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高校数学I 相関係数の計算—共分散と標準偏差をそろえて値の範囲を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

偏差の積と二乗を表で計算し、相関係数の分母が0になる場合や根号の計算を点検する手順を示します。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、共分散を2つの分散の積で割ってしまう場面です。分散と標準偏差はどちらも散らばりを表しますが、相関係数の分母に置くのは標準偏差です。計算表の各列が何を数えるかを確かめ、最後に答えが取りうる範囲へ戻して点検しましょう。

どんな数が与えられるか

1つ目の型は、同じ対象について測った2つの値の組から、平均、偏差、共分散、標準偏差の順に求める問題です。2列を別々に並べ替えると組が変わり、偏差の積も変わります。表の横一行を最後まで同じ対象として扱います。

2つ目は、分散と共分散がすでに与えられ、相関係数を求める問題です。分散から非負の平方根を取り、標準偏差が両方とも正か確かめてから割ります。平方根を省くと、正しい範囲に入ることがあっても式は正しくありません。

3つ目は、答えが存在するか、または与えられた数値が両立するかを判断する問題です。標準偏差が0なら割り算は定義できません。また、計算した値が-1より小さいか1より大きい場合、元の条件か計算のいずれかを見直します。数の範囲に入ることは必要な点検ですが、それだけで元の表との一致まで保証しません。

偏差の積と平方根をつなぐ

正の整数n個の組を考えます。各組のxとyからそれぞれの平均を引いた数を、xの偏差、yの偏差と呼びます。同じ組の偏差を掛け、n個の積の合計をnで割ったものが共分散です。xの偏差の二乗の平均がxの分散、その非負の平方根がxの標準偏差です。yについても同様です。

xの標準偏差をs、yの標準偏差をt、共分散をcとすると、sとtがともに正のとき、相関係数rは次の式です。

r = c/(s・t)

分子も分母の分散も同じn個の組について、同じnで割って求めます。図1のように、偏差の積の平均と、各偏差の二乗の平均から出発します。二乗の平均そのものを分母に入れず、それぞれ平方根を取ります。

図1の表で、各列の和をnで割れば共分散と2つの分散です。たとえば長さと時間を組にしたなら、共分散の単位は長さと時間の積です。標準偏差の積も同じ単位なので、相関係数には単位が残りません。異なる単位を使う値を比べるときにも、どの量で割ったかが重要です。

rは-1以上1以下です。正なら平均からのずれの向きが同じ組の積が、反対向きの積より全体として大きいことを示します。負なら逆です。0でも曲線上に点が並ぶなど、関係が残る場合があります。また、相関係数だけから一方が他方の原因だとは言えません。

分散が0なら偏差の二乗はすべて0なので、その変量の値はすべて同じです。標準偏差も0となり、分母が0です。共分散も0になりますが、0を0で割って相関係数を0と決めることはできません。点が水平または垂直に並ぶ場合も、この条件を先に見ます。

偏差の二乗は負にならないため、その平均である分散も負になりません。分散が正なら標準偏差も正です。相関係数の符号は正の分母では変わらないので、共分散の符号と一致します。一方、分散に負の数が与えられた場合は、平方根を計算する前に条件が矛盾すると判断します。共分散が負になること自体は矛盾ではありません。

2つの変量が完全に同じ向きまたは逆向きに直線上へ並ぶと、両方に散らばりがある場合に限ってrはそれぞれ1または-1です。横向きや縦向きに並ぶ場合は一方の散らばりが0なので、見た目が直線でもこの判断を適用できません。

基本例題：3組の測定表

3つの品物について、長さxと幅yを同じ単位で測った自作の組が (1, 1)、(2, 3)、(3, 2) です。相関係数を正確な分数で求めてください。

図2のように横軸をx、縦軸をyとし、1組を1点にします。3点は重なっていません。傾向を眺めた後も、答えは表に戻って求めます。

平均は次のとおりです。

xの平均 = (1 + 2 + 3)/3 = 2
yの平均 = (1 + 3 + 2)/3 = 2

組	x	y	xの偏差	yの偏差	積	xの偏差の二乗	yの偏差の二乗
1	1	1	-1	-1	1	1	1
2	2	3	0	1	0	0	1
3	3	2	1	0	0	1	0
合計	6	6	0	0	1	2	2

両方の偏差の合計が0であることを確かめ、各合計を3で割ります。

c = 1/3
xの分散 = 2/3
yの分散 = 2/3
s = √(2/3)
t = √(2/3)
s・t = 2/3
r = (1/3)/(2/3)
  = 1/2

分母は正なので定義でき、1/2は-1以上1以下です。元の3組に平均2を戻すと偏差は表の行に一致し、積の合計1と二乗和2、2も再現します。図2の右上がりの傾向とも符号は矛盾しませんが、図の見た目だけで1/2とは決まりません。

標準例題：根号を残す

4枚の自作カードに書かれた組が (1, 2)、(2, 1)、(3, 4)、(4, 5) です。相関係数を根号を含む正確な値で求めてください。

xの合計は10、yの合計は12なので、平均はそれぞれ5/2、3です。組の順に偏差を書くと、xは -3/2、-1/2、1/2、3/2、yは -1、-2、1、2です。対応する積は3/2、1、1/2、3で、合計は6です。xの偏差の二乗和は(9 + 1 + 1 + 9)/4 = 5、yの偏差の二乗和は1 + 4 + 1 + 4 = 10です。

c = 6/4 = 3/2
xの分散 = 5/4
yの分散 = 10/4 = 5/2
s = √5/2
t = √10/2
s・t = √50/4 = 5√2/4
r = (3/2)/(5√2/4)
  = 6/(5√2)
  = 3√2/5

両標準偏差は正です。得られた3√2/5を二乗すると18/25です。正の値で二乗が1未満なので、相関係数の範囲に収まります。4組の各値から平均を引き直すと上の偏差に戻り、偏差の積の合計は6です。根号を途中で丸めず、最後まで同じ組に対応させたことも検算になります。

発展例題：値が成立するか

ある6組のデータについて、xの分散が4、yの分散が9、共分散が次のいずれかであるとします。それぞれ相関係数が定義できるか、与えられた値が両立しうるかを答えてください。両立する場合は相関係数も整数または分数で求めます。

ア共分散が2。イ共分散が7。さらに、別の6組ではxの分散が0、yの分散が9、共分散が0です。この場合も相関係数を求められるか答えてください。

アとイの標準偏差はそれぞれ2、3で、どちらも正です。分母は6です。

ア: r = 2/(2・3) = 1/3
イ: r = 7/(2・3) = 7/6

アは範囲に入ります。さらに、たとえばxの偏差を -2、-2、-2、2、2、2、yの偏差を -3、-3、3、-3、3、3 とすると、各偏差の和は0です。二乗和は24と54、積の和は12なので、6で割ると元の分散4、9と共分散2が戻ります。したがってアは実際に両立します。各偏差に任意の一定の平均を加えれば、6組の元の値を作れます。

イは7/6が1を超えるため、その3つの値を同じ6組から得ることはできません。分母が正なので式は計算できますが、結果の範囲がデータの条件と矛盾します。値を1に丸めて救済せず、与えられた数の転記や集計を調べます。

別の6組ではxの標準偏差が0、yの標準偏差が3です。分母が0なので相関係数は定義されません。共分散0という条件は、xの偏差がすべて0であることと整合しますが、0/0を数値として扱う根拠にはなりません。分母0と、範囲外の数を得た場合は異なる失敗なので、理由を分けて記述します。

間違えた式をたどり直す

基本例題で「分散は両方2/3、共分散は1/3だから、r = (1/3)/((2/3)・(2/3)) = 3/4」と答えたとします。3/4は範囲内ですが、正解ではありません。原因は分散の積を標準偏差の積と取り違えたことです。図3のように平方根の段階を挟めば、分母は2/3となり、1/2に直せます。

図3の両方の式を比べると、範囲の検査を通るだけでは誤りを見つけられないことがわかります。答えの大きさとともに、分母の作り方も確認します。逆に範囲外の答えが出たら、積の列の符号、二乗和、平方根、割る数を順にたどります。

別の誤りは、負の偏差どうしの積を負とすることです。基本例題の1組目は(-1)・(-1) = 1です。負の数を2つ掛けると正になるため、符号を直してから合計し直します。表の偏差和が0でも積の符号は保証されないので、行ごとに確認します。

練習：まず5問を解く

各問題は自作のデータです。相関係数を求める場合は正確な分数または根号で答え、定義できない場合は理由も書いてください。

3つの箱の高さxと奥行きyの組が (2, 4)、(4, 2)、(6, 6) です。相関係数を求めてください。
4組の記録で、xの分散が16、yの分散が25、共分散が-10です。相関係数を求めてください。
3つの容器の組が (5, 1)、(5, 2)、(5, 3) です。相関係数を求められるか判断してください。
4組の記録で、xの分散が9、yの分散が4、共分散が8です。この数値が同じ記録から得られるか判断してください。
3枚の札の組が (-1, 1)、(0, 0)、(1, 1) です。相関係数を求め、0という結果から何が言えるか答えてください。

練習の答えと戻し方

平均はxが4、yが4です。偏差の組は(-2, 0)、(0, -2)、(2, 2)です。積の和は4、二乗和はそれぞれ8、8です。

c = 4/3
s = √(8/3)
t = √(8/3)
r = (4/3)/(8/3) = 1/2

元の各組から4を引くと上の偏差に戻ります。分母は正で、1/2は範囲内です。

標準偏差は4、5で正です。したがって次のように求めます。

r = -10/(4・5)
  = -10/20
  = -1/2

分母20に答えを掛けると共分散-10に戻ります。二乗した4と5も与えられた分散16と25に戻り、答えは範囲内です。

xの平均は5で、3つのxの偏差はすべて0です。xの分散と標準偏差は0なので、分母が0となり相関係数は定義できません。元の3つのxがいずれも5であることに戻せば、散らばりがない理由を確かめられます。yの値が異なっていても、分母は正になりません。
標準偏差は3、2なので分母は6です。もし成立するとするとr = 8/6 = 4/3ですが、これは1を超えます。したがって同じ4組からは得られません。共分散8を分母6で割る式に戻し、範囲を超えた原因が条件の組合せにあることを示します。
平均はxが0、yが2/3です。xの偏差は-1、0、1、yの偏差は1/3、-2/3、1/3です。積の和は-1/3 + 0 + 1/3 = 0、二乗和はxが2、yが2/3です。

c = 0/3 = 0
xの分散 = 2/3
yの分散 = (2/3)/3 = 2/9
r = 0/(√(2/3)・√(2/9)) = 0

分母は正です。各偏差に平均を戻すと元の3組になり、yはxの二乗に一致します。相関係数が0でも、この組には関係があるため、無関係とは結論できません。

手元に残す要点

同じ組の偏差の積を平均して共分散を出します。
分散の平方根が標準偏差で、2つとも正のときに割ります。
相関係数は-1以上1以下ですが、範囲内でも計算の正しさは別に確かめます。
0は無関係を意味せず、相関は因果を示しません。

計算が止まる場所を見分ける

表の積が合わないときは、平均から引く順序と、同じ行の2値を掛けたかを確認します。偏差和が0なら平均の計算を点検する手がかりになりますが、それだけで積の列まで正しいとは限りません。分散までは合うのに答えがずれるときは、平方根を書いた行と分母を照合します。

個別指導で確かめるなら、完成した数値だけでなく、1行の負の偏差どうしをなぜ正の積にしたかを言葉にしてもらいます。続いて分散0の列を示し、割り算に進めるか尋ねます。計算できない理由を分母に結び付けられれば、範囲外の答えが出た場合との違いも説明できます。相関係数は、組の対応と分母の条件をそろえて初めて読める数です。