高校数学I 偶数個の四分位数—順位と重複値を確かめて五数要約を完成させる｜武蔵野個別指導塾

8個の測定値と未知値の範囲から、実測値にない値も現れる順位をたどり、五数要約へつなぐ偶数個の四分位数です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、四分位数は必ず測定した値のどれかに一致すると思う場面です。偶数個のデータの中央には2個の値があります。その平均を取れば、元の表にない値が代表として現れることもあります。値そのものを探す前に、何番目と何番目を使うかを決めましょう。

順位から考える3つの問い

まず、測定値を小さい順に並べ、最小値、第一四分位数、中央値、第三四分位数、最大値の5つを求める問題があります。この5つを小さい順に並べたものを五数要約と呼びます。同じ値が何回現れたかも数え、異なる値の種類の数で割らないことが出発点です。

次に、同じ値が複数ある表で、どの順位が同じ値に当たるかを問う問題があります。たとえば値が3回現れたら、並びの中に3つの席を用意します。境目の両側の値が同じなら、平均してもその値のままです。しかし、境目の値が等しいからといって、同じ値を1個にまとめてはいけません。

さらに、空欄の値と四分位数の条件から、空欄に入る値や範囲を逆算する問題があります。空欄がどの順位に入るかが変わると、平均に使う2つの値も変わります。式を立てる前に場合を分け、求めた値がその場合の条件に戻るかを調べます。条件に合わない解は採用できません。

半分に分けた後でもう一度中央を探す

データを小さい順に並べ、個数を2m個とします。mは正の整数です。前半m個を下位群、後半m個を上位群とし、下位群の中央値を第一四分位数、上位群の中央値を第三四分位数とします。全体の中央値はm番目とm+1番目の平均です。偶数個では中央の2個を捨てず、それぞれの群に含めます。

図1のように8個なら前半と後半は各4個です。全体の中央は4番目と5番目、下位群の中央は全体の2番目と3番目、上位群の中央は全体の6番目と7番目です。各組の平均をそれぞれ取ります。値ではなく順位の図なので、同じ測定値が繰り返されても席は消えません。

図1のように、中央を3回探す場所は異なります。6個なら各群は3個なので、下位群の2番目と上位群の2番目が四分位数です。この場合は実測値そのものになります。一般に2m個でmが偶数なら、各群の中央2個を平均し、mが奇数なら各群の中央1個を取ります。

平均を取るときは、2つの値の間の数を答えるので、実測値である必要はありません。たとえば中央の組が4と7なら、その中央値は11/2です。4も7も整数ですが11/2は整数ではなく、どちらの値とも一致しません。逆に、組がともに4なら平均も4です。重複は平均の規則を変えず、並んだ各値の順位に影響します。

同じ値が四分位数と等しいところに重なる場合、値を境にして数えた人数が各区間で厳密に4分の1になるとは限りません。四分位数は順位から定めた境界であって、等しい値を別々の大きさに変えるものではないからです。また五数要約は5つの値への要約であり、元の個々の値を一般には復元できません。

基本例題：8本の長さをまとめる

8本の紙片の長さを測ると、単位cmで 9、2、6、4、10、4、7、5 でした。小さい順に並べ、上下各4個の中央値を第一・第三四分位数とする方式で、五数要約を求めてください。答えはcm単位の整数または既約分数で表します。

まず値を落とさず並べます。

2、4、4、5、6、7、9、10

4が2回あるので、2番目と3番目の両方に書きます。図2のように下位群は2、4、4、5、上位群は6、7、9、10です。各群に4個ずつあり、元の8個を過不足なく使っています。

図2のように、全体の中央にある5と6は別々の群に入ります。全体の中央値と各群の中央値を順に計算します。

第一四分位数 = (4 + 4)/2 = 4
中央値 = (5 + 6)/2 = 11/2
第三四分位数 = (7 + 9)/2 = 8

最小値は2、最大値は10です。したがって五数要約は、単位をcmとして (2、4、11/2、8、10) です。中央値11/2と第三四分位数8はいずれも元の8本の長さにはありません。平均した2本に戻せば、5と6の中間が11/2、7と9の中間が8であり、答えの順序も2から10まで非減少です。

ここで中央値を5とする誤りは、中央の左側しか取っていないことが原因です。また4を1回だけ書くと7個になり、問題の対象が変わります。並べ終わったら個数を数え直し、群に分けてから中央に印を付けると、2種類の誤りを別々に点検できます。

標準例題：重複が境目をまたぐ

10日分の読書時間は、単位分で 12、18、18、20、20、20、24、27、30、35 でした。すでに小さい順です。上下各5個の中央値を第一・第三四分位数とする方式で五数要約を求め、20分以下の日数も整数で答えてください。

下位群と上位群は次のとおりです。

下位群：12、18、18、20、20
上位群：20、24、27、30、35

5個の中央は3番目なので、第一四分位数は18分、第三四分位数は27分です。全体では5番目と6番目がともに20分です。

中央値 = (20 + 20)/2 = 20
五数要約 = (12、18、20、27、35) 分

20分以下は1番目から6番目までの6日です。20が上下の群に分かれても、3回の観測は3日として残ります。中央値が20分だから20分以下が必ず5日とは言えません。元の10日を数え直すと、20分より長い4日と合わせて10日になり、条件に戻ります。

発展例題：未知の値が入る場所を分ける

8回の移動時間は、単位分で 2、4、6、8、10、12、14、x です。xは0以上の実数とします。8個を小さい順に並べ、上下各4個の中央値を第一・第三四分位数とする方式を使います。第一四分位数が5分となるxの範囲を、不等号で表してください。

第一四分位数に使うのは並べた後の2番目と3番目です。xを最後に書いたことは、xが最大であるという条件ではありません。既知の値4と6を目印に、xがその前後のどこに入るかで調べます。

xが4以下なら、0以上という条件の下でxが2以下でも2と4の間でも、2番目と3番目の組はそれぞれ (2、4) または (x、4) です。前者の平均は3であり、後者の平均は高くても4です。いずれも5にはなりません。境界x = 4でも組は4と4で、平均は4です。

4 < x < 6なら、2番目と3番目は4とxです。このとき第一四分位数を5と置くと、

(4 + x)/2 = 5
4 + x = 10
x = 6

しかし6はこの場合の条件4 < x < 6に入りません。この場合には解がありません。方程式の答えが出ても、場合の条件に戻す必要があります。

xが6以上なら、2番目と3番目は4と6です。xが6に等しいときも6を2個の席に書くので、使う組は変わりません。したがって、

第一四分位数 = (4 + 6)/2 = 5

求める範囲は x ≧ 6 です。x = 6を代入すると 2、4、6、6、8、10、12、14 となり、第一四分位数は5です。たとえばx = 15でも最初の3個は2、4、6のままです。一方、範囲の外のx = 5では2番目と3番目が4と5となり、第一四分位数は9/2です。境界とその外を戻すことで、不等号の向きと等号を確認できます。

この問題でxの上限がないのは、xが6以上で動いても2番目と3番目の値が変わらないためです。逆にxが小さい側へ移れば、使う組にxが入ることがあります。最初から (4 + 6)/2 と固定するだけでは、xが小さい場合を見落とします。

誤りを順位表に戻して直す

基本例題で「第一四分位数は2番目の4です。四分位数は必ず実測値です」と答えたとします。結果の4自体は正しいものの、理由は正しくありません。図3のように下位4個の中央は2番目と3番目の2席であり、この例ではたまたま両方が4です。

図3のように、両方の値を式に書けば (4 + 4)/2 = 4 です。もし3番目が5なら (4 + 5)/2 = 9/2 となります。答えが元の値と一致する例だけで規則を判断すると、異なる2値の平均で止まってしまいます。正しい手順を言葉と式の両方で残しましょう。

別の誤りは、8個の全体の中央値を取り出した後、5と6を捨てて残りを3個ずつに分ける方法です。この方式では問題の指定と異なり、下位群の中央値は4、上位群の中央値は9となります。指定の方式では5と6を残すので第三四分位数は8です。結果が一部一致しても、群の個数が4個ずつかを確かめれば違いを見分けられます。

手を動かす5問

次の各問では、データを小さい順に並べて同数の上下群に分け、各群の中央値を第一・第三四分位数とします。全体の中央の2個は除きません。答えは指定された単位で整数または既約分数とし、範囲は不等号で表してください。

1. 6個の鉛筆の長さは、単位cmで 13、9、15、11、17、19 です。五数要約を求めてください。
2. 8個の容器の水の量は、単位mLで 20、25、25、25、30、35、40、45 です。五数要約と25 mL以下の容器の個数を求めてください。
3. 12回の記録は、単位点で 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23 です。第一・第三四分位数を求め、それぞれが記録の値にあるか答えてください。
4. 8人の歩数を100歩単位で表すと 1、3、5、7、9、11、13、a です。aは0以上の実数です。第一四分位数が3となるaを求めてください。
5. 8枚のカードの数は 2、4、6、8、10、12、14、b です。bは0以上の実数です。第三四分位数が11となるbの範囲を求めてください。

5問の答えと戻して確かめる手順

1. 並べると 9、11、13、15、17、19 です。下位3個の中央は11、上位3個の中央は17です。全体の中央値は (13 + 15)/2 = 14 です。よって五数要約は (9、11、14、17、19) cmです。元の6本に戻すと、両群は各3本で最小と最大も9、19です。

2. 下位群は20、25、25、25、上位群は30、35、40、45です。第一四分位数は (25 + 25)/2 = 25、中央値は (25 + 30)/2 = 55/2、第三四分位数は (35 + 40)/2 = 75/2 です。五数要約は (20、25、55/2、75/2、45) mL、25 mL以下は4個です。25を3個として数えると、残りの4個と合わせて元の8個になります。

3. 12個を6個ずつに分けます。下位群の中央は3番目の5と4番目の7、上位群の中央は全体の9番目の17と10番目の19です。

第一四分位数 = (5 + 7)/2 = 6
第三四分位数 = (17 + 19)/2 = 18

答えは6点、18点です。記録は奇数ばかりなので、どちらも元の記録にありません。各平均に使った2値を見直すと、6は5と7の中間、18は17と19の中間です。

4. a ≦ 1なら2番目と3番目は1と3で、第一四分位数は2です。1 < a < 3なら組はaと3であり、平均は2より大きく3より小さい値です。3 ≦ a < 5なら組は3とaです。

(3 + a)/2 = 3
3 + a = 6
a = 3

これは3 ≦ a < 5に入ります。a ≧ 5なら組は3と5で平均は4なので条件に合いません。答えはa = 3です。元の並び 1、3、3、5、7、9、11、13 に戻すと、第一四分位数は (3 + 3)/2 = 3 です。

5. b ≦ 10なら6番目と7番目は10と12で、第三四分位数は11です。10 < b < 12なら6番目と7番目はbと12なので、平均を11と置くとb = 10となりますが、この場合の条件に入りません。12 ≦ b ≦ 14なら6番目と7番目は12とbで、第三四分位数は(12 + b)/2です。b > 14なら6番目と7番目は12と14で、第三四分位数は13です。どちらの場合も12以上です。よって、もとの条件と合わせて 0 ≦ b ≦ 10 です。b = 10を戻すと 2、4、6、8、10、10、12、14 となり、(10 + 12)/2 = 11 です。b = 11では (11 + 12)/2 = 23/2 となり、範囲の外を採用しないことも確かめられます。

要点を4行に

偶数個は中央の2個を残して上下同数に分けます。
各群の中央が2個なら、その平均を取ります。
同じ値も現れた回数だけ順位を持ちます。
未知値は入る順位で場合を分け、条件に戻します。

どこで迷ったかを見分ける

計算結果が違ったときは、まず並べ替えた値の個数と重複の回数を元の表に照らします。次に上下の群の境目を引き、各群に何個あるかを確認します。そこが合っていて答えが違うなら、中央の1個を取るのか2個を平均するのかを尋ねると、順位の判断と計算を分けて見られます。

個別指導では、未知値を境界より小さい値、境界に等しい値、大きい値に置き換え、中央の組が変わる場所を本人に説明してもらいます。式の解が出た後には、その値を元の測定表に戻して並べ直します。解が条件から外れる場合や、境界の等号を含む場合まで確かめると、答えの範囲を根拠とともに示せます。順位の席を保つことが、四分位数の計算を支えます。