高校数学I 直接測れない距離の測量—基線と二つの観測角から平面の三角形を決定する｜武蔵野個別指導塾

東向きからの観測角を基線の両端の内角に直し、正弦定理で対岸までの距離を求めます。垂足が基線の外に出る例も扱います。

よくあるのは、高1の高校生が川岸の2地点から対岸の目標を見るとき、方位として記録した角をそのまま三角形の内角に入れてしまう場面です。角の数字が合っていても、どの方向からどちらへ回った角なのかが違えば、計算する三角形も変わります。まず地図を真上から見た図に直し、測れる基線と、視線が作る角を区別しましょう。ここでは水平な平面上の距離を扱い、高低差や実際の観測誤差は計算に入れません。

どんな距離を求めるのか

川岸の2点 A、B の間は歩いて測れる一方、対岸の目標 C までの線分は直接測れないとします。AB を基線と呼び、その長さと両端での視線の向きから三角形 ABC を定めます。求めるものが AC なのか、BC なのか、それとも C から直線 AB へ下ろした垂線の長さなのかを、問題文に戻って確かめます。斜めの距離と垂直な川幅は一般に一致しません。

問われ方には、例えば次の3通りがあります。基線と2つの内角から目標までの距離を求める問題、東西などの方位から内角を作って距離を求める問題、さらに目標から基線への最短距離を求める問題です。どの場合も、最初に点の並びと角の両側の線を絵に書くことが出発点です。

観測角を三角形に移す

図1のように、基線 AB を水平に描き、目標 C をその上側に取ります。A での内角は、A から B へ向かう半直線と A から C へ向かう半直線の間の角です。B での内角は、B から A へ向かう半直線と B から C へ向かう半直線の間の角です。同じ基線を見ても、A から B と B から A では向きが反対です。

図1のように角 A の向かい側にある辺は BC、角 B の向かい側にある辺は AC です。角 C の向かい側は既知の基線 AB です。向かい合う組を指でたどると、正弦定理の分子と分母を取り違えにくくなります。

三角形の内角の和は 180° なので、角 A を α、角 B を β とすると、角 C は 180° − α − β です。両端の角が正で、和が 180° より小さいとき、残りの角も正になります。この条件を満たさなければ、3点が作る三角形はありません。基線の長さも正でなければ、異なる2地点として扱えません。

成立する三角形について正弦定理を使うと、次の対応が得られます。

AC / sin β = AB / sin C
AC = AB・sin β / sin C
BC = AB・sin α / sin C

ここで sin C は正なので割ることができます。基線と2つの内角が定まれば、残る角と辺の比が定まり、基線の長さによって実際の大きさも決まります。図は位置関係を示すためのもので、目測で長さを測る代わりにはなりません。

方位の読み替えでは、角の始まりと終わりを明記します。例えば B から見て、東向きから北側へ 150° 回した方向に C がある場合、BA は西向きです。東から西までは 180° なので、内角 ABC は 180° − 150° = 30° です。方位の 150° は B の内角の外側にある角です。東から北側へ 30° なら C は B の東側にあり、内角は 150° となります。大小を逆に扱わないよう、半直線を先に描きましょう。

基本例題：対岸の標識まで

東西に延びる直線上で、B は A の東にあり、AB = 40 m です。C は直線 AB の北側にあります。A からは東向きから北へ 60° の方向に C が見え、B からは東向きから北側へ 150° の方向に C が見えます。AC と BC を根号を用いて m 単位で求め、C から直線 AB への垂線の長さも求めてください。

図2のように、A の内角は 60°、B の内角は 30° です。B では東向きの方位と西向きの BA を区別します。

角 C と対応する辺を順に求めます。

角 B = 180° - 150° = 30°
角 C = 180° - 60° - 30° = 90°
AC / sin 30° = 40 / sin 90°
AC = 40・(1/2) / 1
AC = 20
BC / sin 60° = 40 / sin 90°
BC = 40・(√3/2) / 1
BC = 20√3

求める斜めの距離は AC = 20 m、BC = 20√3 m です。C から AB へ垂線を下ろし、その足を H とすると、直角三角形 AHC で CH は角 A の対辺です。したがって次のようになります。

CH = AC・sin 60°
CH = 20・√3/2
CH = 10√3

垂線の長さは 10√3 m です。戻して確かめると、直角三角形 ABC で AC² + BC² = 400 + 1200 = 1600 = AB² です。また AC / AB = 1/2、BC / AB = √3/2 はそれぞれ 30°、60° の正弦と一致します。角 C が直角のため、H は線分 AB の内側にあります。川幅という言葉を用いるときも、どの直線に垂直な幅かを条件で決めてから計算します。

標準例題：方位を両端で読む

水平な平面上で Q は P の東にあり、PQ = 12 m です。目標 R は直線 PQ の北側にあります。P から R は東向きから北へ 45°、Q から R は東向きから北側へ 135° の方向にあります。PR、QR と R から直線 PQ への垂線の長さを根号を用いて m 単位で求めてください。

P の内角は 45° です。Q の内角は西向きの QP から QR までなので、180° − 135° = 45° です。両方とも正で和が 180° より小さいため、三角形が成立します。角 R と各辺は次のとおりです。

角 R = 180° - 45° - 45° = 90°
PR / sin 45° = 12 / sin 90°
PR = 12・√2/2
PR = 6√2
QR / sin 45° = 12 / sin 90°
QR = 6√2

R から PQ に下ろした垂線の足を S とします。直角三角形 PRS において、RS は角 P の対辺です。

RS = PR・sin 45°
RS = 6√2・√2/2
RS = 6

答えは PR = QR = 6√2 m、垂線の長さは 6 m です。復元すると PS = PR・cos 45° = 6 m、QS も 6 m で、PS + QS = 12 m です。また RS / PS = 1、RS / QS = 1 なので、両端の視線はそれぞれ基線と 45° をなします。元の東向きからの角は P で 45°、Q で 135° に戻ります。

発展例題：足が基線の外にある場合

一直線上で N は M の東にあり、MN = 18 m です。目標 T はこの直線の北側で、M からは東向きから北へ 30°、N からは東向きから北へ 60° の方向に見えます。MT、NT および T から直線 MN への垂線の長さを根号を用いて m 単位で求めてください。

N の内角は、東向きではなく西向きの NM から測ります。したがって角 N は 180° − 60° = 120° です。角 M は 30° ですから、角 T は 30° となります。正弦定理で辺を求めます。

角 T = 180° - 30° - 120° = 30°
MT / sin 120° = 18 / sin 30°
MT = 18・(√3/2) / (1/2)
MT = 18√3
NT / sin 30° = 18 / sin 30°
NT = 18

T から直線 MN への垂線の足を U とします。角 N が鈍角なので、U は線分 MN の内部ではなく N の東側にあります。それでも直線への垂線としては問題ありません。直角三角形 MTU に角 M の 30° を使います。

TU = MT・sin 30°
TU = 18√3・1/2
TU = 9√3

答えは MT = 18√3 m、NT = 18 m、垂線の長さは 9√3 m です。位置も含めて戻すと、MU = MT・cos 30° = 27 m、NU = 27 − 18 = 9 m です。TU / MU = √3/3、TU / NU = √3 となり、M と N からの東向きを基準にした角はそれぞれ 30°、60° です。足が外側にあるときに MU と NU を足して基線にしないことが、位置の検算になります。

方位の数字をそのまま使ったら

基本例題で、B の方位 150° をそのまま内角にし、60° と足す誤りを考えます。図3のように、方位角の始線は東向きですが、内角の始線 BA は西向きです。両者は一直線上で逆を向いています。

誤った内角を採用すると、60° + 150° = 210° で、残りの角は負になります。これは計算が進まないという合図であり、角を図に戻す必要があります。図3のように一直線の 180° から方位角を引けば、内角は 30° です。正しい和は 60° + 30° = 90° で、残りは 90° と正になります。

ただし、角の和が 180° 未満なら必ず読み替えが正しいとは限りません。別の問題では、誤って方位角を内角に使っても、角の和が成立する場合があります。角の両辺が実際に BA と BC かを確かめることが必要です。分母に入れた正弦が 0 でないか、算出した距離が正かも点検します。

川幅を AC と答える誤りも、式の前に図を見れば発見できます。AC は視線方向の斜めの線分で、幅を表す垂線とは異なります。垂足が基線の外に出る場合も、直線を延長して垂直に下ろします。問題が線分までの最短距離を尋ねるなら、延長上の垂足までの距離とは別に考える必要があります。

自分で確かめる5問

いずれも水平な平面上で、各目標は基線を含む東西の直線の北側にあります。距離は根号を用いた正確な値で、単位は m としてください。

1. B は A の東にあり AB = 24 m です。C は A から東向きより北へ 30°、B から東向きより北側へ 120° の方向です。AC と BC を求めてください。
2. D は E の東にあり ED = 14 m です。F は E から東向きより北へ 60°、D から東向きより北側へ 120° の方向です。EF と F から直線 ED への垂線の長さを求めてください。
3. H は G の東にあり GH = 16 m です。J は G から東向きより北へ 45°、H から東向きより北へ 90° の方向です。GJ と HJ を求めてください。
4. L は K の東にあり KL = 10 m です。W は K から東向きより北へ 30°、L から東向きより北へ 60° の方向です。LW と W から直線 KL への垂線の長さを求めてください。
5. Y は X の東にあり XY = 8 m です。Z は X から東向きより北へ 120°、Y から東向きより北側へ 30° の方向と記録されました。この条件の三角形が存在するか、理由を添えて答えてください。

5問の解答と戻し方

1の解答

B の内角は 180° − 120° = 60°、C の内角は 90° です。対応する角を分母にして計算します。

AC = 24・sin 60° / sin 90°
AC = 24・√3/2
AC = 12√3
BC = 24・sin 30° / sin 90°
BC = 24・1/2
BC = 12

AC = 12√3 m、BC = 12 m です。AC² + BC² = 432 + 144 = 576 = 24² で、直角と基線の長さに戻ります。BC / AB = 1/2 なので A の角は 30°、B の方位も 120° に戻ります。

2の解答

D の内角は 180° − 120° = 60°、F の内角も 60° です。

EF = 14・sin 60° / sin 60°
EF = 14
垂線の長さ = EF・sin 60°
垂線の長さ = 14・√3/2
垂線の長さ = 7√3

EF = 14 m、垂線は 7√3 m です。垂足は ED の中点で、各端から 7 m です。高さと水平距離の比は √3、斜辺は √(7² + (7√3)²) = 14 m なので、基線と両方の 60° を復元できます。

3の解答

H の内角は 90°、J の内角は 45° です。

GJ = 16・sin 90° / sin 45°
GJ = 16 / (√2/2)
GJ = 16√2
HJ = 16・sin 45° / sin 45°
HJ = 16

GJ = 16√2 m、HJ = 16 m です。HJ は GH と垂直で、HJ / GH = 1 ですから G の角は 45°、H の視線は東から 90° です。GJ² = 512 = 16² + 16² となり、長さも戻ります。

4の解答

L の内角は 120°、W の内角は 30° です。垂足は L の東側にあります。

LW = 10・sin 30° / sin 30°
LW = 10
KW = 10・sin 120° / sin 30°
KW = 10√3
垂線の長さ = KW・sin 30°
垂線の長さ = 5√3

LW = 10 m、垂線は 5√3 m です。垂足を V とすると KV = KW・cos 30° = 15 m、LV = 5 m です。高さと水平距離の比は K から √3/3、L から √3 で、方位の 30°、60° に戻ります。KV − LV = 10 m も基線と一致します。

5の解答

Y の内角は 180° − 30° = 150° です。X の内角 120° と合わせると 270° になり、残りの角は正になりません。したがって条件を満たす三角形は存在しません。正弦定理に数値を代入する前に、方位を内角に直して和を調べることが必要です。

持ち帰る要点

• 基線の両端で、三角形の内角を作る2本の半直線を描きます。
• 3つの内角が正になることを確かめてから正弦定理を使います。
• 辺と向かい合う角を組にし、斜めの距離と垂線の長さを分けます。
• 得た長さから観測方向と基線を復元し、垂足の位置まで点検します。

式が合わないときは、最初の図で方位の始線に印を付け、内角の始線と比較してください。個別指導で確かめるなら、角を読み替えた行と、正弦定理で辺の向かいに置いた角を図の上で指し示すと、どこで対応が変わったかを追えます。距離の種類と点の位置を言葉で説明できれば、測量の式にも根拠が残ります。