高校数学A 合同式の意味—同じ余りと差が倍数になる関係を式で行き来する｜武蔵野個別指導塾

同じ余りを持つ整数を差の倍数性で捉え直し、負の代表元や等号との違いから読み解くのが合同式の意味です。

よくあるのは、高校生が合同の記号を等号の代わりに使い、余りが同じ2数を数そのものも同じだと考える場面です。例えば、7で割った余りが同じ整数は、7ずつ離れた場所にいくつもあります。合同式はその整数たちを区別しなくてよいという意味ではなく、ある除数に注目したときの共通点を記す方法です。何が等しく、何が等しいとは限らないのかを、商と余りの式まで戻して調べます。

数学Aの「数学と人間の活動」では整数の約数や倍数などを扱います。ここでは合同の定義と同値な言い換えに焦点を置き、合同式の計算規則の一般的な展開には踏み込みません。

何を比べる問いなのか

出方は大きく3つあります。2つの整数がある法で合同かを判定する問い、指定された余りを合同式で表す問い、合同式を満たす整数を範囲内から探す問いです。どの場合も最初に、比べる整数と法を見分けます。法は余りを調べるときの除数で、ここでは2以上の整数とします。

例えば「a と b が法 m で合同」とあれば、a と b は整数、m は2以上の整数です。a と b の大小や正負は指定されていません。整数の範囲を見落として正の数しか並べないと、負の数や0が答えから抜けます。範囲が有限なら両端を含むかも確認します。

計算の入り口は2つあります。各数を同じ正の整数で割って余りを比べる方法と、2数の差がその整数の倍数かを見る方法です。後者では商を求めなくても判定できることがあります。どちらの道から進んでも、根拠は除法の式にあります。

同じ余りを差に移す

整数 a、b と2以上の整数 m について、a と b を m で割った余りが等しいとき、a と b は法 m で合同であるといい、次のように書きます。

a ≡ b (mod m)

「mod m」は法が m であることを表します。等号と違い、a と b が同じ数であることを主張していません。例えば、整数 17 と 3 は7で割るとどちらも余り3なので、17 ≡ 3 (mod 7) です。しかし 17 = 3 ではありません。合同記号は左右の整数の余りが等しいことを表し、整数自体が等しい場合も含みます。

図1のように、17 と 3 の差は7の倍数です。図の目盛りは7ずつ離れることを表し、位置の違う整数が同じ余りに対応することを示します。

この関係がいつでも成り立つことを示します。a と b の共通の余りを r、商をそれぞれ整数 q、p とすると、0 ≤ r < m であり、次の式が成り立ちます。

a = mq + r
b = mp + r
a - b = mq - mp
      = m(q - p)

q − p は整数ですから、a − b は m の倍数です。ここでは差の向きが逆でも問題ありません。b − a はその符号を変えた数であり、やはり m の倍数だからです。差が0の場合も0 = m・0なので倍数に含まれます。

逆向きも確かめます。a − b = mk と書ける整数 k があるとします。b を m で割ると、ある整数 p と 0 ≤ r < m を満たす整数 r を用いて b = mp + r と書けます。すると、次のようになります。

a = b + mk
  = mp + r + mk
  = m(p + k) + r

p + k は整数で、r は余りの範囲に入っています。したがって a と b の余りはともに r です。これで「同じ余り」と「差が法の倍数」の両方向がつながりました。差が倍数であることは、合同であるための必要十分な条件です。

代表として右辺に置く整数は、余りそのものでなくてもかまいません。例えば -4 は 3 より7小さいので、-4 ≡ 3 (mod 7) です。ただし -4 を7で割った余りは -4 ではなく3です。実際、-4 = 7・(-1) + 3 であり、3は0以上7未満です。負の商も整数として使えますが、余りには範囲があります。合同な代表元と、除法の余りを区別してください。

基本例題：同じ余りか、差で判定する

整数 38 と -4 は法7で合同ですか。合同かどうかを答え、差を使った理由と、それぞれの余りを示してください。

まず左の数から右の数を引きます。

38 - (-4) = 42
42 = 7・6

差は7の倍数なので、38 ≡ -4 (mod 7) です。これは 38 = -4 という意味ではありません。図2のように、2数をそれぞれ除法の式に戻しても同じ余りが得られます。

38 = 7・5 + 3
-4 = 7・(-1) + 3

どちらの余りも3で、0 ≤ 3 < 7 です。元の問いに戻ると、法7で合同という判定と、それぞれの余り3が一致しています。差の倍数を調べる方法では、負の数について商を先に決めなくても済みます。一方、余り自体を答える問いでは、最後に余りの範囲を満たす値を求める必要があります。

この例で差が7の倍数でないという結果だったなら、余りは異なります。同じ余りなら差は必ず7の倍数になるからです。差が倍数でないのに、たまたま同じ余りという例外はありません。判定の理由は、いくつかの数を試した結果ではなく、先ほどの双方向の説明です。

標準例題：代表元から範囲内の整数へ

整数 x は -19 ≤ x ≤ 19 を満たします。x ≡ -3 (mod 8) を満たすすべての x を小さい順に求め、それぞれを8で割った余りも答えてください。0を含む範囲なので、0も候補から最初に除外しません。

合同の定義から、x − (-3) は8の倍数です。ある整数 k を用いると、次のように書けます。

x + 3 = 8k
x = 8k - 3

逆に整数 k について x = 8k − 3 なら、x − (-3) = 8k です。したがって、この式は条件を満たす整数を漏れなく、また余計なものを含めずに表します。範囲へ代入して k を絞ります。

-19 ≤ 8k - 3 ≤ 19
-16 ≤ 8k ≤ 22
-2 ≤ k ≤ 22/8

k は整数なので、k = -2, -1, 0, 1, 2 です。それぞれ代入すると、x は -19, -11, -3, 5, 13 です。両端に注意すると -19 は含み、次の 21 は上限を超えます。

余りは共通です。例えば -3 = 8・(-1) + 5 ですから、余りは5です。ほかの値も順に -19 = 8・(-3) + 5、-11 = 8・(-2) + 5、5 = 8・0 + 5、13 = 8・1 + 5 と戻せます。差を使えば一覧を作りやすく、除法の式に戻せば余りの値も確認できます。代表元 -3 をそのまま余りと答えない点が分かれ目です。

発展例題：法を逆に探す

整数 47 と -13 が合同となる法 m を考えます。m は2以上の整数で、9以下とします。条件を満たす m をすべて求め、それぞれでの共通の余りを答えてください。

法が未知でも、合同の意味は変わりません。差が m の倍数であることを使います。

47 - (-13) = 60
60 = m・k

ここで k は整数です。m は正なので、m は60の正の約数です。2以上9以下の整数を順に調べると、60を割り切るのは 2, 3, 4, 5, 6 です。7、8、9では割り切れません。この範囲の候補をすべて調べているため、法の漏れはありません。

それぞれの余りは次の除法の式で確かめます。

47 = 2・23 + 1     -13 = 2・(-7) + 1
47 = 3・15 + 2     -13 = 3・(-5) + 2
47 = 4・11 + 3     -13 = 4・(-4) + 3
47 = 5・9 + 2      -13 = 5・(-3) + 2
47 = 6・7 + 5      -13 = 6・(-3) + 5

答えは m = 2, 3, 4, 5, 6 で、共通の余りはその順に 1, 2, 3, 2, 5 です。各余りは0以上で各法より小さく、元の2数を復元しています。2つの数の差が0でないため、法は差の正の約数に限られます。差が0の場合は事情が異なり、同じ数どうしはどの法でも合同です。

誤答を直す：記号の左右は同じ値か

「38 ≡ -4 (mod 7) だから 38 = -4」とする答えを考えます。誤りは、合同記号が示す比較の対象を数の値に替えてしまったことです。図3のように、比較して等しいのは7で割った余りです。

38 と -4 は異なる整数ですが、差が42で7の倍数なので合同です。直すときは「38を7で割った余り = -4を7で割った余り」と言い換えます。次に、その余りが3であることを除法の式で示します。等号を使う位置が変わると、主張の意味も変わります。

もう一つの誤りは「-4 ≡ 3 (mod 7) だから -4の余りは -4」とすることです。右辺や左辺に負の代表元を置けることと、余りが負でよいことは別です。余りは 0 ≤ r < 7 に入れます。商を -1 とすれば -4 = 7・(-1) + 3 となり、余り3を確認できます。法も比べるたびに保持してください。法を変えると、同じ2数が合同でなくなることがあります。

練習：条件を式へ戻す

各問の文字は整数とし、0と負の整数も指定された範囲に含めます。法は各問に示す2以上の整数です。答えは指定された形で示してください。

1. 29 と -7 が法9で合同か答え、差と共通の余りを示してください。
2. -17 を法6で、0以上6未満の整数を右辺に置いた合同式で表してください。その数が余りであることも示してください。
3. -15 ≤ x ≤ 16 を満たす整数 x のうち、x ≡ 2 (mod 7) を満たすすべての x を小さい順に求めてください。
4. 31 と -5 が合同となる2以上10以下の整数の法をすべて小さい順に求めてください。
5. 整数 a、b について a ≡ b (mod 5) とします。a = b と必ずいえるか答え、理由を示してください。また、a − b が5の倍数であることを商と余りの式から説明してください。

練習の解答と確かめ方

1. 差と除法の式は次のとおりです。

29 - (-7) = 36
36 = 9・4
29 = 9・3 + 2
-7 = 9・(-1) + 2

差が9の倍数なので合同です。共通の余りは2で、0 ≤ 2 < 9 です。両方の式から元の整数に戻ることも確かめられます。

2. 負の数の除法では、余りが負にならないように商を選びます。

-17 = 6・(-3) + 1
-17 - 1 = 6・(-3)

よって -17 ≡ 1 (mod 6) です。1は0以上6未満であり、求める余りです。差が6の倍数という合同の条件にも戻っています。

3. x − 2 は7の倍数なので、整数 k を用いて x = 7k + 2 と書けます。範囲を代入します。

-15 ≤ 7k + 2 ≤ 16
-17 ≤ 7k ≤ 14
-17/7 ≤ k ≤ 2

整数 k は -2, -1, 0, 1, 2 です。したがって答えは -12, -5, 2, 9, 16 です。各値から2を引くと順に -14, -7, 0, 7, 14 となり、すべて7の倍数です。端の -15 はこの形にならず、16は範囲に含まれます。

4. 差は次のようになります。

31 - (-5) = 36

求める法は36を割り切る2以上10以下の整数です。2から10までを調べると、答えは 2, 3, 4, 6, 9 です。残りの 5, 7, 8, 10 では割り切れません。答えの各数で36が割り切れるため、元の2整数はそれぞれの法で合同です。

5. 必ず等しいとはいえません。例えば a = 8、b = 3 なら差は5であり、法5で合同ですが、8と3は異なります。一般には共通の余りを r、商を整数 q、p として次のように書けます。

a = 5q + r
b = 5p + r
a - b = 5(q - p)

q − p は整数なので差は5の倍数です。差が0という場合もありますが、合同という条件だけでは差を0に限定できません。例の8と3はともに5で割った余りが3なので、元の条件も満たします。

要点を手元に残す

合同とは、同じ法で割った余りが等しいことです。 差が法の整数倍であることと合同は同値です。 代表元は負でもよく、余りは0以上、法未満です。 等号と合同記号は、等しい対象が違います。 範囲のある問いは整数の端まで調べます。

どこで止まったかを見分ける

合同かどうかは答えられても、差が法の何倍か言えない場合は、記号と除法の式の接続を確認します。負の代表元を余りとして書く場合は、商を負にできることと、余りの範囲を同時に確かめます。範囲内の解を漏らす場合は、整数 k の範囲を先に書き、端の値を元の条件に戻します。

個別指導では、例えば合同式の左右の差を指して「どの整数の倍数か」、続けて「余りそのものはどの範囲か」を本人の言葉で説明してもらいます。式を正しく読めると、異なる整数の間にある共通の余りを、自分で確かめられます。