高校数学I 外れ値の判定—四分位範囲から境界を計算して除外の前に調べる｜武蔵野個別指導塾

四分位範囲の1.5倍で境界を作り、等号と測定記録から候補を見直す対象が外れ値です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、外れ値の候補を確認せず削除する場面です。周囲から離れた数字を見ると、計算の邪魔になると思うかもしれません。しかし、離れて見えることと、測定や記録の誤りであることは別です。まず決められた規約で候補を探し、次に元の記録や測定条件を調べます。候補であるという理由だけでは消しません。

境界を使う問いの形

外れ値の問題には、並んだ測定値から四分位数を求めて候補を選ぶ形があります。値が小さい側と大きい側の両方を調べ、候補がなければ「なし」と答えます。最大値だけを調べると、小さい側の候補を見落とします。

四分位数がすでに与えられ、境界とデータを比べる形もあります。この場合も、四分位範囲を境界そのものと間違えないことが必要です。さらに、未知の値が候補となる条件を逆に求める問いでは、その値を変えたときに四分位数まで変わるかを確かめます。固定してよいという条件がなければ、順位ごとに場合分けします。

候補の判定後に、記録の取り違えなどを調べる問いもあります。計算で候補を選ぶ段階と、値を訂正または除外できる根拠を調べる段階を分けて書くと、結論の飛躍を防げます。

四分位範囲から両側の柵へ

データは小さい順に並べます。個数が偶数なら上下同数に分け、奇数なら全体の中央の値を除いて上下に分けます。それぞれの群の中央値を第一四分位数Q₁、第三四分位数Q₃とします。群の個数が偶数なら中央の2値の平均を取ります。四分位範囲をIQRと書くと、IQR = Q₃ − Q₁です。

ここでは、下の境界L = Q₁ − 1.5・IQR、上の境界U = Q₃ + 1.5・IQRとし、L未満またはU超のデータを外れ値の候補とします。等号は候補に含めません。これは一つの判定規約であり、境界を含める表現もあるため、問題ごとの条件を読む必要があります。LやUは測定値とは限らず、候補とそれ以外を分ける目印です。

図1のように、まずQ₁からQ₃までの幅を取り、その1.5倍を両側に延ばします。境界より外の点が候補です。境界の内側に入っても記録の誤りがないと証明されたわけではありません。

図1ではQ₁ = 4、Q₃ = 8なのでIQRは4、両側に延ばす長さは6です。境界は-2と14です。点-3と15は候補ですが、境界と等しい-2や14はこの規約では候補ではありません。図の目盛りは同じ間隔で置いています。

IQRが0になることもあります。Q₁とQ₃が等しければ、両境界もその共通の値です。この規約では、それより小さい値と大きい値が候補になります。候補が多く出ても、規約の結果を記録し、測定の状況を確かめます。0で割る操作は必要ありません。

基本例題：測定時間を並べ直す

ある作業に要した時間を8回測ると、秒単位で 12、5、7、6、8、9、6、20 でした。偶数個は上下同数に分ける方式で四分位数を求めます。L = Q₁ − 1.5・IQR、U = Q₃ + 1.5・IQRとし、L未満またはU超を候補とします。境界を整数または分数で、候補を秒単位の整数で答えてください。

小さい順にすると、5、6、6、7、8、9、12、20です。下の4個は5、6、6、7、上の4個は8、9、12、20です。それぞれ中央の2個を平均します。

Q₁ = (6 + 6)/2 = 6
Q₃ = (9 + 12)/2 = 21/2
IQR = 21/2 - 6 = 9/2
1.5・IQR = (3/2)・(9/2) = 27/4
L = 6 - 27/4 = -3/4
U = 21/2 + 27/4 = 69/4

5は-3/4以上なので、小さい側に候補はありません。12は69/4以下、20は69/4を超えます。したがって候補は20秒です。8個の値を元の一覧に戻して確認しても、20以外は-3/4以上69/4以下です。

図2のように、20は上の境界より右にあります。6は2回記録されたので、同じ位置に2点を上下に置いています。境界はデータの点ではなく、比較のための線です。候補を見つけた後は、例えば20秒の回に開始時刻の読み違いがなかったか、記録表と照らします。異常が確認できなければ、20秒も観測値として残します。

標準例題：候補がない場合とひげ

長さを8本測った値が、小さい順に 3、4、5、6、7、8、9、10 cmでした。上下同数に分けて四分位数を求め、L = Q₁ − 1.5・IQR未満またはU = Q₃ + 1.5・IQR超を候補とします。境界を整数または分数で求め、候補と、候補を別点にする箱ひげ図のひげの端を答えてください。

Q₁ = (4 + 5)/2 = 9/2
Q₃ = (8 + 9)/2 = 17/2
IQR = 17/2 - 9/2 = 4
1.5・IQR = 6
L = 9/2 - 6 = -3/2
U = 17/2 + 6 = 29/2

境界はL = -3/2、U = 29/2です。最小値3と最大値10はいずれもこの間にあり、候補はありません。8本を確認すると、ひげの端は3 cmと10 cmです。

候補を別点にする方式では、ひげの端を境界内にある最小値と最大値に置き、境界そのものまで延ばすわけではありません。一方、通常の最小値・最大値までの箱ひげ図では、候補を別点にせず両端までひげを延ばします。どちらの方式かを明示し、1枚の図で混ぜないことが必要です。

発展例題：未知の最大値を動かす

ある部品の長さ9個が、小さい順に 2、3、4、5、6、7、8、9、x mmです。xは9以上の整数とします。奇数個では全体の中央値を除いて上下群の中央値を取ります。L = Q₁ − 1.5・IQR未満またはU = Q₃ + 1.5・IQR超を候補とするとき、xが候補となる整数の範囲を求めてください。

中央の6を除くと、下群は2、3、4、5、上群は7、8、9、xです。xが9以上なので、上群の中央2値は常に8と9です。したがってxを動かしてもQ₁とQ₃は固定されます。

Q₁ = (3 + 4)/2 = 7/2
Q₃ = (8 + 9)/2 = 17/2
IQR = 17/2 - 7/2 = 5
L = 7/2 - (3/2)・5 = -4
U = 17/2 + (3/2)・5 = 16

xは9以上なので下の境界未満にはなりません。上側の条件はx > 16です。整数の条件と合わせると、答えはxが17以上です。x = 17を元の9個に戻すと、上群は7、8、9、17でQ₃は17/2のまま、17は16超です。x = 16では境界と等しいため候補ではありません。

条件がxは9以上の整数であることを使わず、最初からxを最大値とみなすことはできません。例えばxが途中に入る問題なら、並べ替え後の順位が変わり、四分位数も場合によって変わります。最初に並びの条件を確認するのが分かれ目です。

誤答を直す：境界と理由を混ぜない

基本例題で「上の境界はQ₃ + IQR = 15だから、20を消す」とした答案を考えます。原因は、1.5倍する操作の抜けと、候補の判定から削除へ飛んだことの2つです。正しくはIQR = 9/2に3/2を掛け、Q₃に足して69/4とします。20は候補ですが、この計算だけでは測定ミスと決まりません。

図3のように、誤った15と正しい69/4は別の位置です。たまたま20は両方より大きいため、候補の名前だけが一致します。途中の境界を点検しなければ、誤りを見逃します。例えば同じ境界に対して16という値があるなら、15超ですが69/4以下で、2つの判定は異なります。これは境界の比較を示す値であり、基本例題の8回に追加したデータではありません。

候補の記録を調べて、転記の誤りと元の値が確認できたなら、その根拠と訂正を残します。原因がわからない場合は、勝手に別の値に変えず、候補として記録したまま扱います。機器の故障が判明しても、何が誤ったか、訂正できるかを確認してから処理を決めます。候補でない値にも記録ミスはありえます。

境界の値がデータに存在しない場合も、比較は同じです。上の境界が分数なら、分母をそろえるか両辺に正の分母を掛けて、近似せずに大小を決められます。例えば基本例題では20 = 80/4なので、80/4 > 69/4です。負の境界が出た場合も、長さや時間が負になったという意味ではなく、判定用の目印が0より左にあるという意味です。

また、候補の個数は必ず1個とは限りません。同じ候補値が複数回現れれば、それぞれの観測として数えます。最小値と最大値が両方とも境界内なら、その間の値も境界内なので、候補がないことを両端から確かめられます。

練習：測定表の判定

各問で、偶数個は上下同数に分け、奇数個は全体の中央値を除いて上下群の中央値を取ります。L = Q₁ − 1.5・IQR未満またはU = Q₃ + 1.5・IQR超を候補とし、等号は含めません。境界は整数または分数で答えます。

1. 6個の長さが 1、4、5、6、7、8 cmです。両境界と候補を求めてください。
2. 7回の回数が 2、3、3、4、5、5、12 回です。両境界と候補を求めてください。
3. 8個の重さが 4、4、4、4、4、4、4、7 gです。両境界と候補を求めてください。
4. 9個の長さが 1、2、3、4、5、6、7、8、x cmで、xは8以上の整数です。xが候補となる整数の範囲を求めてください。
5. 8個の値が 2、3、4、5、6、7、8、15です。候補と、候補を別点にする方式のひげの両端を求めてください。単位は付けません。

練習の解答と照合

1. 下群1、4、5の中央値は4、上群6、7、8の中央値は7です。

IQR = 7 - 4 = 3
L = 4 - (3/2)・3 = -1/2
U = 7 + (3/2)・3 = 23/2

最小の1と最大の8はどちらも境界内です。元の6個もこの間に収まるので候補はありません。

2. 中央の4を除き、下群2、3、3と上群5、5、12を比べます。

Q₁ = 3
Q₃ = 5
IQR = 5 - 3 = 2
L = 3 - (3/2)・2 = 0
U = 5 + (3/2)・2 = 8

元の7回のうち12回は8超、残りは0以上8以下です。候補は12回です。

3. 下群と上群の中央2値はいずれも4、4です。

Q₁ = (4 + 4)/2 = 4
Q₃ = (4 + 4)/2 = 4
IQR = 4 - 4 = 0
L = 4 - (3/2)・0 = 4
U = 4 + (3/2)・0 = 4

7 gは4を超えるため候補です。元の8個に戻すと、残りの7個は境界と等しい4 gであり候補に入りません。

4. 中央の5を除き、下群1、2、3、4、上群6、7、8、xを使います。xは8以上なので中央2値は固定されます。

Q₁ = (2 + 3)/2 = 5/2
Q₃ = (7 + 8)/2 = 15/2
IQR = 15/2 - 5/2 = 5
L = 5/2 - (3/2)・5 = -5
U = 15/2 + (3/2)・5 = 15

xは8以上なので、候補となる条件はx > 15です。整数であることからxは16以上です。16を元の上群に戻しても中央2値は7と8で、16は15超です。15なら等号なので候補に入りません。

5. 下群2、3、4、5、上群6、7、8、15を使います。

Q₁ = (3 + 4)/2 = 7/2
Q₃ = (7 + 8)/2 = 15/2
IQR = 15/2 - 7/2 = 4
L = 7/2 - (3/2)・4 = -5/2
U = 15/2 + (3/2)・4 = 27/2

15は27/2超なので候補です。残る元の値は2から8までで、すべて境界内です。別点方式のひげの端は2と8、15を別点にします。15を最大値とする通常のひげの方式とは区別します。

手元に残す要点

• 昇順と個数を確かめ、決めた方式でQ₁とQ₃を求めます。
• IQR = Q₃ − Q₁から、両側に1.5・IQRを延ばします。
• この規約では境界未満・超を選び、等号は含めません。
• 候補と異常値を区別し、元の記録を調べます。
• ひげの方式を明記し、境界とひげの端を区別します。

手順のどこで止まったかを見る

判定が合わないときは、まず並べ替えた列と個数を指で追い、中央の値を上下群に入れていないかを確かめます。次にQ₁、Q₃、IQR、1.5倍、境界の順に数値を書き出すと、どこで値が変わったかを見つけやすくなります。候補の数だけが合っていても、境界と比較の向きまで確認します。

個別指導では、境界に等しい値やIQRが0の表を示し、どの条件で候補に入るかを言葉で説明できるかを確かめます。記録の誤りが判明した場合と原因が不明な場合を比べれば、判定と処理の違いも見えます。境界の計算と記録の調査が、外れ値を読む順序を支えます。