高校数学I 変量の倍率変換—負の倍率とゼロを分けて散らばりの変化を追う｜武蔵野個別指導塾

負の倍率で順序が逆になる測定値を並べ直し、標準偏差の絶対値と四分位数の入れ替わりを追ってみましょう。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、各値に負の倍率を掛けた後、標準偏差にもそのまま負の数を掛ける場面です。値の順序は逆になりますが、散らばりの大きさは負になりません。平均からの距離に注目し、元の値と変換後の値を対応させると、符号の扱いを確かめられます。

倍率が問題に現れる場面

出方の1つは、元の平均と分散が与えられ、各値を同じ式で変換した後の平均と標準偏差を求めるものです。全データを書き出さなくても、倍率と加える数の役割を分ければ計算できます。分散と標準偏差では倍率の掛かり方が違うため、どちらを求められているかを先に確認します。

次に、変換前後の平均や分散から倍率を逆算する型があります。分散から決まるのは倍率の二乗なので、正負の2通りが残ることがあります。平均の条件や順序に関する条件を使って候補を絞り、元の条件に戻して確かめます。元の分散が0の場合は割り算ができず、別に考える必要があります。

もう1つは、四分位数を変換する型です。正の倍率なら小さい順の並びは保たれます。負の倍率なら並びが逆になり、第一四分位数と第三四分位数が担当する側も交換されます。倍率が0なら元の大小に関係なく同じ値に集まります。

平均からのずれを見る

正の整数n個の値をx₁からxₙとし、その平均を「xの平均」と呼びます。各値を同じ式 y = ax + b で変換すると、変換後の合計は元の合計のa倍に、bをn回加えたものです。したがって、yの平均は a・(xの平均) + b です。aとbは各データに共通する数です。

図1のように、平均からの偏差を計算すると、加えたbは消えます。個々の偏差はa倍ですが、偏差の二乗はa²倍です。分散は偏差の二乗の平均なので、yの分散はxの分散のa²倍です。分散をnで割る定義でそろえます。

図1の対応から、標準偏差は分散の非負の平方根なので、yの標準偏差はxの標準偏差の|a|倍です。|a|はaが負なら符号を反転した値、0なら0です。例えばaが-3なら距離は3倍、分散は9倍です。bが変わっても、平均と各値が同じだけ動くので偏差は変わりません。

四分位数は並び順を使います。ここでは昇順に並べ、奇数個なら全体の中央値を除く上下の群の中央値を第一、第三四分位数とします。偶数個なら上下同数に分けます。aが負なら、元の大きい方が変換後の小さい方に移ります。よって変換後の第一四分位数は元の第三四分位数を式に入れた値、変換後の第三四分位数は元の第一四分位数を式に入れた値です。中央の2値を平均する場合も、両方に同じ一次式を適用すればその平均は元の平均を変換した値になります。

基本例題：負の倍率で表を書き直す

4個の測定値 x は 1、3、5、7 です。各値を y = -2x + 10 で変換します。xとyの平均、分散、標準偏差を求め、標準偏差は根号を使って正確に表してください。また、上下同数の群の中央値を四分位数とし、両方の第一・第三四分位数を求めてください。

まず元の平均と偏差を求めます。偏差は順に -3、-1、1、3 です。

xの平均 = (1 + 3 + 5 + 7)/4 = 4
xの分散 = (9 + 1 + 1 + 9)/4 = 5
xの標準偏差 = √5

対応する y は 8、4、0、-4 です。図2では各列が同じ測定に対応します。yを昇順に並べると -4、0、4、8 となり、元の順序と逆です。

図2の値からも公式からも次の結果になります。

yの平均 = -2・4 + 10 = 2
yの分散 = (-2)²・5 = 20
yの標準偏差 = 2√5

直接確かめると、yの偏差は対応順に 6、2、-2、-6 です。その二乗和は 36 + 4 + 4 + 36 = 80 で、4で割ると20です。2√5の二乗も20なので、根号を含む答えが合っています。値の合計は8で、平均2を4倍した数に戻ります。

xの下半分は 1、3、上半分は 5、7 です。第一四分位数は2、第三四分位数は6です。yの下半分は -4、0、上半分は 4、8 なので、それぞれ -2、6 です。元の第三四分位数6を変換すると -2、第一四分位数2を変換すると6になり、直接並べた結果と一致します。

標準例題：倍率を逆に探す

ある6個の値の平均は3、分散は4です。各値を y = ax + b に変換したところ、yの平均は5、分散は36でした。aとbの組をすべて求めてください。値の単位は考えないものとします。

分散の条件から a²・4 = 36 です。4で割ると a² = 9 なので、a = 3 または a = -3 です。分散は符号を区別できません。平均の条件は 3a + b = 5 です。

a = 3 のとき、9 + b = 5、b = -4
a = -3 のとき、-9 + b = 5、b = 14

したがって組は (3, -4)、(-3, 14) です。前者では平均が 3・3 − 4 = 5、分散が 9・4 = 36 です。後者でも平均が -3・3 + 14 = 5、分散が 9・4 = 36 となります。両方を元の条件に戻せるため、負の候補を途中で捨ててはいけません。

もし変換によって大小が逆転するという条件が加われば、異なる2値の順序を逆にする a = -3 が選ばれます。一方、元の値がすべて同じなら順序の逆転を観察できず、元の分散も0です。その場合、変換後の分散も0なので、分散からaを割り出す方法は使えません。たとえば変換後の分散を36と指定したら、条件を満たす変換は存在しません。

発展例題：四分位数とゼロの境目

5個の測定値が小さい順に 2、4、6、8、12 とあります。奇数個なので中央の値を除き、残る上下の群の中央値を四分位数とします。y = ax + 1 としたとき、yの第一四分位数が -19、第三四分位数が -5 となるaを求めてください。aは実数とします。

元の中央値は6で、上下の群は 2、4 と 8、12 です。したがって第一四分位数は3、第三四分位数は10です。aの符号で場合分けします。

a > 0 のとき、3a + 1 = -19 から a = -20/3
a = 0 のとき、両方の四分位数は 1
a < 0 のとき、10a + 1 = -19 から a = -2

正の場合に得た -20/3 は a > 0 に反するので不適です。0の場合も条件と一致しません。負の場合の候補 -2 は、もう一方の条件にも代入します。

3・(-2) + 1 = -5

よって a = -2 です。元の5値に戻すと y は対応順に -3、-7、-11、-15、-23 です。昇順に並べると -23、-15、-11、-7、-3 です。中央値 -11 を除き、下半分の平均は -19、上半分の平均は -5 となるので、両条件を満たします。第一と第三を入れ替えずに式を立てると、符号の条件に矛盾したり、もう一方の条件が合わなかったりします。

倍率を0にする操作は符号の境界として独立に確認します。変換後はどの値も1で、平均も四分位数も1、分散と標準偏差は0です。元の測定値の散らばりを、その結果だけから復元することはできません。

間違いを表に戻して直す

基本例題で「標準偏差は -2√5」と答える誤りを考えます。原因は、偏差が-2倍になることを、距離の大きさまで負になると読み替えた点です。図3のように、元の偏差 -3 は変換後に6となり、平均からの距離は3から6に増えます。負の距離はありません。

図3の対応を二乗しても、9から36へと4倍です。分散が4倍なので標準偏差はその非負の平方根を取って2倍です。式に直すなら √((-2)²・5) = 2√5 とします。標準偏差が負になった時点で、平方根の取り方を点検します。

別の誤りは、加えた10を分散にも足して30とするものです。平均にも各値にも10が加わるため、その差には残りません。変換後の値から平均2を引き、偏差の二乗和が80であることを確かめれば20に戻せます。さらに、四分位数の問題で元の第一四分位数をそのまま変換後の第一に対応させると、負の倍率では上下が逆になります。必ず変換後の小さい順に並べ直して確かめます。

練習：条件から式へ

次の5問は互いに独立した自作の測定です。答えは指定の形で表してください。四分位数を用いる問4では、奇数個の中央を除いた上下の群の中央値を取ります。

1. 8個の長さの平均が6 cm、分散が9 cm²です。各値を3倍して2 cm足した値の平均、分散、標準偏差を単位付きの整数で求めてください。
2. ある値の平均が4、標準偏差が2です。各値を -1/2 倍して7を足します。変換後の平均と標準偏差を整数で求めてください。
3. 元の平均が2、分散が5で、y = ax + b の平均が1、分散が20です。a、bの組をすべて整数で求めてください。
4. 7個の値 1、2、4、5、7、9、11 を y = -x + 12 で変換します。yの第一・第三四分位数を整数で求めてください。
5. 正の整数個の値の平均が8、分散が0です。y = ax + 3 の平均が19であるとき、aとyの分散を整数で求めてください。また、yの分散が4という追加条件を同時に満たせるか答えてください。

練習の答えと確かめ

1. 平均は 3・6 + 2 = 20 cm、分散は 3²・9 = 81 cm²、標準偏差は √81 = 9 cm です。元の合計は 8・6 = 48 cm、変換後は 3・48 + 8・2 = 160 cm です。160を8で割ると20に戻ります。偏差の二乗は9倍で、81の非負の平方根は9です。

2. 平均は (-1/2)・4 + 7 = 5、標準偏差は |-1/2|・2 = 1 です。元の分散は4で、変換後の分散は (1/4)・4 = 1 です。その平方根は1です。元の値の合計は、個数をnとすると4nです。変換後の合計は (-1/2)・4n + 7n = 5nなので、平均も5に戻ります。

3. 分散の条件は 5a² = 20、したがって a² = 4 です。a = 2 または -2 です。平均の条件 2a + b = 1 に代入すると、組は (2, -3)、(-2, 5) です。前者は 2・2 − 3 = 1、後者は -2・2 + 5 = 1 です。どちらも分散は4・5 = 20で、条件を満たします。

4. 元の中央値5を除くと、下の群は 1、2、4、上の群は 7、9、11 です。第一四分位数は2、第三四分位数は9です。負の倍率なので、yの第一は -9 + 12 = 3、第三は -2 + 12 = 10 です。変換後の昇順は 1、3、5、7、8、10、11 で、中央7を除いた各群の中央も3と10です。

5. 平均の条件は 8a + 3 = 19 なので a = 2 です。分散は 2²・0 = 0 です。元の分散0は、非負の偏差の二乗がすべて0であることを意味します。元の値は各8、変換後は各19ですから、平均19、分散0に戻ります。追加条件の分散4は満たせません。どのaでも元の分散0のa²倍は0だからです。

計算が止まったときの点検

元の分散が与えられていないときは、標準偏差を二乗してから変換できます。ただし元の標準偏差が負と指定された場合は、定義に合わないため計算を進める前に条件を確認します。記録の一部が欠けていて個数や平均を決められない場合も、欠けた値を0と決めて補うことはできません。対象とする値を確定してから平均を計算します。

計算機に負の数を入力するときは、倍率全体を括弧で囲むと二乗の対象が明確です。表示が途中で途切れたり操作を間違えたりした場合は、その表示を答えとせず、偏差の表を使ってやり直します。分散が負になった場合も、二乗和と割る個数を点検します。これらは答えの見た目だけでなく、計算を支える条件の確認です。

手元に残す要点

平均は a・(元の平均) + b、分散はa²倍です。 標準偏差は|a|倍で、負にはなりません。 aが負なら四分位数の第一と第三が入れ替わります。 aが0なら全値がbになり、散らばりは0です。 逆算した候補は符号と元の条件に戻して確かめます。

途中のどこで迷ったかを見分ける

計算が合わないときは、まず各値と平均の両方に同じ変換をしたかを見ます。平均の式が合っていて偏差の式が違うなら、bが差で消えるところを具体的な1組の値で確かめます。分散まで正しく標準偏差が負なら、平方根を非負に取る条件に戻ります。個別指導では、答えだけでなく、元の表、変換後の表、平均からの差を順に書いてもらうと、どの段階で対応を失ったかを見分けられます。

四分位数で迷う場合は、元の順番のまま変換した列と、それを昇順に並べた列を横に置きます。倍率の符号が変わるとどちらの群が下に来るか、中央値を除いた位置まで指で追って確かめます。逆問題では正負と0の各場合を書き、候補を元の平均と分散に代入します。符号と順序を確認した変換が、散らばりの説明を支えます。