高校数学A 組分けと組の区別—名前と人数の違いから割る階乗を判断する｜武蔵野個別指導塾

観測班の名前と人数から、交換による重複が残る場所を見分けます。条件で一つの班が特定される場合も、割る数の理由を確かめます。

よくあるのは、高1が観測班を作るとき、人数の違う班まで入れ替えられると考えてしまう場面です。例えば2人班と3人班なら、班名がなくても人数を見ればどちらかを特定できます。それなのに、班が2つあるという理由で2で割ると、異なる分け方までまとめてしまいます。反対に、同じ人数の班を区別しないのに、選んだ順序を残して数えると重複します。班の中の人はそれぞれ区別し、班の名前と人数から、何を同じ分け方とするかを決めましょう。

班を作る問題の3つの型

組分けとは、対象を重ならない組に分けることです。ここでは指定された全員を、空の組を作らずに分けます。班の中に並ぶ順序や役割はなく、誰と誰が同じ班かが結果を決めます。観測場所などの班名が指定される場合は、同じ人の集まりでも所属先が変われば別の結果です。

出方の1つ目は、名前の付いた班に分ける型です。各班に異なる役割や場所があれば、班を交換すると割当先が変わります。2つ目は、名前のない同人数の班に分ける型です。先に選んだ班と残った班を交換しても、同じ組分けなので、数えた重複を除きます。

3つ目は、異なる人数と同じ人数が混じる型です。人数の違う班は人数で区別できますが、同人数の班の間には交換による重複が残ります。組の数を見て一律に階乗で割るのではなく、数え上げた結果を1つ固定し、そこに何通りの仮の名前が付くかを調べます。

名前と人数で交換を判定する

異なるn人からr人を順序を考えずに選ぶ方法はnCr通りです。ここでは0 ≦ r ≦ nで、選んだ順序を区別しません。例えばある班に入る人を決めれば、同じ班の中で人の名前を読む順番を変えても同じ選択です。続けて別の班を選ぶときは、すでに選んだ人を候補から除きます。

図1のように、名前のある班は同人数でも交換を別に数えます。名前のない班では、人数が同じ組の中身を交換しても、得られる組分けは変わりません。一方、2人の組と3人の組を入れ替えても、それぞれの人数の枠に入らないので、同じ結果を生む交換には数えられません。

図1の判定では、まず最終結果に班名が残るかを見ます。班名が残らず人数も同じなら、途中で付けた「第1班」「第2班」は計算用の仮の名前です。人数が同じ班がk個あるとき、異なる班の集まりに仮の名前を付ける方法はk!通りです。ここでk!はkから1までの整数の積です。

例えば2人班が3組あれば、1つの組分けに対して仮の名前の付け方は3・2・1 = 6通りです。組は互いに人を共有せず空でもないため、別々の組を入れ替えると仮の名前付きの記録は異なります。したがってどの結果も同じ6回ずつ数えられ、6で割れます。大事なのは、割る前の全記録がそれぞれちょうど同じ回数で最終結果に対応することです。

一般に、同じ人数の名前のない班がそれぞれa組、b組などあるなら、まず各班に仮の名前を付けて数え、a!とb!などで割ります。異なる人数どうしの交換は含めません。これは公式の形を先に覚えるより、完成した班の集まりに仮の名前を付け直す操作として考えると確かめやすくなります。

基本例題：同人数の2班

異なる6人 A、B、C、D、E、Fを、名前のない3人ずつの2班に分けます。班の中の順序は考えません。分け方を整数の通り数で求めてください。

まず一方の班を仮に第1班とし、6人から3人を選びます。残り3人は第2班に決まるので、仮の名前付きの記録は次の通りです。

6C3 = 6・5・4 / (3・2・1)
     = 20

しかし、求める班には名前がありません。図2のように、ABCとDEFという組分けは、第1班にABCを選んでもDEFを選んでも生じます。どの組分けでも第1班として選べる班は2つなので、20を2で割ります。

20 / 2! = 20 / 2
        = 10

答えは10通りです。図2の2行は班の並び順が違うだけで、同じ人どうしが同じ班にいます。逆に、仮の第1班を変えて結果が同じになるには、元の2班のどちらかを選ぶしかありません。したがって2回より多く数えることも、1回しか数えないこともありません。

別の方法では、Aを含む班を先に決めます。Aの仲間2人を残り5人から選べば、残りの3人はもう一方の班です。Aを含む班は必ず1つに定まるため、交換による重複は生じません。

5C2 = 5・4 / (2・1)
     = 10

どの答えも3人と3人に分かれ、全員が1回ずつ入ることを確認できます。Aを含む班を決める方法は、この条件で使える便利な別解です。班名がある問題で同じ操作を使う場合は、Aの班の名前も決める必要があります。

標準例題：人数の異なる班が混じる

異なる7人を、名前のない2人班2組と3人班1組に分けます。全員を1組ずつに入れ、班の中の順序は考えません。分け方を整数の通り数で求めてください。

まず3人班を選び、残りの4人を仮に第1、第2という名前を付けた2人班に分けます。選択の各段階で、前に選んだ人は候補から除きます。

7C3 = 35
4C2 = 6
2C2 = 1
35・6・1 = 210

この210は2人班の仮の名前を区別した数です。完成した1つの組分けに対し、2人班の名前は2!通りに付けられます。3人班は1組であり、その人数から決まります。よって次のように割ります。

210 / 2! = 210 / 2
         = 105

答えは105通りです。2人班と3人班は人数が異なるので、その間の交換を数えて3!で割ることはできません。例えば2人班の人を3人班の枠に入れ替えると、指定された人数を満たす記録ではなくなります。2人班どうしの仮名の交換と、人数の違う班どうしの交換は別の操作です。

別の順序で、仮の名前を付けた2人班を順に選んでも同じ結果です。最初に7C2、次に5C2を選び、残りが3人班になります。

7C2・5C2 = 21・10
          = 210
210 / 2 = 105

どちらの方法も、完成した班に仮の名前を付けた同じ記録を1回ずつ作っています。選ぶ順番が違うだけなので結果が一致します。3人班と2つの2人班を合わせると7人で、重複なく全員が入る点も元の条件に戻して確認します。

発展例題：条件を付けて数える

異なる8人 A、B、C、D、E、F、G、Hを、名前のない2人班2組と4人班1組に分けます。AとBは同じ班に入るものとし、班の中の順序は考えません。分け方を整数の通り数で求めてください。

AとBが入る班の人数で場合を分けます。2人班に入る場合と4人班に入る場合は重ならず、指定された班の人数からそのどちらかに必ず入ります。条件付きでも先に完成形の分類を決めると、同じ組分けを二度足すのを防げます。

AとBが2人班に入る場合、その班はABに決まります。残る6人からもう1つの2人班を選び、残り4人を4人班にします。

6C2 = 6・5 / (2・1)
     = 15

ここで2人班を2で割る必要はありません。ABを含む班と含まない班が条件によって区別でき、もう一方の班を選ぶ記録は各組分けに1つ対応するからです。

次にAとBが4人班に入る場合、残る6人から4人班の仲間2人を選びます。残り4人を2人班2組に分ける際には、仮の第1班に2人を選び、同じ結果を2回数えた分を除きます。

6C2 = 15
4C2 / 2! = 6 / 2
           = 3
15・3 = 45

2つの場合は排反なので足します。

15 + 45 = 60

答えは60通りです。前半はABが2人班全体を占め、後半はABに2人が加わって4人班になります。どちらも残る人を指定の人数に分け、全8人を一度ずつ使っています。もしAとBが別の班という条件なら、この2つの場合をそのまま足してはいけません。全体から同じ班の場合を引くか、別の班に入る場合を分類します。

この例では、同じ人数の班があっても、条件を使って一方を特定した後には重複が消える場合があります。割るかどうかは最初の問題文だけで決めず、実際の数え方が完成形を何回作るかを調べます。標準例題で2で割ったことと、発展例題の前半で割らないことは矛盾しません。

誤答から重複の数を調べる

標準例題で「班が3組だから210 / 3! = 35通り」とする誤答を考えます。原因は、3人班と2人班も自由に交換できると見たことです。図3のように、仮の名前を交換できるのは2つの2人班の間です。3人班は人数によって定まり、3!通りの名付けは存在しません。

図3に対応する正しい修正は、210を2!で割ることです。数値が整数になるかだけでは誤りは判定できません。誤答の35も整数ですが、1つの完成形に対応する記録が6個あるという説明は成り立ちません。

逆向きの誤りとして、基本例題の20通りをそのまま答える場合があります。ABCを選ぶ記録とDEFを選ぶ記録を書き出して比べると、同じ組分けになっています。完成形を1つ固定し、どの記録がそこに戻るかを数えれば、2回の重複を発見できます。

練習問題

いずれも人や品物は個々に区別し、指定された対象をすべて使います。組の中の順序は考えず、答えは整数の通り数で求めてください。

1. 異なる4人を、名前のない2人ずつの2組に分けます。
2. 異なる5個の部品を、名前のない2個の組と3個の組に分けます。
3. 異なる6人を、赤班と青班という名前のある3人ずつの2班に分けます。
4. 異なる6枚のカードを、名前のない2枚ずつの3組に分けます。
5. 異なる7人を、名前のない1人班1組と3人班2組に分けます。AとBは同じ3人班に入るものとします。

練習問題の答えと解き方

1

仮に第1組を決めると4C2通りで、残りが第2組です。名前を消すと各分け方は2回現れます。

4C2 / 2! = 6 / 2
          = 3

答えは3通りです。どの結果も2人ずつで、4人全員が1回ずつ入ります。例えばAの相手を残り3人から選ぶ方法でも、同じ3通りに対応します。

2

2個の組を選べば、残りが3個の組です。人数にあたる個数が違うため、2つの組はその大きさで区別できます。

5C2 = 5・4 / (2・1)
     = 10

答えは10通りです。選んだ2個と残った3個は重ならず、合わせて5個です。2で割ると、異なる2個の組を同じ結果としてまとめてしまいます。

3

赤班に入る3人を決めると、残る3人が青班です。班名が残るので赤と青の交換は別の割当です。

6C3 = 20

答えは20通りです。赤班を選ぶそれぞれの記録が異なる割当を表し、両班は3人ずつです。名前がない場合とは、完成形に残る情報が異なります。

4

3組に仮の名前を付けて順に選びます。完成した3組には仮の名前を3!通りに付けられます。

6C2・4C2・2C2 = 15・6・1
                 = 90
90 / 3! = 90 / 6
         = 15

答えは15通りです。各組は2枚で、合計6枚を重複なく使います。1枚を固定して相手を5通りから選び、残り4枚を2組に分ける3通りを掛けても15通りです。

5

AとBが入る3人班の残り1人を、他の5人から選びます。残った4人から1人班を選ぶと、最後の3人がもう一方の3人班です。

5C1・4C1 = 5・4
          = 20

答えは20通りです。AとBを含む班が特定されるので、2つの3人班の交換による重複はありません。各結果ではAとBが同じ3人班に入り、残りは1人と3人に分かれます。

覚えておくこと

班名が残るなら、名前の交換は別の結果です。
名前がなく人数も同じ班は、交換による重複を除きます。
人数の異なる班は、人数で区別できます。
条件が一方の班を特定すると、重複の数も変わります。

つまずきを見分けるには

式に割り算があるときは、「完成した1つの組分けを、この式は何回作りますか」と尋ねてみてください。答えが組の総数や階乗の暗記だけなら、具体的な人の名前を班に入れ、仮の名前を付け直した記録を並べます。交換後も人数と条件を満たす記録だけを数えると、除数の意味が見えてきます。

割り算がない式では、選んだ順を逆にした記録が同じ完成形に戻らないかを確認します。個別指導では、どの段階で班名を付け、最後にその名前を残したかを本人の式の横に書いてもらうと、誤りの場所を特定できます。条件でAを含む班を選んだ場合には、その班が本当に一意かも確かめます。

1つの完成形に戻る記録を数えれば、組分けの除数が決まります。