高校数学A 順列と階乗—役割のある配置を積で表して順序の区別を説明する｜武蔵野個別指導塾

模型を段に置く例で、選択と配置の違いや0!の意味から順列を知る。

よくあるのは、展示台の上段と下段に異なる模型を置くとき、どの模型を選ぶかだけで数えてしまう場面です。同じ2個を使っても、上段と下段を入れ替えれば見える配置は変わります。一方、選んだ模型の集合だけを記録するなら、取り出した順番は結果に残りません。何を1通りとするかを先に決めると、掛ける数の意味が見えてきます。

配置を数える問いの形

順列の問題では、最初に場所や役割の名前を確かめます。上段と下段、発表の最初と最後、進行係と記録係のように、結果から区別できる位置があるなら、同じものを入れ替えた結果も区別します。候補がそれぞれ異なり、同じ候補を2か所に使わないとき、順に場所を埋めると選択肢が1つずつ減ります。

出方の1つは、異なる候補から指定数を取って、区別のある場所へ置く形です。もう1つは、候補をすべて使って並べる形です。さらに、特定の候補を使うかどうかによって配置を分ける形もあります。どれも、完成した配置と数えた手順が一対一に対応するかを調べると、使う式を決められます。

たとえば模型AとBを使うという選択は1つです。しかし上段A・下段Bと上段B・下段Aは、配置としては2つあります。選択と配置を同じものとして扱うと、後者の区別が消えます。逆に、選択だけを求められているのに並べた順まで数えると、同じ選択を何度も数えることになります。

順列と階乗の意味をつかむ

異なるn個のものからr個を取り出し、順序をつけて一列に並べたものを順列といいます。nとrは整数で、0≦r≦nとします。その順列の総数をnPrと書きます。ここで「順序」とは、先に取り出したという作業の記録に限らず、上から下へ、左から右へなど、区別された位置への割り当てとしても考えられます。

図1のように、同じ2個を使っていても位置が変われば別の順列です。位置の組を見ればどの模型をどこに置いたかが決まるので、配置と順序つきの記録を対応させられます。

図1では上段と下段が区別され、AとBも区別されます。左と右の配置からそれぞれ上段、下段の順に読むと、ABとBAになります。同じ2文字を選んだという情報だけでは、この違いは残りません。

rが1以上のとき、1番目の位置にはn個から選べます。2番目には、すでに使った1個を除くn − 1個が残ります。同じように、r番目に残るのはn − r + 1個です。どの段階でも前に選んだものを再使用しないため、各段階の選択を掛けて

nPr = n・(n - 1)・(n - 2)・…・(n - r + 1)

となります。各手順は1つの配置を作り、完成した配置を位置の順に読めば手順がただ1つに戻るので、重複も数え落としもありません。どの選択をした後でも、残る個数は同じです。この条件を確認してから積の法則を使います。

正の整数nについて、nから1までの整数を掛けた数をnの階乗といい、n!と書きます。たとえば4! = 4・3・2・1 = 24です。n個をすべて並べるときは、最後に残った1個まで使うため、nPn = n!となります。公式に現れる0!は1と定めます。何も置かない配置を1通りと考えると、r = 0の順列はnP0 = 1です。置く場所が0個なら、何も置かないという結果が1つあり、候補を選ぶ手順はありません。

この定めを使えば、0≦r≦nのすべての整数について

nPr = n!/(n - r)!

と書けます。rが正でnより小さい場合、分母の(n − r)!は、分子のうち使わない末尾の積と等しいので消えます。r = nなら分母は0! = 1、r = 0なら分子と分母が同じです。0!を0にすると割り算ができず、この対応も壊れます。候補が0個で場所も0個の場合も、0P0 = 0!/0! = 1です。

場所のほうが候補より多く、再使用も空席も許されない場合は、条件に合う配置は0通りです。ただし、その場合を0≦r≦nという条件の外にあるnPrの式へ、そのまま代入しません。条件を満たす配置が存在するかを先に判断します。

基本例題：上下の段に模型を置く

問題：異なる模型A、B、C、Dの4個から2個を選び、展示台の上段と下段に1個ずつ置きます。同じ模型は2回使いません。上段と下段を区別するとき、配置は何通りですか。整数の通り数で答えてください。

上段から先に決めます。上段は4個から選び、下段はすでに上段に置いた1個を除く3個から選びます。どの模型を上段に選んでも、下段の候補は3個です。したがって積の法則を使えます。

4P2 = 4・3
     = 12

答えは12通りです。図2のように上段の候補を4つに分けると、それぞれに下段の候補が3つずつあります。下段に同じ文字がない枝を見れば、同じ模型を2回使わない条件も確かめられます。

図2の上段AからはAB、AC、ADの3配置が生まれます。上段BからのBAは、上段AからのABと違う配置です。各完成形は上段にある模型によって4つの枝のどれか1つに入り、下段の模型も決まるため、別の枝で重ねて数えません。

下段から決め始めても、4個の後に3個を選ぶので12通りです。決める順番を変えても、出来上がる配置は変わりません。一方、4個から2個の模型を選ぶだけなら、各選択には上下を入れ替えた2配置が対応するので、12 ÷ 2 = 6通りです。選択の数と配置の数が異なる理由は、段の区別を結果に残すかどうかにあります。

もし上下の両方に同じ模型を置いてよいという条件に変われば、下段にも4個の候補があります。その場合は4・4 = 16通りで、もとの問題に含まれなかったAAなども入ります。選択肢を減らすかどうかは「使ったものを再使用できるか」で決めます。

標準例題：指定した模型を使う

問題：異なる6個の模型のうち、1個をAとします。この中から3個を選び、上段・中段・下段に1個ずつ置きます。同じ模型は2回使わず、Aを必ず使います。段を区別した配置は何通りですか。整数の通り数で答えてください。

Aをどの段に置くかを先に決めます。Aの位置は3通りです。残りの2段を上から順に見ると、A以外の5個から1個、残る4個から1個を選べます。Aの位置がどこであっても、この残り方は同じです。

3・5P2 = 3・5・4
         = 60

答えは60通りです。Aの位置は完成した配置から読み取れるため、異なる位置を選んだ場合どうしは重なりません。また、残り2段の上からの順に読むことで、ほかの模型を置いた手順も1つに戻ります。Aは必ず1個使い、残りも互いに異なるので、数えた配置はすべて条件を満たします。

別の見方として、条件を付けない配置からAを使わない配置を除けます。条件なしでは6個から3段を埋めます。Aを使わない場合は残りの5個から同じ3段を埋めます。

6P3 = 6・5・4
     = 120
5P3 = 5・4・3
     = 60
120 - 60 = 60

全体の各配置はAを使うか使わないかのどちらかに分かれ、両方には入りません。引き算で残る60配置と、Aの段を先に決めて得た60配置は、一つずつ同じ配置に対応します。数が一致しただけでなく、どちらの手順からも完成形を復元できることが確認点です。

発展例題：2個のうち片方だけを使う

問題：異なる7個の模型のうち2個をA、Bとします。7個から4個を選び、上から順に区別された4段へ1個ずつ置きます。同じ模型は2回使いません。AとBのうち、ちょうど一方を使う配置は何通りですか。整数の通り数で答えてください。

「ちょうど一方」は、Aを使いBを使わない場合と、Bを使いAを使わない場合に分かれます。どちらも使わない配置と両方を使う配置は条件外です。完成形を見ると、使われている指定模型はAかBのどちらかに決まり、2つの場合は重なりません。

使う指定模型を2通りから決め、その模型の段を4通りから決めます。残りの3段には、AとB以外の5個から異なる3個を順に置きます。どの指定模型と段を選んでも、残りの候補は5個です。

2・4・5P3 = 2・4・5・4・3
           = 480

答えは480通りです。指定模型の段と、残りの段に上から置かれた模型を読めば、各配置から選択の手順が一意に戻ります。したがって、Aを先に決めたか、空いている段を先に埋めたかという作業の順で同じ結果を重ねていません。

条件を満たさない配置を除く方法でも確かめます。全体は7P4通りです。どちらも使わない配置は、残りの5個から4個を置く5P4通りです。両方を使う配置は、Aの段を4通り、Bの段を残り3通りに決め、残った2段に5個から2個を順に置きます。

7P4 = 7・6・5・4
     = 840
5P4 = 5・4・3・2
     = 120
4・3・5P2 = 4・3・5・4
             = 240
840 - 120 - 240 = 480

指定模型を使う個数は0個、1個、2個のいずれかです。0個と2個の場合は重ならず、両方を引いた残りが1個の場合です。両方を使う配置では、AとBは別の模型なので、Aの段とBの段を入れ替えると別の配置になります。ここで4段から2段を選ぶだけにすると、AとBのどちらをどちらに置くかが消えてしまいます。

誤答をほどいて直す

基本例題で「4個から2個を選ぶので6通り」とする答えを考えます。6は、使う模型の組だけを区別した数です。段の入れ替えを同じ結果にしているため、配置の数としては不足しています。図3のように、1つの選択に2つの配置が対応することを見れば、どこで区別が失われたかがわかります。

図3で、AとBという選択からABとBAの2配置ができます。各組に対して上下の置き方は必ず2通りなので、選択の数を使うなら6・2 = 12通りと直します。最初から段を埋めて4・3とする方法でも同じです。どちらの方法でも、段を区別することが最後の結果に反映されています。

別の誤りは4・4 = 16通りとすることです。下段を決めるときに上段の模型を除いていないため、AAやBBのように同じ模型を2回使う配置が混ざります。最初の選択後に使える候補を実際に書き出すと、各枝が3通りであることを確認できます。

階乗を使うときの誤りにも注意します。4P2を4! = 24とすると、使わない2個の並べ方まで区別しています。上段と下段を決めた後、残り2個の順序は展示台の配置に現れません。各配置について残りの2個は2!通りに並ぶので、4!/2! = 12と直せます。割る数は、同じ配置を何回数えたかを具体的に説明して決めます。

練習問題

いずれも候補は互いに異なり、指定のない限り同じ候補を2回使いません。答えは整数の通り数で求めてください。

1. 異なる5枚の作品から3枚を選び、左・中央・右の3か所に1枚ずつ展示します。左右と中央を区別するとき、配置は何通りですか。
2. 異なる5種類の音源を1回ずつ、順番を決めて再生します。再生順は何通りですか。
3. 異なる8個の部品から、試作台の0個の取り付け位置に部品を置きます。何も取り付けない結果を配置とすると、配置は何通りですか。
4. 異なる6枚の写真のうち1枚をPとします。3枚を選び、左・中央・右の3か所に1枚ずつ置きます。Pを中央に置かない配置は何通りですか。Pを使わない配置も含めます。
5. 異なる7人から、進行係・記録係・連絡係をそれぞれ1人ずつ選びます。1人が複数の係を兼ねないものとし、指定された2人のうち少なくとも1人が係になる割り当ては何通りですか。

練習問題の答えと解き方

1. 左から順に置くと、選べる作品は5枚、4枚、3枚です。

5P3 = 5・4・3
     = 60

60通りです。完成した展示を左から読めば、選んだ順が一意に決まります。各展示には別々の3枚があり、同じ3枚でも左右を入れ替えれば別の展示です。

2. 最初の音源は5通り、次は4通りと減り、最後は1通りです。

5P5 = 5!
     = 5・4・3・2・1
     = 120

120通りです。どの順にも5種類が1回ずつ現れます。最後に残る1種類の選択肢は1通りで、並べた結果のそれぞれは再生順として区別されます。

3. 取り付け位置がないので、何も取り付けない配置が1通りです。

8P0 = 8!/8!
     = 1

部品を1個も選ばないという条件を満たす結果は、部品が何種類あっても空の配置1つです。0個の部品を取り付けるという条件と、配置が0通りという結論を混同しないようにします。

4. まず制限なしの配置を数え、Pが中央にある配置を除きます。Pを使わない配置も残すため、Pの位置を左右に限定する数え方だけでは不足します。

6P3 = 6・5・4
     = 120
5P2 = 5・4
     = 20
120 - 20 = 100

100通りです。除いた20通りは中央にPを固定し、左右に残り5枚から順に置いた配置です。残ったものはPが左か右にあるか、Pを使わないかのいずれかで、いずれもPは中央にありません。

5. 制限なしの割り当てから、指定された2人のどちらも係にならない割り当てを除きます。係を区別するので、選ぶ3人が同じでも担当を入れ替えれば別の結果です。

7P3 = 7・6・5
     = 210
5P3 = 5・4・3
     = 60
210 - 60 = 150

150通りです。除いた60通りでは指定の2人以外の5人から3役を埋めています。残る割り当てでは指定の2人のうち1人または2人が係になり、各役は1人、各人は最大1役という元の条件も満たします。

覚えておくこと

• 順列は、異なる候補を順序や役割を区別して配置したものです。
• 同じ候補を再使用しないr個の配置は、0≦r≦nでnPr = n!/(n − r)!です。
• 0! = 1とし、何も置かない配置は1通りと数えます。
• 条件に合う配置と数える手順が一対一に対応するかを確かめます。

つまずきの見分け方

式の最初の数を指して「どの位置に置く候補の数ですか」と尋ねると、選択と配置を区別できているかが見えます。次の数については、前に使った模型を取り除いた後の候補を具体的に挙げてもらいます。数が合っていても、同じ模型を2度使う例を含めていないかまで確かめることが必要です。

選んだ組から配置へ直す場面では、同じ2個を上下に入れ替えた2つの結果を描き、問題の条件で同じとみなすのかを言葉にします。引き算を使った場合は、全体に含めた配置、除いた配置、残す配置をそれぞれ1つ挙げます。個別指導では、答えの数だけでなく、完成した配置から数える手順が1つに戻る理由を確認します。段の役割を見分けることが、順列の式の出発点です。