型は、分点の片側の長さから全長を求める問題です。全長に比の片方を掛けるのではなく、与えられた部分が比の何個分なのかを先に確かめます。対応を誤ると、式の計算が合っていても図の条件には戻りません。

もう1つは、分点の情報から辺の長さを逆に求める問題です。辺の長さに文字が入る場合は比の式を解いた後、正の長さか、三角形が成立するかまで調べます。線分を表す文字をどこに置いたかが、計算の入口です。

面積が教える対応

三角形ABCは3点が一直線上にない三角形とし、Aの内角の二等分線と辺BCの交点をDとします。DはBとCの間にあり、BDとDCは正です。このとき内角の二等分線の定理は次の関係を述べます。

BD : DC = AB : AC

図1のように、B側の部分BDにはB側の辺AB、C側の部分DCにはC側の辺ACが対応します。順番を両方とも逆にした DC : DB = AC : AB も同じ内容です。片側の比だけを逆にしてはいけません。

図1でADは角BACを2つの等しい角に分けています。以下では、三角形の面積を [ABC] のように表します。面積の比を2通りに見ると、対応がなぜ成り立つかを説明できます。

まず三角形ABDと三角形ACDは、底辺をそれぞれBD、DCと見ると、Aから直線BCへの高さが共通です。したがって、底辺の比がそのまま面積の比です。

[ABD] : [ACD] = BD : DC

一方、Dから直線AB、ACにそれぞれ垂線を引き、足をE、Fとします。Dは角の内部にあり、角BADと角DAFが等しいので、直角三角形ADEとADFは斜辺ADを共有し、1つの鋭角も等しく合同です。よってDE = DFです。垂線の足が辺の延長上にある場合も、直線への距離として同じ議論ができます。

そこでAB、ACをそれぞれ底辺に選ぶと、高さDE、DFが等しいため、次の式を得ます。

[ABD] : [ACD] = AB : AC

2つの面積比を合わせれば、BD : DC = AB : ACです。角が等しいという情報を、辺への距離が等しいという情報に変換したことが証明の要点です。面積が0でないことも、三角形が一直線につぶれていないという仮定で保証されています。

この定理は、辺を中点で分けるという主張ではありません。AB = ACのときはBD = DCですが、ABとACが異なるときは分点も中点からずれます。長い辺に対応する部分が長くなる、という向きの確認は、比を逆に書いたときの手がかりです。

基本例題：全体を比の和で分ける

三角形ABCでAB = 6 cm、AC = 9 cm、BC = 10 cmです。Aの内角の二等分線とBCの交点をDとします。BD、DCをそれぞれ既約分数または整数で求めてください。

図2のように、BCの内部にDを置き、B側とC側を対応させます。3辺は三角形の成立条件を満たし、定理を使えます。

BD : DC = AB : AC
BD : DC = 6 : 9
BD : DC = 2 : 3

比の和は2 + 3 = 5です。BCの10 cmを5等分した1つ分は10/5 = 2 cmです。よって順に次のように求まります。

BD = 10・2/5
BD = 4 cm
DC = 10・3/5
DC = 6 cm

答えはBD = 4 cm、DC = 6 cmです。元の図に戻すと4 + 6 = 10で全長に合い、4 : 6 = 6 : 9なので二等分線の条件にも合います。ABがACより短く、BDもDCより短いことも対応しています。

ここで10に2/3を掛けると、全長に対する割合と2部分の比を混同します。2 : 3は全長を5つ分とする比であり、BDは全長の2/5です。分母にどの長さを取った式なのか、書いた直後に読み返してください。

標準例題：片方から全長へ戻る

三角形PQRでPQ = 8 cm、PR = 12 cmです。Pの内角の二等分線とQRの交点をSとし、QS = 5 cmとします。SRとQRをそれぞれ既約分数または整数で求めてください。

Sは辺QR上の内分点なので、二等分線の定理を適用できます。Q側のQSを先に置くと、対応する辺もQ側のPQから書きます。

QS : SR = PQ : PR
QS : SR = 8 : 12
QS : SR = 2 : 3

QSが2つ分で5 cmですから、1つ分は5/2 cmです。SRは3つ分なので、次のようになります。

SR = (5/2)・3
SR = 15/2 cm
QR = 5 + 15/2
QR = 25/2 cm

答えはSR = 15/2 cm、QR = 25/2 cmです。逆にQS : SR = 5 : 15/2 = 2 : 3であり、5 + 15/2 = 25/2です。辺の長さ8、12、25/2は、どの2辺の和も残る1辺を上回ります。したがって問題の三角形は成立します。

全長が与えられる基本例題と違い、この問題では5 cmが比の2つ分です。5に3/5を掛けると、5 cmを誤って全長として扱うことになります。与えられた線分が全体なのか一部分なのかを図に書き込むと、立式前に区別できます。

発展例題：未知の辺を条件まで戻す

三角形XYZでXY = 10 cm、XZ = x cm、YZ = 12 cmです。Xの内角の二等分線とYZの交点をTとし、YT = 5 cmとします。xを既約分数または整数で求め、三角形が成立することも確かめてください。

TはYとZの間にあるので、まず残りの部分を全長から引きます。二等分線の定理では、YTにXY、TZにXZを対応させます。

TZ = YZ - YT
TZ = 12 - 5
TZ = 7 cm
YT : TZ = XY : XZ
5 : 7 = 10 : x
5x = 70
x = 14

答えはx = 14 cmです。正の長さであり、10 + 12 > 14、10 + 14 > 12、12 + 14 > 10を満たします。実際に三角形の3辺として成立します。また、求めた値を戻すとYT : TZ = 5 : 7 = 10 : 14 = XY : XZです。

この例で、比の式を解いて正の値が出ただけでは確認が終わりません。たとえば三角形の成立条件に反する辺が与えられていれば、図そのものを作れないからです。またYTがYZ以上であれば、Tを辺の内部に置くという条件に反します。計算に入る前にも、答えを得た後にも点の位置を確かめます。

使う条件と向きを確かめる

頂点から向かいの辺に線が引かれているだけでは、内角の二等分線の定理は使えません。2つの角が等しいという条件、またはそれを示す根拠が必要です。図の見た目が左右対称に見えることや、Dが中点に見えることは根拠になりません。

逆に、DがBCの内部にあり BD : DC = AB : AC なら、ADは角Aの内角を二等分します。理由は、角Aの二等分線とBCの交点をD′とすると、定理からBD′ : D′C = AB : ACとなるためです。BCの内部で正の比に分ける点は、全長と比の和から位置が決まるのでD′とDは一致します。長さの比から角の等しさを示すときは、この位置の条件も必要です。

二等分線が中線でもあるとわかればBD = DCです。定理からAB = ACとなるので、その頂点をはさむ2辺が等しいと結論できます。反対にAB = ACなら、定理からBD = DCです。どちら向きの主張を示したいかを先に書くと、仮定と結論の取り違えを避けられます。

誤答を図に戻して直す

図3の三角形では、Aの内角の二等分線がBCとDで交わり、AB = 4、AC = 7、BC = 9です。ある答案が BD : DC = 7 : 4 と置いたとします。比の和は11なので、その答案はBD = 63/11、DC = 36/11と進みます。

図3を見ると、BDは辺ABと同じB側にあります。正しくはBD : DC = 4 : 7です。誤りの原因は、分点をはさむ順番をBからCへ読んだのに、頂点からの2辺をC側から読んだことです。二等分線そのものがどちらの辺に対応するかと考えるのではなく、Bを含む部分とBを含む辺を組にします。

BD : DC = AB : AC
BD : DC = 4 : 7
BD = 9・4/11 = 36/11
DC = 9・7/11 = 63/11

修正後は部分の和が9で、比も4 : 7です。誤答の2つの長さも足せば9になるので、全長に戻ることだけを確かめても、左右の対応の誤りは残ります。比を元の両辺と照らし合わせる検算を加えます。一般に、長い側に長い部分が対応するかという大小の確認も有効ですが、2辺が等しい場合には大小で区別できないので、点の名前で対応を確認します。

練習問題

各問題で二等分線は指定された頂点の内角の二等分線とし、交点は向かいの辺の内部にあります。長さは既約分数または整数で答えてください。

三角形ABCでAB = 7 cm、AC = 14 cm、BC = 15 cmです。Aからの二等分線とBCの交点をDとするとき、BDとDCを求めてください。
三角形PQRでPQ = 9 cm、PR = 15 cmです。Pからの二等分線とQRの交点をSとし、SR = 10 cmとします。QSとQRを求めてください。
三角形LMNでLM = 12 cm、LN = x cm、MN = 18 cmです。Lからの二等分線とMNの交点をKとし、MK = 8 cmです。xを求め、三角形の成立も確かめてください。
三角形ABCでAB = 13 cm、AC = 13 cm、BC = 10 cmです。Aからの二等分線とBCの交点をDとします。BDとDCを求めてください。
三角形PQRでPQ = 10 cm、PR = 14 cm、QR = 18 cmです。QR上の点SはQS = 15/2 cmを満たします。PSが角QPRを二等分するか、理由を示してください。

練習の答えと道筋

BD : DC = 7 : 14 = 1 : 2です。全長15 cmを3つ分として分けると、BD = 15・1/3 = 5 cm、DC = 15・2/3 = 10 cmです。5 + 10 = 15、5 : 10 = 7 : 14となり、元の長さと比に戻ります。7 + 14 > 15、7 + 15 > 14、14 + 15 > 7なので三角形も成立します。
QS : SR = 9 : 15 = 3 : 5です。SRの10 cmが5つ分なので、1つ分は2 cmです。QS = 2・3 = 6 cm、QR = 6 + 10 = 16 cmです。6 : 10 = 9 : 15、6 + 10 = 16で条件に合い、9 + 15 > 16、9 + 16 > 15、15 + 16 > 9です。
KN = 18 − 8 = 10 cmです。MK : KN = LM : LNより、8 : 10 = 12 : xです。8x = 120からx = 15 cmです。8 : 10 = 12 : 15、8 + 10 = 18で条件に戻ります。12 + 15 > 18、12 + 18 > 15、15 + 18 > 12なので、三角形も成立します。
BD : DC = 13 : 13 = 1 : 1です。BCを等しく分けるのでBD = 5 cm、DC = 5 cmです。5 + 5 = 10、5 : 5 = 13 : 13です。13 + 13 > 10、13 + 10 > 13より、3辺は三角形の条件を満たします。
SR = 18 − 15/2 = 21/2 cmです。QS : SR = 15/2 : 21/2 = 5 : 7で、PQ : PR = 10 : 14 = 5 : 7です。Sは辺の内部にあり、比が対応するので逆の関係からPSは内角を二等分します。15/2 + 21/2 = 18で点の位置も元の全長に戻り、10 + 14 > 18、10 + 18 > 14、14 + 18 > 10です。

手元に残す要点

分点が辺の内部にあり、頂点の内角を二等分するとき、両側の部分の比は対応する2辺の比に等しいです。
全長から部分を求めるときは、比の和を分母にします。
答えは部分の和と対応する比の両方へ戻して確かめます。
長さや点の位置が三角形の条件を満たすかも調べます。

比を逆にしやすいときは、式を暗唱する前に、分点の片側とその側の頂点を含む辺を指でたどってみてください。個別指導で確認するなら、図を見ながら「なぜこの2つが対応するか」と、面積比を2通りに作る根拠を説明してもらうと、記憶違いと面積の理解不足を区別できます。和が合う誤答でも比まで戻せば、向きの誤りを見つけられます。